Biến đổi vế trái:

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + 3(a + b)²c + 3(a +b)c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3abc + 3bc²) + (3ac² + 3bc²)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + c) + 3c²(a + b)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)(3ab + 3ac + 3bc + 3c²)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[(3ab + 3ac) + (3bc + 3c²)]

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[3a(b + c) + 3c(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Ta có: A = a³ + b³ + c³ – 3abc

= (a³ + b³) + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a + b)³ + c³] – [3ab(a + b) – 3abc]

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

Mà a + b + c = 0 nên suy ra:

A = 0 \[ \Rightarrow \]a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

\( \Leftrightarrow \) a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)^\prime } = {\left( {2 - x} \right)^\prime }.f'\left( {2 - x} \right) = - f'\left( {2 - x} \right)\).

Hàm số đồng biến khi \(\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)' > 0\)

\( \Leftrightarrow f'(2 - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < - 1\\1 < 2 - x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\ - 2 < x < 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Xét ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng có 10! cách ⇒ n(Ω) = 10!

Gọi biến cố “Xếp 10 học sinh thành một hàng sao cho An và Bình đứng cạnh nhau”.

Xem An và Bình là nhóm X.

Xếp X và 8 học sinh còn lại có 9! (cách).

Hoán vị An và Bình trong X có 2! (cách).

Vậy có 9!2! cách ⇒ n(A) = 9!2!

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{9!2!}}{{10!}} = \frac{{9!2}}{{10.9!}} = \frac{1}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

Xếp 5 học sinh nam có 5! cách, xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách.

Đổi chỗ nam và nữ có 2 cách.

Suy ra có 2.(5!)² cách xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

* Xếp 8 học sinh không có An và Bình trước:

• TH1:

+ Học sinh nam đứng đầu hàng, có (4!)² cách.

+ Xếp An và Bình vào 1 trong 9 vị trí gồm 7 vị trí giữa 2 học sinh liền kề nhau và 2 vị trí biên. Ứng với mỗi vị trí có 1 cách xếp An và Bình sao cho thỏa mãn yêu cầu, do đó có 9 cách xếp.

 Vậy có 9.(4!)² cách.

• TH2:

+ Học sinh nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1 có 9.(4!)² (cách).

Suy ra số cách xếp 10 học sinh xen kẽ mà An luôn cạnh Bình là 2.9.(4!)² (cách).
Vậy số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là:
 2.(5!)² – 2.9.(4!)² = 2.5.5.(4!)² – 18.(4!)² = 32.(4!)² (cách)

Do bạn An và bạn Khang đi mua tất cả là 30 gói bánh kẹo nên số tiền phải trả bắt buộc phải chia hết cho 3.

Số tiền bạn An đưa cho cô bán hàng là: 4. 50 000 = 200 000 (đồng)

Số tiền cô bán hàng nhận là: 200 000 – 72 000 = 128 000 (đồng)

Vì 128 000\(\cancel{ \vdots }\)3 nên bạn Khang nói đúng.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\) (k ∈ ℤ).

Ta có: 2tanx – 2cotx – 3 = 0

⇔ \(2\tan x - 2\frac{1}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} anx}} - 3 = 0\)

⇔ 2tan²x – 3tanx – 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = arc\tan \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

+) x = arctan2 + kπ (k ∈ ℤ).

Khi đó \( - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\)

\( \Rightarrow \)−0,85 < k < 0,65

\( \Rightarrow \)k = 0 ( do k ∈ ℤ)

\( \Rightarrow \)x = arctan2.

+) \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \)( k ∈ ℤ)

Khi đó \( - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\)

\( \Rightarrow \)−0,35 < k < 1,15

\( \Rightarrow \)k ∈ {0; 1}

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}\)

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là x = arctan2; \(\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi \).

Giá bánh buổi chiều : 50000.(1 − 0,2) = 40 000 (đồng/chiếc)

 Gọi lượng bánh bán ra buổi sáng là x chiếc (a > 0)

⇒ Lượng bánh bán ra buổi chiều là : x.(1 + 0,5) = 1,5x (chiếc)

Tổng doanh thu 2 buổi : 50 000x + 40 000.1,5x = 13 200 000

⇔ 50 000x + 60 000x = 13 200 000

⇔ 110 000x = 13 200 000

⇔ x = 120

Vậy cả ngày cửa hàng bán được là:

x + 1,5x = 2,5.x = 2,5.120 = 300 (chiếc)

• \(\overrightarrow {AB} = (2;\,\, - 4) = (2;\,\,4)\);

• \(\overrightarrow {AC} = ( - 1 - 0;\,\,5 - 3) = ( - 1;\,\,s2)\).

Ta thấy: \(\overrightarrow {AC} = - 0,5\overrightarrow {AB} \)

Suy ra có phép tự tâm A, tỉ số \( - \frac{1}{2}\) biến B thành C.

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Độ dài đường cao: AA’ = A’C’.tan60° =\(a\sqrt 3 \).

Vậy thể tích của khối lăng tụ là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{4}\).

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \sin \frac{{(\widehat A + \widehat B)}}{2} = \sin \left( {\frac{{180^\circ }}{2} - \frac{{\widehat C}}{2}} \right) = \cos \frac{{\widehat C}}{2}\)

Tương tự ta có: \(\sin \frac{{\widehat C}}{2} = \cos \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat A + \sin \widehat B + \sin \widehat C = 2\cos \frac{{\widehat C}}{2}.\cos \frac{{\widehat A - \widehat B}}{2} + 2\cos \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}.\cos \frac{{\widehat C}}{2}\)

\( = 2\cos \frac{{\widehat C}}{2}\left( {\cos \frac{{\widehat A - \widehat B}}{2} + \cos \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}} \right)\)

\( = 4.\cos \frac{{\widehat A}}{2}.\cos \frac{{\widehat B}}{2}.\cos \frac{{\widehat C}}{2}\) (đpcm).

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

Vậy phương trình lượng giác có hai họ nghiệm là:

x= k2π và \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) (k ∈ ℤ).

Điều kiện −1 ≤ sinx; cosx ≤ 1.

Ta có: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} - \sin x\)

Mặt khác: sin²x + cos²x = 1 \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\left( {\frac{1}{2} - \sin x} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\sin ^2}x - \sin x + \frac{1}{4} = 1\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - \frac{3}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)

Ta có:

• \(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \cos x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (TMĐK)

• \(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \cos x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)(TMĐK)

Vậy \(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) hoặc \(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)

\(\tan x = - \sqrt 3 \), ĐK: \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{{ - \pi }}{3}\) (k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \)( k ∈ ℤ) (Tm)

Vậy phướng trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \) (k ∈ ℤ)

Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)(k ∈ ℤ)

Theo giả thiết ta có: \( - 2017\pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < 2017\pi \)

\( \Leftrightarrow - 2017 < \frac{1}{3} + k < 2017\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 6052}}{3} < k < \frac{{6050}}{3}\)

Mà (k ∈ ℤ) nên ta có:

k ∈ {−2017; −2016; …; 2015; 2016}.

Vậy có tất cả 2017 + 2016 + 1 = 4034 nghiệm thỏa mãn.

Cho A = 75 + 1205 + 2008 + x , (x ∈ ℕ).
Ta có \(75\,\, \vdots \,\,5\); \(1205\,\, \vdots \,\,5\); \(2008\,\cancel{ \vdots }\,5\).

Để chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị phải là 0 hoặc 5
\( \Rightarrow \) \((2008 + x)\,\, \vdots \,\,5\)
\( \Rightarrow \) Số hàng đơn vị của 2008 + số hàng đơn vị của x phải là 0 hoặc 5
\( \Rightarrow \) 8 + số hàng đơn vị của x = 0 hoặc 5
\( \Rightarrow \) chữ số hàng đơn vị của x = 2 hoặc 7.
Để \(A\,\, \vdots \,\,5\) thì chữ số hàng đơn vị của x phải là 2 hoặc 7.

Ta có các số chia hết cho 5 là các số có hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

Tập hợp A là các số \(x\,\, \vdots \,\,5\), thỏa mãn 124 < x < 145 nên ta có:

A = {125; 130; 135; 140}.

Đáp án đúng là: D.

Do −1 ≤ sin 2x ≤ 1

\( \Rightarrow \)0 ≤ sin² 2x ≤ 1

\( \Leftrightarrow \)0 ≤ 1 – sin² 2x ≤ 1

\( \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {1 - {{\sin }^2}2x} \le 1\)

\( \Leftrightarrow 2 \le 2 + \sqrt {1 - si{n^2}2x} \le 3\)

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là [2; 3].

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(y = 2({\sin ^2}x + 4\sin x + 4) - \frac{{11}}{4}\)

\( = 2{(\sin x + 2)^2} - \frac{{11}}{4}\)

Ta có: −1 ≤ sinx ≤ 1

\( \Leftrightarrow \)1 ≤ sinx + 2 ≤ 3

\( \Leftrightarrow \)1 ≤ (sinx + 2)² ≤ 9

\( \Leftrightarrow \)2 ≤ 2(sinx + 2)² ≤ 18

\( \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le 2{(\sin x + 2)^2} - \frac{{11}}{4} \le \frac{{61}}{4}\).

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là: \(\left[ { - \frac{3}{4};\frac{{61}}{4}} \right]\).

Ta có:

• \({x_1} + 2{x_2} = \frac{3}{2}({x_1} + {x_2}) - \frac{1}{2}({x_1} - {x_2}) = 1\)

\( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{3}{2}({x_1} + {x_2}) - \frac{{\sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{2} = 1\)

• \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{2}({x_1} + {x_2})\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{2}({x_1} + {x_2})\)

Ta có: y' = mx² – 2(m – 1)x + 3(m – 2) (m ≠ 0)

Để hàm số có cực đại tại x₁ và cực tiểu tại x₂ thì phương tình

y' = mx² – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta '\) = (m – 1)² – 3m(m – 2) = −2m² + 4m + 1 > 0

\( \Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2} < m < 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (1)

Khi đó áp dụng định lý Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{m}\,\,(2)\\{x_1}{x_2} = \frac{{3(m - 2)}}{m}\,\,(3)\end{array} \right.\)

Mặt khác theo bài cho ta có: x₁ + 2x₂ = 1 (4)

Nếu 2x₁ + x₂ = 0 (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow {x_1} = - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{3}\).

Thay vào (2) ta có: \(2\frac{{m - 1}}{m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{6}{5}\)

Thay vào (3) ta có: \(3\frac{{m - 2}}{m} = - \frac{2}{9} \Rightarrow m = \frac{{54}}{9}\)

Suy ra 2x₁ + x₂ ≠ 0

Khi đó nhân hai vế của (4) với 2x₁ + x₂ ta có:

(x₁ + 2x₂)(2x₁ + x₂) = 2x₁ + x₂

\( \Leftrightarrow \) 2(x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 2x₁ + x₂

Thay (2) và (3) vào ta được:

\(8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} = 2{x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 2{x_1} + {x_2} + {x_1} + 2{x_2}\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 3({x_1} + {x_2})\)

\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 6\frac{{m - 1}}{m}\)

\( \Leftrightarrow 8{(m - 1)^2} + 3m(m - 2) + {m^2} = 6m(m - 1)\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 2\end{array} \right.\) (TMĐK)

Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(m = \frac{2}{3}\); m = 2.

a) Để phương trình có nghiêm thì: \[\Delta ' = {1^2} - m \ge 0\]

\( \Leftrightarrow \)1 – m ≥ 0

\( \Leftrightarrow \)m ≤ 1

Vậy với m ≤ 1 thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Áp dụng định lý Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\)

Nếu phương trình có hai nghiệm cùng là số âm thì x₁ + x₂ < 0 mà x₁ + x₂ = 2 > 0

Suy ra phương trình không thể có hai nghiệm âm.

a) Thay m = 0 vào phương trình ta có:

x² – (0 + 2)x – 8 = 0

\( \Leftrightarrow \)x² – 2x – 8 = 0

\(\Delta ' = 1 - 1.( - 8) = 9\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 1 - \sqrt 9 = - 2\); \({x_2} = 1 + \sqrt 9 = 4\).

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta > 0\)

\( \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4.( - 8) > 0\)

\( \Leftrightarrow {(m + 2)^2} + 32 > 0\)(luôn đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\))

Áp dụng hệ thức Vi−ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = - 8\end{array} \right.\) (*)

Lại có: x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) = 8

\( \Leftrightarrow \) x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ = 8

\( \Leftrightarrow \) (x₁ + x₂) – 2x₁x₂ = 8

Thay (*) vào ta có: m + 2 – 2 . (−8) = 8

⇔ m + 2 + 16 = 8

⇔ m + 18 = 8

\( \Leftrightarrow \)m = −10

Vậy với m = −10 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Ta có: x² – 5 = 0

\( \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \sqrt 5 = 0\\x - \sqrt 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt 5 \\x = \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - \sqrt 5 ;\,\,\sqrt 5 } \right\}\).

b) Ta có: \({x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x\sqrt {11} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {11} } \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \sqrt {11} \).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\sqrt {11} } \right\}\).

a) x² – 11x + 30 = 0

Ta có: \(\Delta \)= 11² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Vâỵ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{11 - \sqrt 1 }}{2} = 5\); \({x_2} = \frac{{11 + \sqrt 1 }}{2} = 6\).

b) x² – 10x + 21 = 0

Ta có: \(\Delta '\) = 5² – 21 = 25 – 21 = 4 > 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = 5 + \sqrt 4 = 7\); \({x_2} = 5 - \sqrt 4 = 3\).

 Xét tam giác ABC có G là trọng tâm. Theo tính chất của trọng tâm trong tam giác ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow G \equiv O\).

Suy ra tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp là một tam giác đều.

• \[\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OO} = \overrightarrow 0 \] suy ra 1) đúng.

• 2) sai vì tam giác ABC là tam giác đều.

• 3), 4) đúng.

Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (d)

Vì đồ thị hàm số (d) đi qua A(−1; −3) và B(0; 2) nên tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng (d).

Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 3\\a.0 + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 3\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng cần tìm là: y = 5x + 2.

1) Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (d)

Vì đồ thị hàm số (d) đi qua A(2; −4) và B(−1; 5) nên tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng (d).

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 4\\ - a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 5 + a = - 4\\b = 5 + a\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = - 9\\b = 5 + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng cần tìm là: y = −3x + 2.

2) y = −2x+1

• Với x = 0 \( \Rightarrow \) y = 1 \( \Rightarrow \)A(0; 1);

• Với x = 1 \( \Rightarrow \) y = −1 \( \Rightarrow \)B(1; −1).

Khi đó ta có đồ thị hàm số:

a) x² + 4 = 4x

\( \Leftrightarrow \)x² + 4 – 4x = 0

\( \Leftrightarrow \)x² – 2.x.2 + 2² = 0

\( \Leftrightarrow \)(x – 2)² = 0

\( \Leftrightarrow \)x – 2 = 0

\( \Leftrightarrow \)x = 2.

Vậy x = 2.

b) 2x² + 7x + 3 = 0

\( \Leftrightarrow \)2x² + x + 6x + 3 = 0

\( \Leftrightarrow \)x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(2x + 1)(x + 3) = 0

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(x = \left\{ { - \frac{1}{2}; - 3} \right\}\).

a) f(x) = x² + 8x + 16

Ta có \(\Delta '\)= 4² – 1.16 = 0; hệ số a = 1 > 0 nên f(x) có nghiệm kép x = −4 và f(x) > 0 với mọi m ≠ −4.

b) f(x) = −2x² + 7x – 3

Ta có \(\Delta \)= 7² – 4.(−2).(−3) = 25 > 0, hệ số a = −2 < 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{1}{2}\); x₂ = 3.

Do đó ta có bảng xét dấu f(x):

Suy ra f(x) > 0 \(\forall x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\) và f(x) < 0 \(\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup (3; + \infty )\).

Ta có: S = cos(90° − x).sin(180° − x) – sin(90° − x).cos(180° − x)

= sinx.sinx – cosx.(−cosx)

= sin²x + cos²x = 1.

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\).

a) Suy ra a = bk; c = dk.

Ta có: \(\frac{{a + c}}{c} = \frac{{bk + dk}}{{dk}} = \frac{{b + d}}{d}\) (đpcm)

b) Ta có: \(\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{bk + dk}}{{b + d}} = k\) (1)

\(\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{bk - dk}}{{b - d}} = k\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\) (đpcm).

Đáp án đúng là: C.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {EB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {BF} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {EB} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BF} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EF} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {EB} \).

Đáp án đúng là: B

Gọi I là giao điểm của AC và EF.

Xét tam giác ACB có IF // AB nên theo định lý Ta−lét, ta có:

\(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên \(BF = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.15 = 5\) (cm).

Đáp án đúng là: D.

Vì ABCD là hình bình hành ta có: AB = DC; OB = OD.

Mà ta có hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và độ dài nên: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ;\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lý Py−ta−go, ta có:

AB² + AC² = BC²

\( \Rightarrow \) AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 16

\( \Rightarrow \)AC = 4 cm.

Vậy AC = 4 cm.

x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1).

a) Thay m = 2 vào (1) ta được:

x² – 6x + 8 = 0

\(\Delta '\) = 3² – 8 = 1 > 0

Vậy với m = 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = 3 + 1 = 4; x₂ = 3 – 1 = 2.

b) Phương trình (1) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1.4m\)

= m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm.

c) Theo b) ta có phương trình (1) luôn có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)(2)\\{x_1}{x_2} = 4m(3)\end{array} \right.\)

Theo để bài ta có:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7

\( \Leftrightarrow \)x₁ + x₁x₂ + x₂ + x₁x₂ = 7

\( \Leftrightarrow \)(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ = 7 (4)

Thay (2) và (3) vào (4) ta được:

2(m + 1) + 2.4m = 7

\( \Leftrightarrow \)2m + 2 + 8m = 7

\( \Leftrightarrow \) 10m = 5

\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: số chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số là một số chia hết cho 9.

Khi đó ta có các số sau chia hết cho 9: 117; 135; 153; 315; 333; 351; 513; 531; 711.

Vậy có 9 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Trong 5 số: 5; 2; 7; 3; 9 chỉ có 9 + 2 + 7 = 18 mà 18 ⋮ 9 .

Do đó các số cần tìm được lập bởi ba số 9, 2, 7, chúng là 927; 972; 279; 297; 729; 792.

Vậy ta lập được 6 số thỏa mãn.

Vì số cần tìm là một số chia hết cho 9 dư 5 nên ta có:

a = 9k + 5 = 3.3k + 3 + 2 = 3(3k + 1) + 2

Suy ra khi chia số a cho 3 ta sẽ được 3k + 1 và dư 2.

a) \(A = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)

\( = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x  - 2}}{{x\sqrt x + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}} \right)\)

\( = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{ - x + 1 + x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}} \right)\)

\( = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 2}}{{x\sqrt x + 1}}} \right)\)

\( = 1:\frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

b) \(x = 7 - 4\sqrt 3 = 4 - 2.2.\sqrt 3 + 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

Thay vào A ta được:

\(A = \frac{{7 - 4\sqrt 3 - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + 1}}{{2 - \sqrt 3 }}\)

\( = \frac{{6 - 3\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = 3\).

Theo định lý cosin ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat C\)

\( = A{C^2} + \left( {2AC.\cos \widehat C} \right) - 2AC.2AC.\cos \widehat C.\cos \widehat C\)

\( = A{C^2}\left( {1 + 4{{\cos }^2}\widehat C - 4{{\cos }^2}\widehat C} \right) = A{C^2}\)

\( \Rightarrow \) AB = AC.

Suy ra tam giác ABC là tam giác cân.

Đáp án đúng là: A

A = [−5; 3) \( \Rightarrow {C_R}A = \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).

Ta có: 240 = 2⁴.3.5

Ta có: A = x^m.yⁿ…z^p

Thì số ước nguyên tính bằng công thức: 2(m + 1)(n + 1)…(p + 1).

Nên 240 có số ước nguyên là: (4 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 20 (ước nguyên dương).