Chứng minh rằng: (xm + xn + 1) chia hết cho x2 + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3.
Giải bởi Vietjack
Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2
n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2
Ta có: xm + xn + 1
= x3k+r + x3t+s + 1
= x3kxr – xr + x3txs – xs + xr + xs + 1
= xr (x3k – 1) + xs (x3t – 1) + xr + xs + 1
Ta thấy: (x3k – 1) ⋮ (x2 + x + 1) và (x3t – 1) ⋮ (x2 + x + 1)
Vậy để (xm + xn + 1) ⋮ x2 + x + 1 thì (xr + xs + 1) ⋮ (x2 + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2
Hay khi: \[\left[ \begin{array}{l}r = 2;{\rm{ }}s = 1{\rm{ }}\\r = 1;{\rm{ }}s = 2\end{array} \right.\]
⇔\[\left[ \begin{array}{l}m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + 1\\m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2\end{array} \right.\]
⇔\[\left[ \begin{array}{l}mn - 2 = \left( {3k + 2} \right)\left( {3t + 1} \right) - 2 = 9kt + 3k + 6t = 3\left( {3kt + k + 2t} \right)\\mn - 2 = \left( {3k + 1} \right)\left( {3t + 2} \right) - 2 = 9kt + 6k + 3t = 3\left( {3kt + 2k + t} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.
Cho tam giác ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành.
b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
d) Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A, cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính AM.
Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của hai bố con là 55 tuổi. Hỏi hiện nay bố bao nhiêu tuổi ? Con bao nhiêu tuổi?
Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi là 30m. Chiều dài hơn chiều rộng 16m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Một hợp tác xã dự định trồng rau sạch trên diện tích là 1ha 422m2. Người ta đã trồng được \(\frac{4}{9}\) diện tích đó. Hỏi hợp tác xã còn lại bao nhiêu mét vuông chưa trồng rau?
Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 5 ). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số?
Một người có số gạo nếp bằng 75% số gạo tẻ. Sau khi bán 6 kg gạo nếp thì số gạo nếp còn lại bằng 60% số gạo tẻ. Hỏi lúc đầu người đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?
Cho tam giác ABC, gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đặt \(\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow v \). Tính \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CA} ;\,\;\overrightarrow {AB} \) theo \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v \).
Hình bình hành ABCD có độ dài đáy DC là \(\frac{1}{4}\) m, chiều cao AH là 2 dm 4 cm. Tính diện tích hình đó dưới dạng dm.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB.Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên đường tròn (M khác A; B), vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn ,cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng: \(\widehat {COD}\)= 90°.
b) Chứng minh AC . BD không đổi.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh: \[\frac{{A{B^3}}}{{CN}} = \frac{{A{C^3}}}{{BM}}\].
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 250 m, chiều rộng 200 m.Người ta dùng \(\frac{1}{5}\) diện tích của vườn để trồng cam, \[\frac{3}{4}\] diện tích còn lại để trồng bưởi. Diện tích còn lại sau khi đã trồng cam và bưởi để trồng cây cảnh.Tính diện tích rồng cây cảnh?
Cho hình chữ nhật có chu vi 324 m. Nếu ta tăng chiều dài thêm 5 m và chiều rộng thêm 3 m thì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Tính diện tích tam giác GHK biết diện tích một ô vuông nhỏ là 10 cm2.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Chứng minh AP = PQ = QC.
c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành.
