2x² – 3x – 2

= 2x² – 4x + x – 2

= (2x² – 4x) + (x – 2)

= 2x(x – 2) + (x – 2)

= (2x + 1)(x – 2).

Xét tam giác CAH vuông tại H có:

\(\tan \widehat {HAC} = \tan 32^\circ = \frac{{CH}}{{HA}} \Rightarrow HA = \frac{{CH}}{{\tan 32^\circ }}\)

Xét tam giác CBH vuông tại H có:

\(\tan \widehat {HBC} = \tan 43^\circ = \frac{{CH}}{{BH}} \Rightarrow BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB = AH - BH\\ \Rightarrow CH\left( {\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 43^\circ }}} \right) = 25 \Rightarrow CH = \frac{{25}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 43^\circ }}} \right)}} \approx 47,4\,\,(m)\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).

Đáp án đúng là: A

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{6} - \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

a) Thể tích vật là:

V = abc = 30.20.10 = 6000 cm³ = 6.10^–3 m³

b) Thể tích chìm trong chất lỏng là:

V’ = 20.20.10 = 4000 cm³ = 4.10^–3 m³

Lực đẩy Ác – si – mét là:

F_A = dV’ = 12000.4.10^–3 = 48 N.

Hàm số y = ax + a + 1 có đồ thị là đường thẳng.

Với a ≠ 0 và a ≠ –1 thì đồ thị đó không đi qua gốc tọa độ O.

Gọi A là giao điểm của đồ thị với Ox nên ta có: \(A\left( {\frac{{ - a - 1}}{a};0} \right)\)

Do đó, \(OA = \left| {\frac{{a + 1}}{a}} \right|\)

Gọi B là giao điểm của d với Oy ⇒ B(0; a + 1) ⇒ OB = |a + 1|

Từ O kẻ vuông góc với AB được OH

Ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{O{B^2} + O{A^2}}}{{O{A^2}.O{B^2}}} = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}.{{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\frac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}{{{a^2}}}}}\)

\( = \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} = \frac{{{a^2} + 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} + 2a + 1}}\)

\( \Rightarrow O{H^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} + 1}} = 1 + \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}} = 1 + \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}}\).

Với a < 0 thì OH² ≤ 1

Với a > 0 thì:

Ta có: \(a + \frac{1}{a} \ge 2\,\,\,\forall a > 0\)

\( \Rightarrow \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}} \le 1\,\,\forall a > 0 \Rightarrow O{H^2} = 1 + \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}} \le 2\,\,\forall a > 0\)

Do đó, giá trị lớn nhất của OH_max ⇔ OH²_max ⇔ \(a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì a > 0).

a)

Đường thẳng (d) đi qua hai điểm (0; 1) và (–1; 0).

Đường thẳng (d’) đi qua hai điểm (0; 3) và (3; 0).

Hình vẽ:

b)

Tọa độ điểm A(–1; 0) và B(3; 0) như hình vẽ.

Gọi điểm C(x₀; y₀)

Tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = {x_0} + 1\\{y_0} = - {x_0} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} = - 1\\ - {x_0} - {y_0} = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 2\end{array} \right.\)

Do đó, C(1; 2)

c)

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = \left( {4;0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 4\] (cm)

\[\overrightarrow {AC} = \left( {2;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 2\sqrt 2 \] (cm)

\[\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = 2\sqrt 2 \] (cm)

Chu vi tam giác ABC là: C = AB + AC + BC = \(4 + 4\sqrt 2 \) (cm)

d)

Góc tạo bởi y = x + 1 với Ox chính là góc \(\widehat {CAB}\)

Xét tam giác ABC

Ta có:

\(\begin{array}{l}C{B^2} = C{A^2} + A{B^2} - 2CA.AB.\cos \widehat {CAB}\\ \Rightarrow \cos \widehat {CAB} = \frac{{C{A^2} + A{B^2} - C{B^2}}}{{2CA.AB}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \widehat {CAB} = 45^\circ \end{array}\)

Gọi số ngày tổ 1 làm một mình hết công việc là: x (giờ); số ngày tổ 2 làm một mình hết công việc là: y (giờ)

(x, y > 0)

Một ngày một mình tổ 1 làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Một ngày một mình tổ 2 làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Vì cả hai tổ làm chung thì 15 giờ xong nên ta có phương trình:

\(15.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{15}}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\) (công việc)

Vì tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{10}}\) (công việc)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15}}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\\\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 60\end{array} \right.\)

Vậy đội 1 làm một mình thì sau 20 giờ sẽ xong việc; đội 2 làm một mình thì sau 60 giờ sẽ xong công việc.

\(\begin{array}{l}{x^3} + a{x^2} + 2x + b = x\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {a - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + x + b - \left( {a - 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)\\ = \left( {x + a - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + x\left( {2 - a} \right) + \left( {b - a + 1} \right)\end{array}\)

Thấy rằng bậc của x(2 – a) + (b – a + 1) nhỏ hơn bậc của x²  + x + 1 nên nó là số dư của x³ + ax² + 2x + b chia cho x² + x + 1

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu để bài thì: x(2 – a) + (b – a + 1) = 0

Hay a = 2; b = 1

Vây (a; b) = (2; 1).

\(\sqrt {2x - 1} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\).

a)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{{25}}{{144}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{144}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{12}}{5} = 2,4\) (cm)

b)

Xét đường tròn O có: OH là một phần đường kính, AC là dây cung, OH vuông góc với AC tại H nên H là trung điểm của AC

Do đó, OB là đường trung trực của AC nên ta có: AB = CB

Xét tam giác OAB và tam giác OCB có:

AB = CB

OB chung

OA = OB (cùng bằng bán kính)

Do đó, tam giác OAB bằng tam giác OCB

Do đó, ta có: \(\widehat {OCB} = \widehat {OAB} = 90^\circ \)

Vậy BC vuông góc với bán kính OC nên BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\(A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} = 15 - 5n\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{3}{2}.n\left( {n - 1} \right) = 15 - 5n\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n - \frac{3}{2}{n^2} + \frac{3}{2}n = 15 - 5n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{n^2} + \frac{{11}}{2}n - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Coi 5 nam là một nhóm, số cách xếp nhóm 5 bạn vào một hàng dọc 10 chỗ là: 6 cách.

Số cách hoán vị chỗ của 5 nam trong nhóm là: 5!.

Số cách hoán vị chỗ của 5 nữ cho 5 vị trí còn lại là: 5!

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 6.5!.5! = 86400.

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \) ở đó a, b, c, d thuộc {1; 2; 5; 7}

a)

Để số đó lớn hơn 4000 thì chữ số a phải bắt đầu bằng chữ số 5 hoặc 7.

Vậy chữ số a có 2 cách chọn, chữ số b có 4 cách chọn, chữ số c có 4 cách chọn, d cũng có 4 cách chọn.

Suy ra có tất cả các chữ số lớn hơn 4000 là 2.4.4.4 = 128 (số)

b)

Để số đó lớn hơn 4000 thì chữ số a phải bắt đầu bằng 5 hoặc 7

mà các chữ số khác nhau suy ra b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn và d có 1 cách chọn

Số các chữ số cần tìm là: 2.3.2.1=12 số.

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}}\\ = \frac{1}{{\frac{1}{{co{s^2}x}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} = co{s^2}x + {\sin ^2}x = 1\end{array}\)

AB song song với CD

\( \Rightarrow {S_{BAD}} = {S_{ABC}} \Rightarrow {S_{BAD}} - {S_{OAB}} = {S_{ABC}} - {S_{OAB}} \Rightarrow {S_{OAD}} = {S_{OBC}} = 10c{m^2}\)

\(\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{{S_{OAB}}}}{{{S_{OAD}}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

\(\frac{{{S_{OBC}}}}{{{S_{ODC}}}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{3}{5}\)

\( \Rightarrow {S_{ODC}} = \frac{5}{3}{S_{OBC}} = \frac{5}{3}.10 = \frac{{50}}{3}\left( {c{m^2}} \right)\)

\({S_{ABCD}} = {S_{OAB}} + {S_{OAD}} + {S_{OBC}} + {S_{ODC}} = 6 + 10 + 10 + \frac{{50}}{3} = \frac{{128}}{3}\left( {c{m^2}} \right)\).

\(\begin{array}{l}{\sin ^8}x + co{s^8}x\\ = {\left( {{{\sin }^4}x + co{s^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x.co{s^4}x\\ = {\left( {1 - 2{{\sin }^2}x.co{s^2}x} \right)^2} - \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\\ = {\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)^2} - \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\\ = 1 - {\sin ^2}2x + \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 1 - \frac{{1 - cos4x}}{2} + \frac{1}{8}{\left( {\frac{{1 - cos4x}}{2}} \right)^2}\\ = 1 - \frac{{1 - cos4x}}{2} + \frac{1}{{32}}\left( {1 - 2cos4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)\\ = \frac{{35}}{{64}} + \frac{7}{{16}}cos4x + \frac{1}{{64}}cos8x\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\\ \Rightarrow {\sin ^4}x + co{s^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ = 1 - 2{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ \Rightarrow {\sin ^8}x + co{s^8}x = {\left( {{{\sin }^4}x + co{s^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x.co{s^4}x\\ = 1 + {\sin ^4}x.co{s^4}x - 4{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ = 1 + 2{\sin ^2}x.co{s^2}x.\left( {{{\sin }^2}x.co{s^2}x - 2} \right)\\ = 1 + \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2}.\left( {\frac{{{{\sin }^2}2x}}{4} - 1} \right)\end{array}\)

Đặt t = sin²2x (0 < t < 1)

Phương trình đã cho có dạng:

\(\begin{array}{l}1 + \frac{t}{2}\left( {\frac{t}{4} - 2} \right) = \frac{1}{8}\\ \Leftrightarrow 8 + {t^2} - 8t = 1\\ \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 7 = 0\\ \Rightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\,\,(TM)\end{array}\)

Với t = 1 ta có:

\({\sin ^2}2x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} \\ \Rightarrow - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \end{array}\)

\(\sin A = \cos B + \cos C = 2cos\frac{{B + C}}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( = 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{A}{2} = 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow cos\frac{A}{2} = cos\frac{{B - C}}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \frac{{B - C}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B = \widehat A + \widehat C\\ \Rightarrow 2\widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat B = 90^\circ \end{array}\)

a)

\(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 1}}\) (với x > 0, x ≠ 1)

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 1}}\)

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 1}}\)

\(P = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

\(P = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

\(P = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}\).

b)

\(P > \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{x - 1}}{x} > \frac{1}{2}\) (1)

Với x > 0, x ≠ 1 ta có:

(1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x > 2x - 2\\ \Leftrightarrow x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow x < 2\end{array}\)

a) Có cặp quan hệ từ biểu thị mối quan gệ tương phản

Dù học giỏi nhưng nó đã rớt cuộc thi.

b) Có cặp quan hệ từ biểu thị mối quan hệ nguyên nhân kết quả

Do đau chân nên tôi phải nghỉ tập.

c) Đặt câu sử dụng cặp quan hệ từ biểu thị quan hệ tăng tiến

Càng đau nó càng quyết tâm vượt qua.

Điều kiện xác định: x > 2

\(\frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}{{2\sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 2} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }}\).

Trong 31 số đã cho có ít nhất 1 số là số dương (vì nếu 31 số đã cho đều âm thì tổng của 5 số bất kỳ không thể là 1 số dương)

Tách riêng số dương đó ra còn 30 số, nhóm 5 số vào 1 nhóm thì được 6 nhóm. Trong đó nhóm nào cũng là 1 số dương

Tổng của 30 số là 1 số dương cộng thêm 1 số dương đã tách.

Vậy tổng của 31 số đó là 1 số dương.

a)

Đồ thị hàm số y = x + 1 là đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (–1; 0) và (0; 1)

Đồ thị hàm số y = –x + 3 là đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 3)

Vẽ hai đường thẳng d₁ và d₂ trên mặt phẳng Oxy như hình vẽ:

b)

Gọi A(x­_A; y_A), B(x_B; y_B) lần lượt là giao điểm của d_1­, d₂ với trục hoành và C(x_C; y_C) là giao điểm của d₁ và d₂.

Ta có:

y_A­ = 0 ⇒ x_A + 1 = 0 ⇒ x_A = –1 ⇒ A(–1; 0)

y_B = 0 ⇒ –x_B + 3 = 0 ⇒ x_B = 3 ⇒ B(3; 0)

x_C là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

x + 1 = –x + 3

⇔ 2x = 2

⇔ x = 1

Do đó, x_C = 1 , y_C = 2 ⇒ C(1; 2).

Nửa chu vi hình chữ nhật đó là:

96 : 2 = 48 (cm)

Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 5 = 8 (phần)

Chiều dài hình chữ nhật là:

48 : 8 x 5 = 30 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

48 : 8 x 3 = 18 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

18 x 30 = 540 (cm²).

Đáp án đúng là: D

Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt.

Từ 4 điểm ban đầu ta có 4 cách chọn điểm đầu và 3 cách chọn điểm cuối.

Do đó; có tất cả 4.3 = 12 vecto được tạo ra.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int a = 13; //Gắn giá trị cần khai căn, hoặc có thể cho nhập từ bàn phím

    float cb2 = (float)sqrt(a);//Tính căn bậc 2 của a

    printf("can ba 2 cua so %d la: %f",a, cb2); //Hiển thị kết quả

}

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{6}} \right)\, \times \left( {1 - \frac{1}{7}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{8}} \right)\)

\( = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} \times \frac{6}{7} \times \frac{7}{8}\)

\( = \frac{{3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}}{{4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8}} = \frac{3}{8}\).

A ∪ B là một khoảng khi A ∩ B = Ø

Khi đó:

5 ≤ m hoặc m + 1 ≤ 3 ⇔ m ≤ 2 hoặc m ≥ 5

Do đó: A ∪ B là một khoảng ⇔ 2 < m < 5

Khi đó: Nếu 2 < m ≤ 3 thì A ∪ B = (m; 5)

Nếu 3 < m ≤ 4 thì A ∪ B = (3; 5)

Nếu 4 < m ≤ 5 thì A ∪ B = (3; m + 1).

Để hệ phương trình có độ dài là một đoạn có độ dài bằng 3. Ta cần tìm một số k sao cho:

k ≤ x ≤ k + 3

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 24 \le 0\\5x + 3m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\x \ge \frac{{ - 3m - 1}}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 \le x < 4\\x \ge \frac{{ - 3m - 1}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{5} \le x \le 4\\ \Rightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{5} = 1 \Rightarrow m = - 2\end{array}\)

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 7 \le 0\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 7} \right) \le 0\\\left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 7\\m \le x \le m + 1\end{array} \right.\)

Do m ≤ x ≤ m + 1 nên độ dài đoạn thẳng biểu diễn tập nghiệm là 1 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Số các số hạng của S1 là: (999 – 1) : 1 + 1 = 999 ( số hạng )

Tổng S₁ = (999 + 1) × 999 : 2 = 499500.

Điều kiện xác định của hàm số là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)

Do đó, \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\).

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m, x > 5)

Suy ra chiều rộng hình chữ nhật là \(\frac{2}{3}x\) (m)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: \(\frac{2}{3}{x^2}\) (m²)

Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích giảm đi 16% nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = \frac{2}{3}{x^2} - 16\% .\frac{2}{3}{x^2}\\ \Leftrightarrow - 5x - \frac{{10}}{3}x + 25 = - 16\% .\frac{2}{3}{x^2}\\ \Leftrightarrow \frac{8}{{75}}{x^2} - \frac{{25}}{3}x + 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{25}}{8}\left( {KTM} \right)\\x = 75\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy diện tích hình chữ nhật là: \(75.\frac{2}{3}.75 = 3750\) (m²).

Bất phương trình đã cho tương ứng với:

\( - 9\left( {{x^2} - x + 1} \right) < 3{x^2} + mx - 6 < 6\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x^2} + \left( {m - 9} \right)x + 3 > 0\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - \left( {m + 6} \right)x + 12 > 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Yêu cầu đề bài tương đương với (1) và (2) nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta (1) < 0\\\Delta (2) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 9} \right)^2} - 144 < 0\\{\left( {m + 6} \right)^2} - 144 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < 6\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 16{y^2} = 144\\x - y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{\left( {m + y} \right)^2} - 16{y^2} = 144\\x = m + y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{y^2} + 18my + 9{m^2} - 16{y^2} = 144\\x = m + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7{y^2} + 18my - 144 = 0(1)\\x = m + y\end{array} \right.\end{array}\)
Để (1) có 1 nghiệm duy nhất thì \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - ( - 7).( - 144) = 0 \Leftrightarrow m = 4\sqrt 7 \)

\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = 5\\\left( {2 - a} \right)x + \left( {3 - b} \right)y = 4\end{array} \right.\) có nghiệm (–3; 4)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = 5\\(2 - a).( - 3) + (3 - b).4 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = - 5\\3a - 4b = - 2\end{array} \right.\)

Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài

Máy 1 trong 1 giờ bơm được: \(\frac{1}{5}\) bình

Máy 2 trong 1 giờ bơm được: \(\frac{1}{3}\) bình

Hai máy bơm 1h được \(\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8}{{15}}\) (h)

Vậy muốn bơm \(\frac{2}{3}\) bình thì cần số thời gian là: \(\frac{2}{3}:\frac{8}{{15}} = \frac{5}{4}\left( h \right)\)

Vì MB = 2MC (M thuộc BC)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 2\overrightarrow {MC} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {AC} \]

\[ \Rightarrow 3\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

Khi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì điểm A đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai điểm A và B.

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình đã cho tương đương với:

\({3^{\sqrt {x + 1} }} \ge {3^4}.\sqrt {{9^{\frac{x}{4} - 5}}} \Leftrightarrow {3^{\sqrt {x + 1} }} \ge {3^{\frac{x}{4} - 1}} \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1} \ge x - 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x \ge - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\0 \le x \le 24\\x \ge - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 24\)

Ta có: 24 – (– 1) = 25.

\(\frac{{20{x^2}{y^2}}}{{15x{y^7}}} = \frac{{5.4.x.x.{y^2}}}{{5.3.x.{y^2}.{y^5}}} = \frac{{4x}}{{3{y^2}}}\).

Phân biệt chữ thường với chữ hoa

Chữ cái thường: 26

Chữ cái hoa: 26

Chữ số: 10

Do đó, tổng cộng: 26 + 26 + 10 = 62 (ký tự khác nhau)

Nếu password có n ký tự thì ta có:

Tổng số trường hợp là: 62ⁿ

Số trường hợp không có chữ số là: 52²

Vậy số trường hợp có ít nhất 1 chữ số là: 62ⁿ – 52ⁿ

Với n = 6, 7, 8 ta có tổng số trường hợp là:

n = n₆ + n₇ + n₈ = 62⁶ – 52⁶ + 62⁷ – 52⁷ + 62⁸ – 52⁸

= 167410949583040.