Nếu Hòa cho Bình 10 viên bi thì số bi của hai bạn bằng nhau nên ban đầu Hoà hơn Bình số bi là:

2 . 10 = 20 (viên)

Số bi của Hoà ban đầu là:

(120 + 20) : 2 = 70 (viên)

Số bi của Bình ban đầu là:

70 – 20 = 50 (viên)

Đáp số: Hoà: 70 viên; Bình: 50 viên.

Gọi AH là đường cao kẻ từ A xuống BC (H thuộc BC).

Đường cao AH đi qua điểm A (3; 4) và có vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

\(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \overrightarrow {BC} \)= (–6; –3) = –3(2; 1).

Phương trình tổng quát của AH là:

2 (x – 3) + y – 4 = 0 hay 2x + y – 10 = 0.

Gọi đường thẳng đi qua B và song song với AC là d.

Ta có: d // AC nên \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {AC} \)= (–4; –6) = –2(2; 3)

Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).

Ta có: 2744 = 2³ . 7³ = 14³

Suy ra: 14^x = \[\frac{{{{14}^9}}}{{2744}} = \frac{{{{14}^9}}}{{{{14}^3}}} = {14^6}\]

Vậy x = 6.

Vì 1m = 10 dm nên 1 dm = 0,1 m

Vậy 45 dm = 4,5 m.

Ta có: a⁰a¹a² = a⁰⁺¹⁺² = a³.

Vì tập A khác rỗng nên ta có m – 1 < 4 hay m < 5 (1)

Vì tập B khác rỗng nên ta có –2 < 2m + 2.

⇔ –4 < 2m.

⇔ m > –2 (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra tập hợp A và B đều khác rỗng khi và chỉ khi –2 < m < 5 (*).

Để A ∩ B ≠ ∅ thì m – 1 < 2m + 2.

 Nghĩa là, m > –3   (**).

Giao (*) và (**) lại với nhau, ta thu được kết quả –2 < m < 5.

Ta có: 2A = 2² + 2³ + … + 2¹⁰¹

2A – A = (2² + 2³ + … + 2¹⁰¹) – (2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰)

A = 2¹⁰¹ – 2

Thay A vào 2 (A + 2) = 2^2x ta có:

2(2¹⁰¹ – 2 + 2) = 2^2x

Hay 2¹⁰² = 2^2x

Vậy x = 102 : 2 = 51.

9 yến tương đương với số phần con bò là:

1 – \(\frac{4}{7}\)= \(\frac{3}{7}\)(con bò)

Con bò nặng số yến là:

9 : \(\frac{3}{7}\) = 21 (yến)

Đổi 21 yến = 210 kg = 2,1 tạ.

Cạnh đáy hình bình hành là: 12 : (7 – 5) . 7 = 42 (cm)

Chiều cao hình bình hành là : 42 – 12 = 30 (cm)

Diện tích hình bình hành: 42 . 12 = 504 (cm²).

Diện tích một viên gạch là:

40 . 40 = 1600 (cm²)

Diện tích 10 viên gạch đó là:

1600 . 10 = 16000 (cm²)

n! ta gọi là n giai thừa, là tích gồm các thừa số từ 1 đến n

n! = 1.2.3.4….n

Theo 2 giả thiết đề bài cho ta có:

\[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]

⇔ 100 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]≤ 999

⇔ 10 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31 (1)

\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔ 10000 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]≤ 99999

⇔ 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 46 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31

Lại có:

\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔ \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, + \left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)\, = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔ \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, = \left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]

Ta thấy: \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \,\] chia hết cho 100 nên \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\] chia hết cho 100. Mà \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]là 3 số tự nhiên liên tiếp nên để chia hết cho 100 thì khi và chỉ khi có 1 số chia hết cho 25.

Suy ra:  \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 ta có số: 57613824.

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 ta có số: 62515625.

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26, không thỏa mãn.

Vậy số cần tìm là 57613824; 62515625.

Ta có:

a ∈ BCNN (21; 35; 99)

Ta có:

21 = 3 . 7

35 = 5 . 7

99 = 3² . 11

Suy ra: BCNN (21; 35; 99) = 3² . 5 . 7 . 11 = 3465.

Vì a nhỏ nhất khác 0 nên a = 3465.

Vậy a = 3465.

Ta có: 10 chia hết cho x – 1

Suy ra: x – 1 là Ư(10) và x là số tự nhiên

Nên x – 1 ∈ {1; 2; 5; 10}

Vậy x ∈ {2; 3; 6; 11}.

Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2

n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2

Ta có: x^m + xⁿ + 1

= x^3k+r + x^3t+s + 1

= x^3kx^r – x^r + x^3tx^s – x^s + x^r + x^s + 1

= x^r (x^3k – 1) + x^s (x^3t – 1) + x^r + x^s + 1

Ta thấy: (x^3k – 1) ⋮ (x² + x + 1) và (x^3t – 1) ⋮ (x² + x + 1)

Vậy để (x^m + xⁿ + 1) ⋮ x² + x + 1 thì (x^r + x^s + 1) ⋮ (x² + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2

Hay khi: \[\left[ \begin{array}{l}r = 2;{\rm{ }}s = 1{\rm{ }}\\r = 1;{\rm{ }}s = 2\end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + 1\\m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2\end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}mn - 2 = \left( {3k + 2} \right)\left( {3t + 1} \right) - 2 = 9kt + 3k + 6t = 3\left( {3kt + k + 2t} \right)\\mn - 2 = \left( {3k + 1} \right)\left( {3t + 2} \right) - 2 = 9kt + 6k + 3t = 3\left( {3kt + 2k + t} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.

Ta có: 36 – y² = 8(x – 2010)²

⇒ y² + 8(x–2010)² = 36

Vì y² ≥ 0 nên 8(x–2010)² ≤ 36

Suy ra: (x–2010)² ≤ \(\frac{{36}}{8}\)

Mặt khác: (x–2010)² là số chính phương nên

\[\left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 2010} \right)^2} = {\rm{ 0}}\\{\left( {x - 2010} \right)^2} = {\rm{ }}1\\{\left( {x - 2010} \right)^2} = {\rm{ }}4\end{array} \right.\]

Với (x–2010)² = 0, ta có: y² = 36. Suy ra y = 6 (vì y ∈ ℕ).

Với (x–2010)² = 1, ta có: y² = 28 (loại).

Với (x–2010)² = 4, ta có: y² = 4. Suy ra: y = 2 (vì y ∈ ℕ).

Vậy (x, y) = (2012; 2), (2008; 2), (2010; 6).

\[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow u - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow v \]

Suy ra: \[\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \]

Ta có: \[\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 } \right) = 0\]

Suy ra: \[\overrightarrow {A{A_1}} = - \overrightarrow u - \overrightarrow v \]

\[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {{A_1}A} = \frac{{ - 1}}{2}BC - \overrightarrow {A{A_1}} = \frac{{ - 1}}{2}\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v } \right) + \overrightarrow u + \overrightarrow v = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v \]

\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} = - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v } \right) - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v } \right) = \frac{{ - 4}}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \].

Ta có: 3n + 7 = 3(n – 2) + 13

Để 3n + 7 chia hết cho n – 2 thì n – 2 thuộc Ư(13)

Vậy n – 2 = 1 hoặc n – 2 = 13 hay n = 3 hoặc n = 15.

Điều kiện: x ≠ {3; 5; 17; 19}.

\(\frac{3}{{x - 3}} + \frac{5}{{x - 5}} + \frac{{17}}{{x - 17}} + \frac{{19}}{{x - 19}} = {x^2} - 11x - 4\)

⇔ \(\left( {\frac{x}{{x - 3}} - 1} \right) + \left( {\frac{x}{{x - 5}} - 1} \right) + \left( {\frac{x}{{x - 17}} - 1} \right) + \left( {\frac{x}{{x - 19}} - 1} \right) = x\left( {x - 11} \right)\)– 4

⇔ \(x\left( {\frac{1}{{x - 3}} + \frac{1}{{x - 5}} + \frac{1}{{x - 17}} + \frac{1}{{x - 19}}} \right) = x\left( {x - 11} \right)\)

⇔ \(2x\left( {x - 11} \right)\left( {\frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 19} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 17} \right)}}} \right) = x\left( {x - 11} \right)\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 11} \right)\left[ {2\left( {\frac{1}{{{x^2} - 22x + 57}} + \frac{1}{{{x^2} - 22x + 85}}} \right) - 1} \right] = 0\)

TH1: x = 0 (t/m)

TH2: x – 11 = 0, suy ra x = 11 (t/m)

TH3: \(\frac{1}{{{x^2} - 22x + 57}} + \frac{1}{{{x^2} - 22x + 85}} = \frac{1}{2}\)

Đặt x² – 22x + 57 = a

Ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a + 28}} = \frac{1}{2}\)

⇔ a² + 24a – 56= 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}a = - 12 + 10\sqrt 2 \\a = - 12 - 10\sqrt 2 \end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 22x + 69 - 10\sqrt 2 = 0\\{x^2} - 22x + 69 + 10\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[x = 11 \pm \sqrt {52 \pm 10\sqrt 2 } \] (t/m).

Vậy x = 0, x = 11, \[x = 11 \pm \sqrt {52 \pm 10\sqrt 2 } \].

A = (2a – 3b)² + 2(2a – 3b)(3a – 2b) + (2b – 3a)²

A = (2a – 3b)² + 2(2a – 3b)(3a – 2b) + (3a – 2b)²

A = [(2a – 3b) + (3a – 2b)]²

A = (5a – 5b)²

A = 5²(a – b)²

A = 25 . 10²

A = 2500.

\({\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = {a^2} + 2.a.\frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}} = {a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}}\).

\[\frac{{ - 4}}{{7x}} + \frac{7}{5} = \frac{{ - 1}}{8}:\left( { - 1 + \frac{2}{3}} \right)\]

\[\frac{{ - 4}}{{7x}} + \frac{7}{5} = \frac{{ - 1}}{8}:\frac{{ - 1}}{3}\]

\[\frac{{ - 4}}{{7x}} + \frac{7}{5} = \frac{3}{8}\]

\[\frac{{ - 4}}{{7x}} = \frac{3}{8} - \frac{7}{5}\]

\[\frac{{ - 4}}{{7x}} = \frac{{ - 41}}{{40}}\]

 x = \(\frac{{\left( { - 4} \right).40}}{{7.\left( { - 41} \right)}} = \frac{{160}}{{287}}\).

Đặt A_n ⁼ 11ⁿ⁺¹ + 12^2n–1

A₁ = 11² + 12 = 133 chia hết cho 133

Giả sử A_k = 11^k+1 + 12^2k–1 đã chia hết cho 133

Xét: A_k+1 = 11^k+2 + 12^2k+1

= 11 . 11^k+1 + 12² . 12^2k–1

= 11. 11^k+1 + 12^2k–1 (11 + 133)

= 11 . A_k + 133 . 12^2k–1

Vì A_k chia hết cho 133 và 133 . 12^2k–1 chia hết cho 133 nên A_k+1 chia hết cho 133.

Vậy điều giả sử là đúng.

Ta có:

A = 7 + 7² + 7³ +.. + 7¹⁰⁰

A = (7 + 7² + 7³ + 7⁴) + (7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸) + (7⁹⁷ + 7⁹⁸ + 7⁹⁹ + 7¹⁰⁰)

A = (7 + 7² + 7³ + 7⁴) . (1 + 7⁴ + 7⁸ + … + 7⁹⁶)

Ta thấy 7 + 7² + 7³ + 7⁴ = 2800 = 50 . 56 chia hết cho 50

Vì vậy A chia hết cho 50.

Ta có: 2A = 2² + 2³ + … + 2¹⁰¹

2A – A = (2² + 2³ + … + 2¹⁰¹) – (2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰)

A = 2¹⁰¹ – 2

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;5} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {2;1} \right)\\\overrightarrow {CA} = \left( {1; - 6} \right)\end{array} \right.\)⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \\BC = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \\CA = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {37} \end{array} \right.\)

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\)

Áp dụng công thức Hê – rông ta có:

S_ABC = \(\sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} \)

=\(\sqrt {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {37} + \sqrt 5 - \sqrt {34} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {37} - \sqrt 5 + \sqrt {34} }}{2}} \right)} \)

= \[\frac{{\sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt {34} + \sqrt 5 } \right)}^2} - 37} \right]\left[ {37 - {{\left( {\sqrt 5 - 34} \right)}^2}} \right]} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {\left( {34 + 2\sqrt {170} + 5 - 37} \right)\left( {37 - 5 + 2\sqrt {170} - 34} \right)} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {\left( {2 + 2\sqrt {170} } \right)\left( {2\sqrt {170} - 2} \right)} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {4.170 - 4} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {169} }}{2}\]

= \[\frac{{13}}{2}\].

Xét 3 số tự nhiên tiếp : 4p, 4p + 1, 4p + 2 .

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên trong 3 số này có một số chia hết cho 3 (1)

Ta xét : 

+ Vì p là số nguyên tố ( p > 5 ) nên p không chia hết cho 3 .

Do vậy 4p không chia hết cho 3 (2)

+ Vì 2p + 1 là số nguyên tố và p > 5 nên 2p + 1 > 3.

Suy ra 2p + 1 không chia hết cho 3 .

Mà 4p + 2 = 2(2p + 1) ⇒ 4p + 2 không chia hết cho 3 (3)              

Từ (1) , (2) , (3) ta suy ra được 4p + 1 chia hết cho 3 .

Mà p > 5 ⇒ 4p + 1 > 3 không thể là số nguyên tố .

Hay nói cách khác 4p + 1 là hợp số.

\(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2022} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2022} } \right) = 2022\)

Mà \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2022} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2022} - x} \right) = 2022\)

Nên \(\sqrt {{x^2} + 2022} - x = y + \sqrt {{y^2} + 2022} \)

Hay \(x + y = \sqrt {{x^2} + 2022} - \sqrt {{y^2} + 2022} \)(1)

Lại có:

\(\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2022} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 2022} - y} \right) = 2022\)

Nên \(x + y = \sqrt {{y^2} + 2022} - \sqrt {{x^2} + 2022} \)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

2(x + y) = 0

Suy ra: x + y = 0.

3 (2² + 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1)

= (2² – 1) (2² + 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1)

= (2⁴ – 1)( (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1)

= (2⁸ – 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1)

= (2¹⁶ – 1) (2¹⁶ + 1)

= 2³² – 1.

Ta có: 2021 = 2 + 2019

Vì 2019 có tổng các chữ số là 2 + 0 + 1 + 9 = 12 ⁝ 3 nên 2019 ⁝ 3 vì thế 2019 không phải là số nguyên tố.

Ngoài số 2 là số chẵn nguyên tố duy nhất, các số nguyên tố khác hai đều là số lẻ.

Do vậy tổng của hai số nguyên tố khác 2 là một số chẵn.

Mà 2021 là số lẻ

Vậy 2021 không thể viết thành tổng của hai số nguyên tố được.

Trong 1 giờ, cả hai người làm được là:

1 : 5 = \(\frac{1}{5}\) (giờ)

Giả sử hai người đều làm trong 3 giờ thì hai người làm được là:

\(\frac{1}{5}\) . 3 = \(\frac{3}{5}\) (công việc)

Số phần công việc hai người còn lại làm được là:

1 – \(\frac{3}{5}\)= \(\frac{2}{5}\) (công việc)

Nếu 1 mình người thứ hai làm thì xong trong :

6 : \(\frac{2}{5}\)= 15 (giờ)

Một mình người thứ nhất làm thì xong được là :

 1 : (\(\frac{1}{5}\) – \(\frac{1}{{15}}\)) = \(\frac{{15}}{2}\)= 7,5 ( giờ )

Đáp số: Người thứ hai: 15 giờ; người thứ nhất: 7,5 giờ.

Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C\)= 180°

⇒ \(\widehat A\)= 180° – \(\left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

sin A = sin \(\left[ {180^\circ {\rm{ }} - \,\left( {\widehat B + \widehat C} \right)} \right]\)= sin (B + C) = sin B. cos C + sin C. cos B.

Coi số gạo mỗi học sinh ăn trong một ngày là một suất gạo.

Số ngày còn lại là:

20 – 5 =15 (ngày)

Số học sinh ăn hết số gạo trong 5 ngày là:

(80 . 15) : 5 = 240 (học sinh)

Trường đó có thêm số học sinh là:

240 – 80 = 160 (học sinh).

Đáp số: 160 học sinh.

Diện tích khu vườn là hình chữ nhật là:

250 . 200 = 50000 (m²)

Diện tích trồng cam là:

50000. ​\(\frac{1}{5}\) = 10000 (m²)

Diện tích trồng bưởi là:

(50000 – 10000) . \[\frac{3}{4}\] = 30000 (m²)

Diện tích trồng cây cảnh là:

50000 – 30000 – 10000 = 10000 (m²)

Đáp số: 10000 m².

Đổi 0,5 km = 500 m

Chiều rộng khu đất là:

500 . \(\frac{5}{8}\)= \(\frac{{625}}{2}\)(m)

Diện tích khu đất theo mét vuông là:

500 . \(\frac{{625}}{2}\)= 156250 (m²)

Đổi 156250 m² = 15,625 ha.

Chiều dài hình chữ nhật là:

(30 + 16) : 2 = 23 (m)

Chiều rộng của hình chữ nhật là:

30 – 23 = 7 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

7 . 23 = 161 (m²)

Đáp số: 161 m².

Số phần vải sau hai lần đầu người đó bán được là:

\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5}{6}\) (phần)

số phần vải tương đương với 7m vải là:

1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\) (phần)

Vậy độ dài tấm vải đó là:

7 : \(\frac{1}{6}\) = 42 (m)

Đáp số: 42 m.

Người đó dùng trong 1 ngày hết là :

1 : 18 = \(\frac{1}{{18}}\) (bể) 

Cả hai người dùng trong 1 ngày hết là : 

1 : 10 = \(\frac{1}{{10}}\) (bể) 

Người con dùng trong 1 ngày cần là : 

\[\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{18}} = \frac{2}{{45}}\] (bể) 

Nếu riêng người con thì dùng hết trong số ngày là:

1 : \(\frac{2}{{45}}\) = \(\frac{{45}}{2}\) = 22,5 (ngày)

Đáp số: 22,5 ngày.

Đổi 20 phút = \(\frac{1}{3}\)giờ

Vận tốc của người thứ nhất là:

8 : \(\frac{1}{3}\) = 24 (km/giờ)

Vận tốc của người thứ hai là:

45 : 2 = 22,5 (km/giờ)

Vậy người thứ nhất đi nhanh hơn người thứ hai.

a) Chu vi sân chơi đó là:

(12 + 8) . 2 = 40 (m).

Diện tích sân chơi đó là:

12 . 8 = 96 (m²).

b) Đổi 40 cm = 0,4 m

Diện tích một viên gạch là:

0,4 . 0,4 = 0,16 (m²).

Số viên gạch cần là:

96 : 0,16 = 600 (viên gạch ).

c) Số tiền để trả 600 viên gạch là:

600 . 25000 = 15000000 (đồng).

Công lát sân chơi đó:

96 . 15000 = 1440000 (đồng).

Tổng số tiền để chi cho việc lát nền là:

15000000 + 1440000 = 16440000 (đồng).

a) Nửa chu vi của thửa ruộng là :

0,56 : 2 = 0,28 (km)

Chiều dài thửa ruộng là là :

(0,28 : 4) × 3 = 0,21 (km)

Chiều rộng thửa ruộng là :

0,28 – 0,21 = 0,07 (km)

Diện tích thửa ruộng là :

0,21 . 0,07 = 0,0147 (km²) = 14700 m².

b) Trên cả thửa ruộng đó người ta thu hoạch được số kg ngô là:

14700 : 100 . 20 = 2940 (kg).

Chiều rộng thửa ruộng đó là: 

120 : 3  . 2 = 80 (m)

Diện tích của thửa ruộng là:

120 . 80 = 9600 (m²)

Thửa ruộng đó thu được số kg lúa là :

9600 : 150 . 60 = 3840 (kg)

Đổi 3840 kg = 38,4 tạ.

Đáp số: 38,4 tạ lúa.

a) Chiều dài mảnh vườn là:

160 : 4 = 40 (cm).

Chu vi mảnh vườn là:

(40 + 4) . 2 = 88 (cm).

b) Do khoảng cách giữa hai cây là 4 cm nên trên mỗi chiều rộng ta trồng được 2 cây và cây này nằm ở góc của mảnh vườn nên nó cũng nằm trên chiều dài của vườn.

Trên mỗi chiều dài ta trồng được số cây là:

40 : 4 = 10 (cây).

Tổng số cây trồng được là:

10 + 10 = 20 (cây).

Trường hợp 1:  p chẵn 

Vì p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất . 

⇒ p không tồn tại

Trường hợp 2:  p lẻ

Giả sử p = m + n ( m,n là số nguyên tố ). Mà p lẻ ⇒  trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn

Nếu m là số lẻ, n là số chẵn ⇒  n = 2 ⇒ p = m + 2 ⇒ m = p – 2 (1)

Tương tự, p = q – r ( q, r là số nguyên tố ).

Vì p là số lẻ ⇒  trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn

Xét q chẵn ⇒ q = 2 ⇒  p = 2 – r < 0 ( loại ) 

Vậy  q là số lẻ , r là số chẵn ⇒  r = 2 ⇒  p = q – 2 ⇒  q = p + 2 (2)

Từ (1) , (2) ta thấy  p – 2 ; p ; p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ (3) 

+ Nếu p < 5 ⇒ p – 2 < 3 ⇒  p – 2 không thể là số nguyên tố lẻ

+ Nếu p = 5 ⇒ (3) thỏa mãn ⇒  p = 5 .

+ Nếu p > 5 ⇒ p – 2 ; p ; p + 2 đều lớn hơn 3

+ Nếu p – 2 chia 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ⇒ p không phải số nguyên tố (loại) 

+ Nếu p–2 chia 3 dư 2 thì p + 2 chia hết cho 3 ⇒ p + 2 ko phải số nguyên tố (loại) 

⇒ p chỉ có thể là 5

Vậy p = 5. 

Ta có:

2^m + 2ⁿ = 2^m+n

⇔ 2^m + 2ⁿ = 2^m.2ⁿ

⇔ 2^m + 2ⁿ – 2^m.2ⁿ = 0

⇔ 2^m (2ⁿ – 1) – (2ⁿ –1) = 1

⇔ (2^m – 1)(2ⁿ – 1) = 1 = 1 . 1

Suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^m} - 1 = 1\\{2^n} - 1 = 1\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right.\)

Vậy m = n = 1.

Ta có: a ∈ BCNN (15; 18)

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

Suy ra: BCNN (21; 35; 99) = 2 . 3² . 5 = 90

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 nên a = 90.

Theo bài ra ta có:

36 ⋮ (x + 5)

Suy ra: x + 5 ∈ Ư(36)

Vì x là số tự nhiên nên x + 5 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

⇒ x ∈ {–4; –3; –2; –1; 1; 4; 7; 13; 21} mà x thuộc ℕ.

Vậy x ∈{1; 4; 7; 13; 21}.

Số lẻ lớn nhất có 3 chữ số là 999

Số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số là 101

Số các số hạng của dãy các số lẻ có 3 chữ số là:

(999 – 101) : 2 + 1 = 450

Tổng các số lẻ có 3 chữ số là:

(999 + 101) . 450 : 2 = 247500

Trung bình cộng của các số lẻ có 3 chữ số là:

247500 : 450 = 550.

Khi xoá đi chữ số 7 ở hàng trăm tức là số đó giảm đi 700 đơn vị.

Suy ra 700 là hiệu giữa số lớn và số bé.

Số lớn là:

(724 + 700) : 2 = 712.

\(\left( {x - \frac{3}{2}} \right)\left( {2x + 1} \right) > 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{3}{2} > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{3}{2} < 0\\2x + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x < \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).

Khi giảm bán kính của hình tròn đi 20% thì bán kính của hình trong khi đó là:

100% – 20% = 80%

Diện tích hình tròn mới là:

80% . 80% = 64%

Diện tích hình tròn mới so với ban đầu giảm đi:

100% – 64% = 36%

Vậy nếu giảm bán kình 20% thì diện tích giảm 36%.

Số các ước của A là: 3 . 4 . 2 = 24

Vậy S có 24 phần tử.

Chiều rộng thửa ruộng là:

140 . 0,75 = 105 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

140 . 105 = 14700 (m²).

Trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được số tấn thóc là:

14700 : 100 . 50 = 7350 (kg)

Đổi 7350 kg = 7,35 tấn.

Vậy thu hoạch được 7,35 tấn thóc.

Giá lần đầu tiên là 100%.

Giảm lần thứ nhất 10% thì còn 90%.

Giảm 10% lần 2 thì giảm: 90% : 10% = 9%

1215000 đồng ứng với:  

100% – 10% – 9% = 81% (giá lần đầu tiên)

Giá tiền của chiếc điện thoại đó là:

1215000 : 81 . 100 = 1500000 ( đồng )

6kg gạo nếp bằng:

75 – 60 = 15% (gạo tẻ)

Số gạo tẻ là:

6 : 15 . 100 = 40 (kg)

Số gạo nếp lúc đầu là:

40 : 100 . 75 = 30 (kg)

Lúc đầu có tất cả số kg gạo là:

40 + 30 = 70 (kg)

Một số có bốn chữ số khác nhau và đều là số lẻ là số nhỏ nhất thì:

Chữ số lẻ đầu tiên của nó phải là số nhỏ nhất khác 0 là số 1

Chữ số lẻ kế tiếp phải là số nhỏ nhất khác 1 tức là số 3 

Chữ số lẻ kế tiếp phải là số nhỏ nhất khác 1 và 3 tức là số 5 

Chữ số lẻ hàng đơn vị phải nhỏ nhất khác 1,3,5 tức là số 7 

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau và đều là số lẻ: 1357.

Với n = 0, 2ⁿ + 2023 = 2024 (loại vì không phải số chính phương)

Với n = 1, 2ⁿ + 2023 = 2025 = 45²

Với n ≥ 2 thì 2ⁿ chia hết cho 4

2ⁿ + 2023 = 2ⁿ + 4 . 505 + 3

Khi đó: 2ⁿ + 2023 chia 4 dư 3

Suy ra 2ⁿ + 2023 không phải số chính phương vì số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1)

Vậy n = 1.

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

324 : 2 = 162 (m)

Nửa chu vi lúc sau là:

162 + (5 + 3) = 170 (m)

Chiều rộng là:

170 : (1 + 4)= 34 (m)

Chiều dài là:

170 – 34 = 136 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

136 . 34 = 4624 (m²)

Đáp số: 4624 m².

Ta có:

\(\overline {abcd} + \overline {badc} \)= 3487

⇔ 1000a + 100b + 10c + d + 1000b + 100a + 10d + c = 3487

⇔ 1100 a + 1100b + 11c + 11d = 3487

⇔ 11 (100a + 100b + c + d) = 3487

⇔100a + 100b + c + d = 317

Do c + d có chữ số tận cùng là 7

Nên \(\left[ \begin{array}{l}c + d = 7\\c + d = 17\end{array} \right.\)

Với c + d = 7, thì a + b = 3,1 (loại)

Với c + d = 17, thì a + b = 3

Vậy a + b + c + d = 17 + 3 = 20.

Do bạn An và bạn Khang đi mua tất cả là 30 gói bánh kẹo nên số tiền phải trả bắt buộc phải chia hết cho 3

Số tiền bạn An đưa cho cô bán hàng là: 4 . 50000 = 200000 (đồng)

Số tiền cô bán hàng nhận là: 200000 – 72000 = 128000(đồng)

Vì 128000 chia hết cho 3 nên bạn Khang nói đúng.

\(\frac{7}{{19}}.\frac{1}{3} + \frac{7}{{19}}.\frac{2}{3}\)= \(\frac{7}{{19}}.\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \right)\)= \(\frac{7}{{19}}.1\)= \(\frac{7}{{19}}\).

Các số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số hàng lẻ trừ tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.

Ví dụ: số 253 có (2 + 3) – 5 = 0 ⋮ 11 nên 253 ⋮ 11.

3 số chia hết cho 11 là: 11; 121; 22; ….

\(\frac{{24056}}{{1000}}\)= 24,056.

Sau khi người đó mua thêm 20 con gà trống thì tổng số gà là:

85 + 20 = 105 (con)

Coi số gà trống là 3 phần bằng nhau thì số gà mái là 4 phần bằng nhau như thế

Số gà mái lúc đầu là:

105 : (3 + 4) . 4 = 60 (con)

Số gà trống lúc đầu là :

85 – 60 = 25 (con).

Số số của dãy trên là:

(32009 – 30) : 1 + 1 = 31980 (số)

Số cặp số của dãy là:

31980 : 2 = 15990 (cặp)

Ta có:

30 + 31 + 32 +....+ 32008 + 32009

= (30 + 32009) + (31 + 32008) + ...

= 32039 . 15990

= 512303610

Vậy 512303610 : 8 = 64037951(dư 2).

\[\frac{{48{x^7}{y^2}z}}{{6{x^2}{y^3}}} = 8{x^{7 - 2}}{y^{2 - 3}}z = 8{x^5}{y^{ - 1}}z = \frac{{8{x^5}z}}{y}\].

Tổng số km ô tô đi được trong 8 giờ là:

5 . 247 + 3 . 43 = 1364

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được số km là:

1364 : 8 = 170,5 (km).

Vì 1 tấn = 10 tạ

Nên: 5 tấn 2 tạ = 52 tạ.

Ta có:

B = x² + y² – x + 6y + 10 = \[\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + \frac{3}{4}\]

Vì \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\]≥ 0 với mọi x, y

Suy ra: B ≥ \[\frac{3}{4}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là \[\frac{3}{4}\] khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = - 3\end{array} \right.\).

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\)⇔ MA = MB

Suy ra: tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi x là số con gà, y là số con chó chó (x, y > 0)

1 con gà có 2 chân, 1 con chó có 4 chân.

Theo bài ra ta có:

x + y = 36

2x + 4y = 100

Giải hệ phương trình : x = 22; y = 14

Vậy có 22 con gà và 14 con chó.

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{8}\) bể.

Mỗi giờ vòi thư hai chảy được \(\frac{1}{{10}}\) bể.

Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{{10}}\)= \(\frac{9}{{40}}\) (bể)

Thời gian cần để nước chảy đầy bể: 1: \(\frac{9}{{40}}\) = \(\frac{{40}}{9}\) (giờ).

Tổng số tuổi của bố và con hiện nay là:

55 – (5 + 5) = 45 (tuổi)

Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 4 = 5 (phần)

Tuổi bố hiện tại là :

45 : 5 . 4 = 36 (tuổi)

Tuổi con hiện tại là :

45 – 36 = 9 (tuổi)

Theo bài ra, 12,6 gấp thừa số thứ nhất số lần là:

(1 + 6 + 3) : 10 = 1 (lần)

Thừa số thứ nhất là:

12,6 : 1 = 12,6

Tích đúng là:

12,6 . 16,3 = 205,38.

1 + 3 + 5 + ... + 19 – 2 – 4 – … – 18

= (1 + 3 + 5 + ... + 19) – (2 + 4 +… + 18)

= \(\left( {\frac{{19 - 1}}{2} + 1} \right)\frac{{\left( {19 + 1} \right)}}{2}\)– \(\left( {\frac{{18 - 2}}{2} + 1} \right)\frac{{\left( {18 + 2} \right)}}{2}\)

= 100 – 90

= 10.

Đổi 2 dm 4 cm = 24 cm

\(\frac{1}{4}\) m = 25 cm.

Diện tích hình bình hành là :

24 . 25 = 600 (cm²).

Đổi 600 cm² = 6 dm².

Đổi 1ha 422 m² = 10422 m²

Người ta đã trồng được số diện tích là:

10422 . \(\frac{4}{9}\) = 4632 (m²)

Hợp tác xã đó còn lại số mét vuông chưa trồng rau là:

10 422 – 4632 = 5790 (m²)

Đáp số: 5790 m².

a) Diện tích mảnh đất lúc đầu là:

64 . 34 = 2176 (m²).

b) Diện tích mảnh đất khi bị giảm chiều dài và giữ nguyên chiều rộng là:

2176 – 272 = 1904 (m²).

Chiều dài khi bị giảm là:

1904 : 34 = 56 (m).

Nếu chiều rộng tăng lên và bớt chiều dài thì diện tích hình vuông là:

56 . 56 = 3136 (m²).

Phần diện tích tăng thêm theo chiều rộng là:

3136 – 2176 = 960 (m²).

Đáp số: 960 m².

Đổi \(\frac{3}{8}\)m = 0,375 m

Chu vi tấm bìa là:

4 . 0,375 = 1,5 (m).

Diện tích tấm bìa là:

0,375 . 0,375 = 0,140625 (m²).

Số sản phẩm mỗi giờ làm được là:

120 : 4 = 30 (sản phẩm)

Trong 3 giờ làm được số sản phẩm là:

30 . 3 = 90 (sản phẩm).

Đáp số: 90 sản phẩm.