Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CA = CM

DB = DM

Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD

Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + BD + DC + CA = AB + 2CD

Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất

Ta có: CD $\ge$AB nên CD nhỏ nhât khi và chỉ khi CD = AB

Khi đó $\text{CD // AB}\iff \text{OM }\perp \text{AB}$

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

Ta có $\left(\overline{abc}+\overline{dba}\right):\overline{\text{aa}}=\overline{\text{aa}}$ nên $\left(\overline{abc}+\overline{dba}\right)=\overline{\text{aa}}.\overline{\text{aa}}=121a.a$

Vì $\overline{abc}+\overline{dba}<2000$ nên a.a.121 < 2000

Suy ra a.a < 17 nên a ∈ {1; 2; 3; 4}.

TH1. a = 1, ta có: $\overline{abc}+\overline{dba}=1.1.121=121<2000$

Mà $\overline{abc}+\overline{dba}$ không thể nhỏ hơn 200 nên loại.

TH2. a = 2, ta có: $\overline{abc}+\overline{dba}=\mathrm{2.2.121}=484<2000$

Ở hàng đơn vị ta có c + 2 = 4 thì c = 2

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 2 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 1.

Vậy a = 2, b = 4, c = 2, d = 2 hoặc a = 2, b = 9, c = 2, d = 2.

TH3. a = 3, ta có: $\overline{abc}+\overline{dba}=\mathrm{3.3.121}=1089<2000$

Ở hàng đơn vị ta có c + 3 = 9 thì c = 6

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 7 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 6.

Vậy a = 3, b = 4, c = 6, d = 7 hoặc a = 3, b = 9, c = 6, d = 6.

TH4. a = 4, ta có: $\overline{abc}+\overline{dba}=\mathrm{4.4.121}=1936<2000$

Vì $\overline{abc}=\overline{4bc}<500$ và $\overline{dba}<1000$. Do đó trường hợp này loại.

Thay các điểm M, N, P vào hàm số đều không thỏa mãn, chỉ có điểm Q(-1; 2) thỏa mãn vì 2 = -2 . (-1)

Chọn đáp án D

Diện tích hình tam giác MDC là:

6 × 4 : 2 = 12(cm²)

Ta có: ${\text{AC}}^{\text{2}}\text{ = CH . BC}$

$\iff {\text{CH}}^{\text{2}}\text{ + 16HC - 225 = 0}$

$\iff {\text{CH}}^{\text{2}}\text{ + 25HC - 9HC - 225 = 0}$

$\iff \text{CH = 9 (cm)}$

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta ACH$ vuông tại H, ta được:

${\text{AC}}^{\text{2}}{\text{ = AH}}^{\text{2}}{\text{ + HC}}^{\text{2}}$

$\iff {\text{AH}}^{\text{2}}{\text{ = 15}}^{\text{2}}{\text{ - 9}}^{\text{2}}\text{ = 144}$

hay AH = 12cm

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta ABH$ vuông tại H, ta được:

${\text{AB}}^{\text{2}}{\text{ = AH}}^{\text{2}}{\text{ + HB}}^{\text{2}}$

$\iff {\text{AB}}^{\text{2}}{\text{ = 12}}^{\text{2}}{\text{ + 16}}^{\text{2}}\text{ = 400}$

hay AB = 20cm

Ta có: BC = BH + HC

nên BC = 9 + 16 = 25cm

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là: 

$\text{1 ÷ 10 = }\frac{\text{1}}{\text{10}}\text{}$ (bể) 

Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là: 

$\text{1 ÷ 15 = }\frac{\text{1}}{\text{15}}$(bể) 

Mỗi giờ vòi thứ ba rút số phần bể là: 

$\text{1 ÷ 30 = }\frac{\text{1}}{\text{30}}$(bể) 

Khi mở vòi I và vòi II mỗi giờ chảy được số phần bể là: 

$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$(bể) 

Sau 3 giờ bể mở vòi I và vòi II bể chứa số nước là: 

$\frac{\text{1}}{\text{4}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{6}}\text{ x 3 = }\frac{\text{3}}{\text{4}}$(bể) 

Khi mở cả ba vòi thì mỗi giờ chảy được số phần bể là: 

$\frac{\text{1}}{\text{6}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{30}}\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{15}}$(bể) 

Sau khi mở vòi thứ ba thì bể nước đầy sau số giờ là: 

$\left(\text{1 - }\frac{\text{3}}{\text{4}}\right)\text{ ÷ }\frac{\text{2}}{\text{15}}\text{ = }\frac{\text{15}}{\text{8}}$(giờ) 

Trong 1 giờ vòi I và II chảy được $\frac{1}{6}$ bể  

Trong 1 giờ vòi II và III chảy được $\frac{1}{8}$bể

Trong 1 giờ vòi III và I chảy được $\frac{1}{12}$bể              

Do đó trong 1 giờ cả 3 vòi chảy được 

$\left(\frac{\text{1}}{\text{6}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{8}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{12}}\right)\text{ : 2 = }\frac{\text{3}}{\text{16}}$ (bể)

Vậy thời gian để cả 3 vòi chảy đầy bể là 1:

 $\frac{3}{16}=\frac{16}{3}$ (giờ) = 320 (phút)       

b) Trong 1 giờ vòi III chảy được

$\frac{3}{16}-\frac{1}{6}=\frac{1}{48}$  (bể)

Khi ta viết thêm vào bên trái số đó 1 thì tổng của số mới và số đã cho là:

(168 - 100) : 2 = 34

Đáp số: 34

Trung bình cộng hai đáy của hình thang là: 7 : 2 = 3,5 (m)

Đáp án cần chọn là: A

135 - 5(x + 4) = 35

5(x + 4) = 135 - 35

5(x + 4) = 100

x + 4 = 100 : 5

x + 4 = 20

x = 20 - 4

x = 16

a ) Có 4 đội bóng thi đấu với nhau mà mỗi đội đều được đá với 3 đội còn lại nên số trận đấu là :

4 x 3 = 12 ( trận đấu )

Nhưng do mỗi trận đã bị tính hai lần nên số trận đấu là :

12 : 2 = 6 ( trận đấu )

b ) Tương tự như câu a ta sẽ có công thức tổng quát cho n đội

n ( n - 1 ) : 2 ( trận đấu ) 

Tổng số trận trong bảng đấu là: 4 . 3 : 2 = 6 ( trận)

Tổng số điểm trong trận thắng ( cũng như trận thua) là: 3 + 0 = 3 ( điểm)

Tổng số điểm trong trận hòa là: 1 + 1 = 2 ( điểm)

Nếu cả 6 trận đều thắng thì có tổng số điểm là: 6 . 3 = 18 ( điểm)

Số điểm còn thiếu là: 18 – 16 = 2 ( điểm)

Có số trận hòa là: 2 : 1 = 2 ( trận)

Vậy có 2 trận hòa

a) Ta có $\overrightarrow{\text{AB}}\text{ . }\overrightarrow{\text{AC}}\text{ = }\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|\text{ . }\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|\text{ . cos}\left(\overrightarrow{\text{AB}}\text{, }\overrightarrow{\text{AC}}\right){\text{ = 2 . 3 . cos 60}}^{\text{o}}\text{ = 3.}$

Vậy $\overrightarrow{\text{AB}}\text{ . }\overrightarrow{\text{AC}}=3$

b) Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{\text{AM}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}$

Ta có $\overrightarrow{\text{BD}}\text{ = }\overrightarrow{\text{AD}}\text{ - }\overrightarrow{\text{AB}}\text{ = }\frac{\text{7}}{\text{12}}\overrightarrow{\text{AC}}\text{ - }\overrightarrow{\text{AB}}$

c) Ta có: $\overrightarrow{\text{AM}}\text{ . }\overrightarrow{\text{BD}}\text{ = }\left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\text{ . }\left(\frac{\text{7}}{\text{12}}\overrightarrow{\text{AC}}\text{ - }\overrightarrow{\text{AB}}\right)$

$\text{= }\frac{\text{7}}{\text{24}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ . }\overrightarrow{\text{AC}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{2}}{\overrightarrow{\text{AB}}}^{\text{2}}\text{ + }\frac{\text{7}}{\text{24}}{\overrightarrow{\text{AC}}}^{\text{2}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}\text{ . }\overrightarrow{\text{AB}}$

$\text{= }\frac{\text{7}}{\text{24}}\text{ . 3 - }\frac{\text{1}}{\text{2}}{\text{ . 2}}^{\text{2}}\text{ + }\frac{\text{7}}{\text{24}}{\text{ . 3}}^{\text{2}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{ . 3 = 0}$

Do đó $AM\perp BD$.

$\frac{3}{20}$ số viên bi có màu nâu.

$\frac{\text{4}}{\text{20}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{5}}$ số viên bi có màu xanh

$\frac{\text{5}}{\text{20}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{4}}$ số viên bi có màu đỏ.

$\frac{\text{8}}{\text{20}}\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{5}}$ số viên bi có màu vàng.

Khoanh vào B.

Ta có: 
Gọi số túi mà Hoa chia được là x  (túi) 
Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên $\text{48 }⋮\text{ x; 30 }⋮\text{x}$ và $\text{60 }⋮\text{ x}$
$\Rightarrow \text{x}\in$ƯC(48; 30; 60)

Vì x  là lớn nhất nên x = ƯCLN(48; 30; 60)
Ta có: 48 = 2⁴ . 3; 30 = 2 . 3 . 5; 60 = 2² . 3 . 5
$\Rightarrow$x = ƯCLN(48; 30; 60) = 2 . 3 = 6 .
Vậy Hoa chia được nhiều nhất là 6 túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét $\Delta CBD$có :

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA = MA’.

Do đó : MA + MB = MA’ + MB = A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A + M’B = M’A’ + M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’ 

Vì hai điểm A, B phân biệt nên có thể vẽ được đường thẳng d’ đi qua hai điểm đó.

Hai điểm A, B không thuộc d thì d’ không trùng với d

Theo đầu bài, ta cần ba điểm A, B, C thẳng hàng nghĩa là C phải nằm trên đường thẳng d’ mà C phải thuộc vào d. Do đó C là giao điểm của hai đường thẳng d và đường thẳng d’.

+) Nếu d’ và d không có giao điểm nghĩa là d’ song song với d thì không thể tìm được điểm C như vậy.

Chọn A

Số tam giác được tạo thành từ 10 điểm là $C_{10}^3$ tam giác

Do 4 điểm A₁, A₂, A₃, A₄ thẳng hàng nên số tam giác mất đi là $C_4^3$

Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là $C_{10}^3-C_4^3=116$ tam giác

$\text{y = 5}\left[\frac{\text{3}}{\text{5}}\text{sin}\left(\text{3x + }\frac{\text{π}}{\text{6}}\right)\text{ + }\frac{\text{4}}{\text{5}}\text{cos}\left(\text{3x + }\frac{\text{π}}{\text{6}}\right)\right]$

$\text{y = 5 . sin}\left(\text{3x + }\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{ + a}\right)$ với $\text{cosa = }\frac{\text{3}}{\text{5}}$

Do $-1\le \text{sin}\left(\text{3x + }\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{ + a}\right)\le 1$

$\Rightarrow \text{-5}\le \text{y}\le \text{5}$

Vì đường thẳng đi qua A nên tọa độ điểm A thỏa mãn: y₁ = ax₁ + b (1).

Đường thẳng đi qua B nên tọa độ điểm B thỏa mãn: y₂ = ax₂ + b (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được: $a=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2},b=y_1-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.x_1=\frac{y_1{x}_2-y_2{x}_1}{x_1-x_2}$

Do đó ta có: $\frac{{\text{y - y}}_{\text{1}}}{{\text{y}}_{\text{2}}{\text{ - y}}_{\text{1}}}\text{ = }\frac{{\text{x - x}}_{\text{1}}}{{\text{x}}_{\text{2}}{\text{ - x}}_{\text{1}}}$.

y = -x + 5

Cho $\text{x = 0 }\Rightarrow \text{ y = 5 }\Rightarrow$ dths đi qua A(0; 5)

cho  $\text{y = 0 }\Rightarrow \text{ x = 5 }\Rightarrow$ dths đi qua B(5; 0)

Nối A; B ta được dths y = -x + 5

$y=\frac{x}{2}-1$

cho $\text{x = 0 }\Rightarrow \text{ y = -1 }\Rightarrow$ dths đi qua C(0; -1)

cho $x= -2\Rightarrow \text{ y = 0 }\Rightarrow$ dths đi qua D(2; 0)

Nối C; D ta được dths cần tìm

b) Từ dths ta thấy tọa độ giao điểm của 2 hàm số là E(4; 1)

Nhận thấy $\text{M }\in {\text{d}}_{\text{2}}$

Ta thay tọa độ điểm M vào phương trình d₁ được phương trình

$\text{3 = -}\left(\text{2m - 2}\right)\text{ . 1 + 4m}\iff \text{m = }\frac{\text{1}}{\text{2}}$

Vậy $\text{m = }\frac{\text{1}}{\text{2}}$                     

Đáp án cần chọn là: A.

Vì BD là đường phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ nên: $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}\text{ = }\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$

Suy ra:$\frac{\text{AD}}{\text{DC + AD}}\text{ = }\frac{\text{AB}}{\text{BC + AB}}$ (theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau) $\Rightarrow \frac{\text{AD}}{\text{AC}}\text{ = }\frac{\text{AB}}{\text{BC + AB}}$.

Mà tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 15cm

Đáp án: C

$\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(t/c tam giác cân)

$\Rightarrow \frac{\widehat{\text{ABC}}}{\text{2}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ACB}}}{\text{2}}$

Mà $\widehat{\text{ABD}}\text{ = }\widehat{\text{CBD}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ABC}}}{\text{2}}$

$\widehat{\text{ACE}}\text{ = }\widehat{\text{BCE}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ACB}}}{\text{2}}$

Nên $\widehat{\text{ABD}}\text{ = }\widehat{\text{CBD}}\text{ = }\widehat{\text{ACE}}\text{ = }\widehat{\text{BCE}}$

Xét $\Delta EBC$ và $\Delta DCB$có:

$\widehat{\text{EBC}}\text{ = }\widehat{\text{DCB}}$ (cmt)

BC là cạnh chung

$\widehat{\text{ECB}}\text{ = }\widehat{\text{DBC}}$ (cmt)

Do đó, $\Delta EBC=\Delta DCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow$ BE = CD (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (gt) nên AB - BE = AC - CD

$\Rightarrow$AE = AD

$\Rightarrow \Delta AED$cân tại A (đpcm)

+ Ta tìm điểm I(a; b; c) thỏa mãn

$\overrightarrow{\text{IA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{IB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{IC}}$

Hay $\left\{\begin{array}{c}\text{1 - a + 3 - a - 2a = 0}\\ \text{-b + 2 - b + 2(5 - b) = 0}\\ \text{-c + 4 - c + 2(4 - c) = 0}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=3\\ c=3\end{array}\right.\Rightarrow \text{I}\left(\text{1; 3; 3}\right)$

+ Khi đó: $\left|\overrightarrow{\text{MA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{MB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{MC}}\right|\text{ = }\left|\text{4}\overrightarrow{\text{MI}}\right|\ge \text{4IH}$

với H là hình chiếu của I trên  (Oxy) và H(1; 3; 0)

Do đó $\text{min}\left|\overrightarrow{\text{MA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{MB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{MC}}\right|\text{ = 4IH = 12}$

khi $H\equiv M$ hay M(1;3;0)

Đáp án cần chọn là: A

a) Do tam giác ABC vuông cân nên $\widehat{\text{ABC}}\text{ =}\widehat{\text{ ACB}}\Rightarrow \widehat{\text{ABE}}\text{ = }\widehat{\text{ACD}}$

Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:

AB = AC (gt)

$\widehat{\text{ABE}}\text{ = }\widehat{\text{ACD}}$

$\Rightarrow \text{ΔABE = ΔACD}$ (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow$ BE = CD; AE = AD

b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của $\Delta ABC$nên AI cũng là phân giác góc A.

Do $\Delta ABC$ cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.

Vậy thì $\widehat{\text{AMC}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}\text{; BM = MC = AM}$

Từ đó suy ra $\Delta AMC$ vuông cân tại M.

c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G.

Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có

$\text{ΔBDJ = ΔBHJ; ΔBAG = ΔBKG}\Rightarrow \text{BD = BH; BA = BK}$

$\Rightarrow HK=AD$

Mà AD = AE nên HK = AE.    (1)

Do $∆BAK$ cân tại B, có ${}^{\text{o}}\Rightarrow \widehat{\text{BAK}}\text{ = }\frac{{\text{180}}^{\text{o}}{\text{ - 45}}^{\text{o}}}{\text{2}}{\text{ = 67,5}}^{\text{o}}$

$\Rightarrow \widehat{\text{GAE}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}{\text{ - 67,5}}^{\text{o}}{\text{ = 22,5}}^{\text{o}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{IAE}}}{\text{2}}$

Suy ra AG là phân giác góc IAE.

Từ đó ta có $\widehat{\text{KAC}}\text{ = }\widehat{\text{ICA}}\left({\text{ = 22,5}}^{\text{o}}\right)$

$\Rightarrow \text{ΔAKC = ΔCIA}\left(\text{g - c - g}\right)\Rightarrow \text{KC = IA}$

Lại có $∆AIE$có AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.

Chọn 3 nam trong 5 nam là số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử: $C_5^3$

Chọn 2 nữ trong 3 nữ là số tổ hợp chập 2 của 3 phần tử: $C_3^2$

Số cách chọn thỏa mãn đề bài là ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}{\text{ . C}}_{\text{3}}^{\text{2}}\text{ = 30}$

Chọn C

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta BCH$  có:

AH cạnh chung

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (AH là tia phân giác của góc BAC)

AB = AC (gt)

Suy ra: $\text{ΔABH = ΔACH}\left(c–g–c\right)$

b) Ta có $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ vì $\Delta ABH=\Delta ACH$)

Mà: $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}={180}^0$ (kề bù)

Suy ra: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^0$ hay $AH\perp BC$ (1)

c) Gọi I là giao điểm của AH và DE

Xét hai tam giác vuông: $\Delta ADH$ và $\Delta AEH$ có:

AH cạnh chung

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (AH là tia phân giác của góc BAC)

Suy ra: $\text{ΔADH = ΔAEH}$ (ch – gn)

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AẸI$ có:

AI: cạnh chung

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (AH là tia phân giác của góc BAC)

$\text{AD = AE }\left(\text{ΔADH = ΔAEH}\right)$

Suy ra: $\Delta ADI=\Delta AEI$(c – g – c)

Suy ra $\widehat{\text{AID}}\text{ = }\widehat{\text{AIE}}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{\text{AID}}\text{ = }\widehat{\text{AIE}}{\text{=180}}^0$ (kề bù)

Suy ra $\widehat{\text{AID}}\text{ = }\widehat{\text{AIE}}={90}^0$ hay $AH\perp DE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE // BC

a) Ta có: $\widehat{{\text{M}}_{\text{1}}}\text{ = }\widehat{{\text{M}}_{\text{2}}}$ (2 góc đổi đỉnh)

$\Rightarrow \text{ΔAMP = ΔBMC(g . c . g)}\Rightarrow \text{MP = MC}$

Xét tứ giác APBC có AB và CP là 2 đường chéo nhau tại trung điểm mỗi đường nên APBC là hình bình hành.
Vì APBC là hình bình hành nên $\text{BC // AP}\Rightarrow \text{BC // DP}$ mà $\text{BC }\perp \text{CD}$

$\Rightarrow$ BCDP là hình thang vuông (Điều phải chứng minh).
b) Nhận xét: ${\text{S}}_{\text{ADC}}{\text{ = S}}_{\text{ABC}}{\text{ = S}}_{\text{ABP}}$ và đặt ${\text{S}}_{\text{ADC}}{\text{ = S}}_{\text{ABC}}{\text{ = S}}_{\text{ABP}}\text{ = a}$

Khi đó:${\text{2S}}_{\text{BCDP}}{\text{ = 2 . 3a = 6a; 3S}}_{\text{APBC}}\text{ = 3 . 2a = 6a}$

Suy ra đpcm.

c) Vì M là trung điểm của AB nên $\text{BM = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AB}$

Vì N là trung điểm của BC nên $\text{CN = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BC}$ mà $\text{AB = BC}\Rightarrow \text{BM = CN}\Rightarrow \text{ΔCBM = ΔDCN(c . g . c)}\Rightarrow \widehat{{\text{C}}_{\text{1}}}\text{ = }\widehat{{\text{D}}_{\text{1}}}$

mà $\Delta DCN$ vuông tại C nên

$\widehat{{\text{D}}_{\text{1}}}\text{ + }\widehat{{\text{N}}_{\text{1}}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}\Rightarrow \widehat{{\text{C}}_{\text{1}}}\text{ + }\widehat{{\text{N}}_{\text{1}}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}\Rightarrow \widehat{\text{CQN}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}$

$\Rightarrow \Delta PDQ$ vuông tại Q.
Xét $\Delta PDQ$ vuông tại Q, có QA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow \text{QA = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{PD = AD}$ mà $\text{AD = AB}\Rightarrow \text{AQ = AB}$ (Điều phải chứng minh). 

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB (gt), nên suy ra

2AB – BM + CN = 2AB ⇔ – BM + CN = 0 ⇔ BM = CN.

Vậy BM = CN (đpcm).

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

$\widehat{MEB}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị) nên ∆BME cân tại M ⇒ BM = ME mà BM = CN nên ME = CN.

$\widehat{\text{CNI}}\text{ = }\widehat{\text{IME}}$ (hai góc so le trong)

$\widehat{\text{MEI}}\text{ = }\widehat{\text{NCI}}$ (hai góc so le trong)

Ta chứng minh được  $\text{ΔMEI = ΔNCI\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g . c . g)}$

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt),

$\widehat{\text{MIK}}\text{ = }\widehat{\text{NIK}}{\text{ = 90}}^{\text{0}}$

IK là cạnh chung. Do đó $\widehat{\text{BAK}}\text{ = }\widehat{\text{CAK}}$

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt),$\widehat{\text{BAK}}\text{ = }\widehat{\text{CAK}}$ (do BK là tia phân giác của $\widehat{BAC}$), AK là cạnh chung, do đó $\text{ΔABK = ΔACK(c . g . c)}$ 

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó

372,95 : 3 = 124.316666667

757,5 : 35 = 21.6428571429

431,25:125 = 3.45

35,1 x 8,5 = 298.35

5(x + 3y) - 15x ( x + 3y ) = (x + 3y)(5 - 15) = -10(x + 3y)

Chọn B.

Gọi A’(x; y)  là tọa độ chân đường cao vẽ từ A; 

$\overrightarrow{BC}\left(-3;6\right)$ và $\overrightarrow{\text{AA'}}\left(\text{x - 5; y - 3}\right)$

Ta có AA’ và BC vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{\text{AA'}}\text{ . }\overrightarrow{\text{BC}}\text{ = 0}$

Suy ra  -3(x - 5) + 6(y - 3) = 0 hay x - 2y + 1 = 0     (1)

Và $\overrightarrow{\text{BA'}}\left(\text{x - 2; y + 1}\right)\text{; }\overrightarrow{\text{BC}}\left(\text{-3; 6}\right)$

cùng phương nên  2x + y – 3 = 0    (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = 1

Vậy điểm A’ cần tìm có tọa độ (1; 1).

F là trung điểm AB $\Rightarrow \overrightarrow{\text{AF}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}$; E là trung điểm AC $\Rightarrow \overrightarrow{\text{AE}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}$

Ta có EF song song BC (đường trung bình)

Mà D là trung điểm BC $\Rightarrow$ I là trung điểm EF $\Rightarrow$ AI là trung tuyến $\Delta AEF$

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{AI}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AE}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AF}}$

Theo tính chất trọng tâm:

$\overrightarrow{\text{AG}}\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AD}}\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{3}}\left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{3}}\left(\overrightarrow{\text{AE}}\text{ + }\overrightarrow{\text{AF}}\right)\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AE}}\text{ + }\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AF}}$

DE là đường trung bình tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{DE}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{BA}}\text{ = -}\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ = -}\overrightarrow{\text{AE}}$  hay $\overrightarrow{\text{DE}}\text{ = -}\overrightarrow{\text{AE}}\text{ + 0 . }\overrightarrow{\text{AF}}$

D là trung điểm BC $\Rightarrow \overrightarrow{\text{DC}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{BC}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{DC}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{BA}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}\text{ = -}\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AB}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2}}\overrightarrow{\text{AC}}\text{ = -}\overrightarrow{\text{AE}}\text{ + }\overrightarrow{\text{AF}}$

Đặt $\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{d}}\text{ = k}\left(\text{k}\in {\text{N}}^{\text{*}}\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=bk\\ c=dk\end{array}\right.\Rightarrow \frac{2bk-3b}{2bk+3b}=\frac{2dk-3d}{2dk+3d}$

Xét vế trái $\frac{\text{2a - 3b}}{\text{2a + 3b}}\text{ = }\frac{\text{2bk - 3b}}{\text{2bk + 3b}}\text{ = }\frac{\text{b}\left(\text{2k - 3}\right)}{\text{b}\left(\text{2k+3}\right)}\text{=}\frac{\text{2k-3}}{\text{2k + 3}}\left(\text{1}\right)$

Xét vế phải $\frac{\text{2c - 3d}}{\text{2c + 3d}}\text{ = }\frac{\text{2dk - 3d}}{\text{2dk + 3d}}\text{ = }\frac{\text{d}\left(\text{2k - 3}\right)}{\text{d}\left(\text{2k+3}\right)}\text{=}\frac{\text{2k-3}}{\text{2k + 3}}\left(\text{2}\right)$

Từ (1) và (2) ta có Đpcm

Đáp án đúng là: A

+) Tam giác SBD có SO là đường trung tuyến; điểm I nằm trên đoạn SO; $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$.

 nên I là trọng tâm tam giác SBD.

⇒ M là trung điểm SD, N là trung điểm SB.

+) Tam giác SBD có MN là đường trung bình nên MN// BD và 

$MN=\frac{1}{2}SD$

⇒ Nên MNBD là hình thang.

a) Gọi $\text{O = AC}\cap \text{BD}\Rightarrow \text{O}\in \left(\text{SAC}\right)\cap \left(\text{SBD}\right)$ (1)

Mà $\text{S}\in \left(\text{SAC}\right)\cap \left(\text{SBD}\right)$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left(\text{SAC}\right)\cap \left(\text{SBD}\right)\text{=SO}$

b) Trong mặt phẳng (SBD) gọi $\text{G = BK}\cap \text{SO}\Rightarrow \text{G}\in \text{SO}\subset \left(\text{SAC}\right)$

$\Rightarrow \text{G = BK}\cap \left(\text{SAC}\right)$

Ta có $\text{G = BK}\cap \text{SO}$  mà BK và SO là các đường trung tuyến của tam giác SBD 

$\Rightarrow$G là trọng tâm tam giác SBD.

a) Xét tứ giác ABCE có AB song song và bằng EC (gt) nên nó là hình bình hành.

b) Xét tứ giác ABED có AB song song và bằng DE (gt) nên nó là hình bình hành.

Lại có $\widehat{ADE}={90}^0$ nên ABED là hình chữ nhật.

Lại có AB = AD nên ABED là hình vuông.

c) Xét tam giác AME và DMB có :

ME = B

AE = DB (Hai đường chéo hình vuông)

$\widehat{AEM}=\widehat{DBM}={45}^0$ (ABED là hình vuông)

$\Rightarrow \Delta AEM=\Delta DBM\left(c-g-c\right)\to \widehat{MAE}=\widehat{MDE}\left(1\right)$

Xét hai tam giác vuông AHI và DOI có:

$\widehat{AIH}=\widehat{DIO}$ (Hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{HAI}=\widehat{DIO}$ (Cùng phụ với hai góc bên trên)    (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{ODK}=\widehat{IDO}$ hay DO là tia phân giác của góc $\widehat{IDK}$

d)  Xét $∆$IDK có DO là tia phân giác đồng thời là đường cao nên nó là tam giác cân tại D.Vậy thì DO là đường trung tuyến hay OI = OK.

Do ABED là hình vuông nên O là trung điểm BD.

Xét tứ giác DIBK có O là trung điểm hai đường chéo nên DIBK là hình bình hành.

Lại có $IK\perp DB$ nên DIBK là hình thoi.

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta HBE$ ta có :

BE là cạnh chung

$\widehat{{\text{B}}_{\text{1}}}\text{ =}\widehat{{\text{ B}}_{\text{2}}}$

Do đó $\text{ΔABE = ΔHBE}$(cạnh huyền – góc nhọn).

b) Vì  $\text{ΔABE = Δ HBE}$ (chứng minh trên)

Suy ra BA = BH, EA = EH (các cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ EB là đường trung trực của AH.

c) Xét $\Delta AEK$ và $\Delta HEC$ ta có:

AE = EH (chứng minh trên)

$\widehat{{\text{E}}_{\text{1}}}\text{ = }\widehat{{\text{E}}_{\text{2}}}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{\text{KAE}}\text{ = }\widehat{\text{CHE}}\text{ = 90°}$

Do đó $\Delta AEK=\Delta HEC$ (g.c.g).

Suy ra EK = EC (hai cạnh tương ứng).

d) $\Delta EHC$vuông tại H có EH < EC (do cạnh huyền là lớn nhất trong tam giác vuông).

Mà EH = AE (câu b) nên AE < EC.

a) Xét tứ giác ADME có $\widehat{\text{DAE}}\text{ =}\widehat{\text{ ADM}}\text{ = }\widehat{\text{AEM}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}$

$\Rightarrow$ADME là hình chữ nhật

$\Rightarrow$AM= DE

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE $\Rightarrow$ OA = OM = OD = OE (2)

Do ADME là hình chữ nhật $\Rightarrow$DA = ME

$\Rightarrow$ 2DA = 2ME hay DA + AI = EM + MK (vì DA = AI; ME = MK)

$\Rightarrow$ DI = EK

Xét tứ giác DIEK có DI = EK (cmt)

     DI // EK (vì CEDM là HCN)

$\Rightarrow$ DKEI là hình bình hành

Do O là trung điểm của DE $\Rightarrow$ KI đi qua O

$\Rightarrow$ DE cắt IK tại O và OD = OE;  OK = OI (1) 

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ DE; AM; IK đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường

c) Xét AHM vuông tại H có O là trung điểm của AM, khi đó HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Suy ra $\text{HO = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{ . AM}$

Mặt khác, AM = DE.

$\Rightarrow \text{HO = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{ . DE}$ 

Xét DHO có đường trung tuyến $\text{HO = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{ . DE}$

$\Rightarrow$ DHE vuông tại H $\Rightarrow \widehat{\text{DHE}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}$