Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AK.AH = R2.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp đường tròn (O)) \( \Rightarrow \widehat {HKB} = 90^\circ \).
Có: \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB} = 90^\circ \) (MN\( \bot \)AB; H, C ∈ MN)
Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {HCB} + \widehat {HKB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.
b) Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta AKB\) có:
\(\widehat {BAK}\) chung
\(\widehat {ACH} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) (cmt)
Suy ra \(\Delta AHC\) ᔕ \(\Delta AKB\)(g.g)
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AK}}\)
\( \Leftrightarrow \)AH.AK = AC. AB \( = \frac{R}{2}.2R = {R^2}\) (đpcm)
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} \) bằng:
Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh ∆ABC vuông và tính độ dài AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh ∆CBD cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).
c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) cà từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.
a) CM: AE.AB = AF.AC;
b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;
c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: AB2 = AH.BC.
1) Xác định hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm
A(2; −4) và B(−1; 5).
2) Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số y = −2x + 1.
Cho hình vẽ:
a) Giải thích tại sao xx’ // yy’.
b) Tính số đo \(\widehat {MNB}\).
Rút gọn biểu thức:
S = cos(90° − x).sin(180° − x) – sin(90° − x).cos(180° − x).
Cho đường tròn (O) bán kính OA = 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Cho hình vẽ biết xx’ // yy’ và \(\widehat {xAB} = 70^\circ \). Tính số đô góc \(\widehat {yBz'}\) và \(\widehat {ABy}\).
Viết tập hợp A là các số \(x\,\, \vdots \,\,5\), thỏa mãn 124 < x < 145 bằng cách liệt kê các phần tử.
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm vecto từ 5 điểm A, B, C, D bằng \(\overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {OB} \).
Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 9 được lập từ các chữ số 1, 3, 5, và 7 biết rằng mỗi chữ số được phép lặp lại?
