121 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

Câu 1:

Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi véctơ $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M}, \vec{A N} = - 3 \vec{C N}, \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$ .

Chứng minh M, N, P thẳng hàng?

Xem đáp án

Ta có: $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{M B}; \vec{A N} = - 3 \vec{C N} = 3 \vec{N C}; \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$

Ta lại có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{M B} + 3 \vec{N C} = \frac{3}{4} \vec{M P} + \frac{3}{4} \vec{P B} + 3 \vec{N P} + 3 \vec{P C}$

_{$\Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{C P} + 3 \vec{N P} - 3 \vec{C P} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \vec{M P} + \vec{P N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \vec{M P} = 4 \vec{N P} \Leftrightarrow \vec{M P} = 16 \vec{N P}$}

Do đó M, N, P thằng hàng.

Câu 2:

Cho a,b ≠ -2 thỏa mãn (2a + 1) (2b + 1) = 9

Tính giá trị biểu thức $M = \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b}$ .

Xem đáp án

Ta có :

$2 b + 1 = \frac{9}{2 a + 1} \Rightarrow b = \frac{4 - a}{2 a + 1} \Rightarrow b + 2 = \frac{4 - a}{2 a + 1} + 2 = \frac{3 a + 6}{2 a + 1}$

$M = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 a + 6} = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{3 + 2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{2 (a + 2)}{3 (a + 2)} = \frac{2}{3}$

Câu 3:

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a > 0, b > 0

Xem đáp án

Xét hiệu

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b} = \frac{b (a + b) + a (a + b) - 4 a b}{a b (a + b)} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a b (a + b)} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a + b)} \geq 0$ , vì a, b > 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b.

Câu 4:

Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng _{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

Xem đáp án

_{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow \frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2$}

Vì a > 0 và b > 0 ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2 \Leftrightarrow b^{2} + a^{2} \geq 2 a b$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} \geq 0$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 5:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được 1 cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A tới điểm B bằng 9 bước ?

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 1)

Xem đáp án

Để đi từ A đến B qua 9 bước thì chỉ có 1 cách đi duy nhất là các bước đi đều phải đi từ dưới lên hoặc đi từ trái qua phải.

Gọi M(i; j) là điểm bất kì nằm ở hàng i cột j với $i = \bar{1; 5}$ và _{$j = \bar{1; 6}$}.

Để đến được điểm M thì chỉ có 3 cách đi đó là từ điểm có tọa độ (i − 1; j) hoặc (i; j − 1) như hình vẽ dưới:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 2)

Gọi số cách đi đến M là f(i; j) thì theo quy tắc cộng ta có

$f (i; j) = f (i - 1; j) + f (i; j - 1)$

Từ đó ta được kết quả sau:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 3)

Vậy có 126 cách đi thỏa mãn

Câu 6:

Căn bậc hai của (a – b)² là:

A. a – b;

B. b – a;

C. |a – b|;

D. a – b và b – a.

Xem đáp án

Ta có: $\sqrt{{(a - b)}^{2}} = |a - b|$ .

Đáp án đúng là: C.

Câu 7:

Rút gọn

a) $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}$ ;

b) $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}}$ .

Xem đáp án

a) $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$ (vì $\sqrt{2} - 1$ )

Vậy $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \sqrt{2} - 1$ .

b) $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ (vì )

Vậy $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{5} - 2$ .

Câu 8:

Tìm x

_{$3^{2 x} - 3^{x} = 72$}

Xem đáp án

_{$3^{2 x} - 3^{x} = 72$}

Ta có: $3^{1} = 3; 3^{2} = 9; 3^{3} = 27; 3^{4} = 81$ mà 81 – 9 = 72 nên x = 2

_{$\Rightarrow 3^{2.2} - 3^{2} = 72$}

Câu 9:

$2^{x} + 2^{x} + 1 = 72 (x \in N)$ . Tìm x.

Xem đáp án

_{$\begin{array}{l} 2^{x} + 2^{x + 1} = 72 \\ \Rightarrow 2^{x} + 2 . 2^{x} = 72 \\ \Rightarrow 3 . 2^{x} = 72 \\ \Rightarrow 2^{x} = 72 : 3 \\ \Rightarrow 2^{x} = 24 \\ \Rightarrow 2^{x} = 2^{4, 58} \\ \Rightarrow x = 4, 58 \end{array}$}

Mà $x \in N \Rightarrow$ Không có x

Vậy không tìm được xs

Câu 10:

Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{a b}{c^{2}} + \frac{b c}{a^{2}} + \frac{a c}{b^{2}}$ .

Xem đáp án

Cho 1/a+ 1/b + 1/c =0. Tính giá trị biểu thức P= ab/ c^2+ bc/a^2+ ac/ b^2. (ảnh 1)

Cho 1/a+ 1/b + 1/c =0. Tính giá trị biểu thức P= ab/ c^2+ bc/a^2+ ac/ b^2. (ảnh 2)

Câu 11:

Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức:

a) $M= \frac{1}{a^{2} +2bc} + \frac{1}{b^{2} +2ac} + \frac{1}{c^{2} +2ab};$

b) $N= \frac{bc}{a^{2} +2bc} + \frac{ca}{b^{2} +2ac} + \frac{ab}{c^{2} +2ab};$

c) $P= \frac{a^{2}}{a^{2} +2bc} + \frac{b^{2}}{b^{2} +2ac} + \frac{c^{2}}{c^{2} +2ab}$ .

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra ab + bc + ac = 0 nên

_{$a^{2} + 2 b c = a^{2} + b c + (- a b - a c) = a (a - b) - c (a - b) = (a - b) (a - c)$}

Tương tự: $b^{2} + 2 a c = (b - a) (b - c)$ ,

_{$c^{2} + 2 a b = (c - a) (c - b)$}

a) $M= \frac{1}{a^{2} +2bc} + \frac{1}{b^{2} +2ac} + \frac{1}{c^{2} +2ab} = \frac{b - c + c - a + a - b}{(a - b) (b - c) (a - c)} = 0$

b) $N= \frac{bc}{a^{2} +2bc} + \frac{ca}{b^{2} +2ac} + \frac{ab}{c^{2} +2ab} = \frac{b c}{(a - b) (a - c)} + \frac{c a}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b}{(c - a) (c - b)} = 1$

c) $P= \frac{a^{2}}{a^{2} +2bc} + \frac{b^{2}}{b^{2} +2ac} + \frac{c^{2}}{c^{2} +2ab} = \frac{a^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{2}}{(c - a) (c - b)} = 1$ .

Câu 12:

Hai số có hiệu là 95. Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì ta được số bé. Tìm tổng hai số đó?

Xem đáp án

Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì được số bé
Suy ra số lớn gấp 10 lần số bé và hơn 5 đơn vị
Số bé là: (95 - 5) :(10 - 1) x 1 = 10
Suy ra số lớn là: 105
Tổng 2 số đó là: 105 + 10 = 115.

Câu 13:

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?

Xem đáp án

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn (ảnh 1)

Gọi số học sinh giỏi cả ba môn của lớp 10 A là x ( x > 0, x ∈ N )

Mà số học sinh lớp 10A là 45 học sinh .

⇒ x + 5 + x + 4 + x + 3 + 11 - x + 9 - x + 8 - x + x = 45

⇒ 40 + x = 45

⇒ x = 5 (TM)

Vậy có 5 bạn giỏi cả ba môn toán lý và hóa.

Câu 14:

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa được xếp lực học giỏi vừa được hạnh kiểm tốt. Số học sinh của lớp 10A được nhận khen thưởng nếu đạt được học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là:

A. 10.

B. 35.

C. 30.

D. 25.

Xem đáp án

Đáp án: D

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi, 20 bạn được (ảnh 1)

Số học sinh chỉ đạt học lực giỏi là: 15 – 10 = 5 (học sinh).

Số học sinh chỉ đạt hạnh kiểm tốt là: 20 – 10 = 10 (học sinh).

Số học sinh được nhận thưởng là: 5 + 10 + 10 = 25 (học sinh).

Câu 15:

Hình nón được tạo thành như thế nào? Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hính chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng gì?

Xem đáp án

Hình nón được tạo thành khi quay hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Câu 16:

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng chiếu cạnh thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng:

A. Hình tròn, hình tam giác cân

B. Hình tam giác cân, hình tròn

C. Hình tròn, hình tam giác đều

D. Hình tam giác đều, hình tròn

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Câu 17:

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. (ảnh 1)

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. (ảnh 2)

Câu 18:

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B M}{C N} = \frac{B I^{2}}{C I^{2}}$

b) BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC

Xem đáp án

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông (ảnh 1)

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: $\hat{A M I} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{A} = \frac{1}{2} (180 ° - \hat{A}) = \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = 180 ° - \hat{A M I} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

Xét tam giác BIC, có: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$ (cmt)

_{$\hat{M B I} = \hat{I B C}$}

⇒ ∆BMI ̴ ∆BIC (g – g)

$\Rightarrow \frac{B M}{B I} = \frac{B I}{B C} \Leftrightarrow B I^{2} = B M . B C$

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI ̴ ∆CIB (g – g)

$\Rightarrow \frac{C N}{C I} = \frac{C I}{C B} \Leftrightarrow C I^{2} = C N . C B$

\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}

$\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}$ .

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼ △INC

_{$\Rightarrow \frac{B M}{I N} + \frac{M I}{N C}$}

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM²= AM²– AI²

⇒ BM.CN = AM²– AI²

= AM.AN – AI²= (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI²= AB.AC.

Câu 19:

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD. Chứng minh góc AMN = 90°

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD.
a) Chứng minh góc AMN = 90°
b) A, M, N, D cùng thuộc 1 đường tròn
c) So sánh AN với MD

Xem đáp án

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N (ảnh 1)

a) Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông $\Rightarrow A C ⊥ B D$

Mà N là trung điểm DC, _{$N H ⊥ D O \Rightarrow N H / / O C$}

Suy ra NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD, $N H = \frac{1}{2} O C = O M$

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

_{$\hat{H} = \hat{O} = 90 °$}

_{NH = MO}

_{HM = OA}

$\Rightarrow \hat{O A M} = \hat{H M N}$

_{$\Rightarrow \hat{A M N} = \hat{A M O} + \hat{H M N} = \hat{A M O} + \hat{O A M} = 90 °$}_(đpcm).

b) Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M $\Rightarrow M I = \frac{1}{2} A N = A I$

Tam giác ADN vuông tại D $\Rightarrow D I = \frac{1}{2} A N = A I$

Suy ra IA = IM = IN = ID

Suy ra 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

c) Xét đường tròn ngoài tiếp tứ giác AMND có AN là dường kính và DM là dây nên AN > DM.

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A (−1; 2) đến đường thẳng Δ: mx + y – m + 4 = 0 bằng $2 \sqrt{5}$

A. m = 2

B. $[\begin{matrix} m = - 2 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$

C. $m = - \frac{1}{2}$

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

$d (A; Δ) = \frac{|- m + 2 - m + 4|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow |m - 3| = \sqrt{5} . \sqrt{m^{2} + 1}$
⇔ 4m²+ 6m – 4 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 2 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Chọn đáp án B

Câu 21:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} + m$ có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

A. $m = - 3 - 2 \sqrt{2}$ hoặc m = - 1

B. $m = - 3 + 2 \sqrt{2}$ hoặc m = - 1

C. $m = - 3 + 2 \sqrt{2}$ hoặc _{$m = - 3 - 2 \sqrt{2}$}

D.

m = - 3 + 2 \sqrt{2}

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Hàm số (1) có cực trị thì PT y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x²- 2mx + m²– 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ = 1 > 0, \forall m$

Khi đó, điểm cực đại A(m - 1; 2 - 2m) và điểm cực tiểu B (m + 1; - 2m)

Ta có $O A = \sqrt{2} O B \Leftrightarrow m^{2} + 6 m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 3 + 2 \sqrt{2} \\ m = - 3 - 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

Câu 22:

Có tam giác ABC vuông tại A đg cao AH, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. CM: BE.AC + CF. AB = AH. BC

Xem đáp án

BE.AC + CF.AB

$= \frac{H B^{2}}{A B} . A C + \frac{H C^{2}}{A C} . A B$

$= \frac{H B^{2} . A C}{A B} + \frac{H C^{2} . A B}{A C}$

$= \frac{H B^{2} . A C^{2} + H C^{2} . A B^{2}}{A B . A C}$

$= \frac{H B^{2} . H C . B C + H C^{2} . B H . B C}{A B . A C}$

_{$= \frac{B C . B H . C H (H B + H C)}{A H . B C}$}

_{$= \frac{A H^{2} . B C}{A H} = A H . B C$}

Câu 23:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm; AC = 4 cm, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng: AE. AB = AF. AC

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm; AC = 4 cm, đường cao AH. (ảnh 1)

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

Câu 24:

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 9 thì y = - 15

a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x

b) Hãy biểu diễn y theo x

c) Tính giá trị của y khi x = - 5, x = 18

Xem đáp án

a) Gọi a là hệ số tỉ lệ

Khi x = 3, y = 8

$\Rightarrow 8 = \frac{a}{3}$

$\Leftrightarrow a = 24$

Vậy hệ số tỉ lệ là 24

b) Ta có hệ số tỉ lệ k = 24 nên $y = \frac{24}{x}$ .

c) Khi $x = - 5 \Rightarrow y = \frac{24}{- 5} = - \frac{24}{5}$ .

Khi $x = 18 \Rightarrow y = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$ .

Câu 25:

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi x = 10 thì y = 5 vậy khi x = - 5 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Theo bài ra ta có: x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

⇒ y = k.x

Khi x = 10 thì y = 5

⇒ 5 = k.10

$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$

_{$\Rightarrow y = \frac{1}{2} . x$}

khi $x = - 5 \Rightarrow y = \frac{1}{2} . (- 5) = - 2, 5$ .

Câu 26:

Giải các phương trình sau

a) $x^{2} - 6 x + \sqrt{x^{2} - 6 x + 7} = 5$

b) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$

c) _{$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} = 4$}

Xem đáp án

Giải các phương trình sau a) x^2-6x+ căn bậc hai x^2-6x+7=5 (ảnh 1)

Giải các phương trình sau a) x^2-6x+ căn bậc hai x^2-6x+7=5 (ảnh 2)

Câu 27:

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn x³ – 6x² + 12x = y³ + 27

Xem đáp án

Ta có (x − 2)³= x³− 6x²+ 12x – 8 > x³− 6x²+ 12x – 27 = y³

Ta có 6x²− 12x + 27 > 0 với moi x

⇒ −6x²+ 12x – 27 < 0

⇒ y³> x³

mà x y nguyên nên y³ nguyên ⇒ y³= (x − 1)³.

Câu 28:

Từ các số của tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A. 720;

B. 710;

C. 820;

D. 280.

Xem đáp án

Đặt x = 23. Số các số cần lập có dạng $\bar{a b c d}$ với a; b; c; d ∈{1; x; 4; 5; 6; 7} có $A_{6}^{4}$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 29:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc BC, DK vuông góc AC.
a) C/m góc BAD = góc BDA
b) C/m AD là phân giác của góc HAC
c) C/m AK = AH
d) C/m AB + AC < BC + AH

Xem đáp án

a ) Do DB = BA = 2ΔBAD cân tại B
⇒ DAB = ADB
b ) Xét ΔABC vuông tại A
CAD + DAB = 90 độ
⇒ Xét ΔAND vuông tại N
DAN + ADN = 90 độ
Mà DAB - ADB
⇒ CAD - DAN
AD là phân giác của CAN
c) Xét hai tam giác vuông KAD và HAD
AD chung
KAD = DAN
⇒ ΔKAD = ΔCAN
⇒ KA = AN
d )

AC + AB = CK + KA + AB
BC + AN = CB + DB + AN
AN = KA
AB = BD
CD > CK
⇒ BC + AN > AC + AB

Câu 30:

Cho tam giác ABC vuông góc tại A,có AB = AC.Gọi K là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc với BC.

b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại E. Chứng minh EC song song với AK.

c) Chứng minh CE = CB.

Xem đáp án

a) Xét tam giác AKB và AKC có:

AB = AC (giả thiết)

KB = KC (do K là trung điểm của BC)

AK chung

Do đó: △AKB = △AKC(c.c.c) (đpcm)

_{$\Rightarrow \hat{A K B} = \hat{A K C}$}

Mà $\hat{A K B} + \hat{A K C} = \hat{B K C} = 180 °$

Do đó: $\hat{A K B} = \hat{A K C} = 90 °$

⇒ AK⊥BC (đpcm)

b)

Ta thấy: EC⊥BC; AK⊥BC (đã cm ở phần a)

⇒ EC // AK (đpcm)

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên $\hat{B} = 45 °$

Tam giác CBE vuông tại C có _{$\hat{B} = 45 °$}

\Rightarrow \hat{E} = 180 ° - (\hat{C} + \hat{B}) = 180 ° - (90 ° + 45 °) = 45 °

$\Rightarrow \hat{E} = \hat{B}$ nên tam giác CBE cân tại C. Do đó CE = CB (đpcm)

Câu 31:

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là:

A. 19

B. 18

C. 31

D. 49

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học (ảnh 1)

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19 (em)

Câu 32:

Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp 10A là:

A. 9

B. 18

C. 10

D. 28

Xem đáp án

Đáp án C

Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi (ảnh 1)

Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 3 – 1 = 2.

Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 4 – 1 = 3.

Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 2 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 5 – 2 – 1 − 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn hóa: 6 −3 – 1 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 7 – 3 – 2 – 1 = 1.

Số học sinh giỏi ít nhất một (môn toán, lý, hóa) là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10.

Câu 33:

Cho tam giác ABC. Có AB nhỏ hơn AC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =AC. Gọi I , D,F lần lượt là trung điểm của CE, AE , BC chứng minh

a) tam giác IDF cân

b) góc BAC= 2IDF

Xem đáp án

Xét ΔEAC có

D là trung điểm của AE
I là trung điểm của CE

Do đó: DI là đường trung bình

⇒ DI // AC và $D I = \frac{A C}{2}$

Xét ΔEBC có

F là trung điểm của BC

I là trung điểm của EC

Do đó: FI là đường trung bình

⇒ FI // EB và $F I = \frac{E B}{2}$

Ta có:

$F I = \frac{E B}{2}$

D I = \frac{A C}{2}

mà EB = AC nên IF = ID

hay ΔIFD cân tại I $\Rightarrow \hat{I F D} = \hat{I D F}$

Mà $\hat{D F I} = \hat{F D B} (F I / / A B)$ nên $\hat{F D I} = \hat{F D B}$

$\Leftrightarrow \hat{B D I} = 2. \hat{I D F}$ hay $\hat{B A C} = 2. \hat{I D F}$ .

Câu 34:

Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE . Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC . Chọn câu đúng nhất.

A. PQ vuông góc vớiMN .

B. Tứ giác PMQN là hình thoi.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$M P = \frac{1}{2} B D = a$

$N Q = \frac{1}{2} D B = a$

$N P = \frac{1}{2} C E = a$

$M Q = \frac{1}{2} C E = a$

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN⊥PQ

Chọn đáp án A

Câu 35:

Nêu khái niệm hình chiếu? Cho ví dụ và phân tích?

Xem đáp án

- Hình chiếu của vật thể là hình nhận được trên một mặt phẳng (người ta còn gọi hình chiếu là cái bóng của vật thể)

- Ví dụ: Ta lấy đèn pin chiếu thẳng vào mặt chính diện của một vật hình vuông, ta lấy mặt phẳng của bức tường để thu hình chiếu. Suy ra ta sẽ thu được hình chiếu trên vạch tường (hay cái bóng).

Câu 36:

Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh BA, CA sao cho BD + CE = a < AB.. Các trung điểm M của DE nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Khi E trùng C thì D trùng G (BG = a), M ở vị trí I, trung điểm của CG.

Khi D trùng B thì E trùng H (CH = a), M ở vị trí K, trung điểm cúa BH. Ta sẽ chứng minh rằng K, M, I thẳng hàng.

Thật vậy, gọi O là trung điểm của BC, N là trung điểm của CD. Ta có O, N, I thẳng hàng.

Ta có 2OK = CH, 2OI = BG, CH = BG = a nên tam giác IOK cân. Ta có 2NM = CE,

2NI = DG, CE = DG nên tam giác INM cân. Các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau nên do đó I, M, K thẳng hàng. Các điểm M nằm trên đoạn thẳng KI.

Câu 37:

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho?

A. 4

B. 6

C. 12

D. 8

Xem đáp án

Các vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho là:

_{$\vec{A B}; \vec{A C}; \vec{A D}; \vec{B A}; \vec{B C}; \vec{B D}; \vec{C A}; \vec{C B}; \vec{C D}; \vec{D A}; \vec{D B}; \vec{D C}$}

_{Chọn C}

Câu 38:

Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D. Từ các điểm trên ta có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ không?

Xem đáp án

Ta có 4C2.2=12 vecto

Câu 39:

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Xem đáp án

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$

$= \sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}{2}} - \sqrt{\frac{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}}{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{- 2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2}$

Câu 40:

Cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC =13 tính AM

Xem đáp án

cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC =13 tính AM (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến kẻ từ A xuống BC nên ta có:

$A M = \frac{1}{2} B C = \frac{13}{2}$

Vậy $A M = \frac{13}{2}$

Câu 41:

Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC

a) cho BC = 10cm tính AM

b) gọi N là trung điểm của AB cho MN // AC

c) kẻ MD // AD chứng minh tứ giác ANMD là hình chữ nhật

Xem đáp án

a) Xét △ ABC vuông tại A có :

AM là đường trung tuyến

Nên : $A M = \frac{B C}{2}$ ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Mà : BC = 10 ( cm )

Suy ra : AM = 10 : 2 = 5 ( cm )

b) Xét △ ABC vuông tại A có :

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AB

Nên : MN là đường trung bình của △ ABC

Do đó : MN // AC và $M N = \frac{A C}{2}$

c) Bạn nên sửa là MD // AB. ( D ∈ AC )

Xét Δ ACB có :

M là trung điểm của BC

MD // AB

Nên : MD là đường trung bình của △ ACB

Do đó : MD // AB và $M D = \frac{A B}{2}$

Hay : MD // AN ( N ∈ AB )

Lại có : MN // AD ( D ∈ AC )

Suy ra : ANMD là hình bình hành

Mà : Góc A = 90 độ

Vậy ANMD là hình chữ nhật

Câu 42:

Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

A. 752

B. 160

C. 156

D. 240

Xem đáp án

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\bar{a b c d}$ với a, b, c, d ∈ A và đôi một khác nhau.

TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số.

Chọn C

Câu 43:

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Xem đáp án

Gọi số cần tìm là $\bar{a b c d e}$ (e chẵn và các chữ số khác nhau từng đôi một )
TH1 : e = 0
Chọn e : 1 cách
Chọn a : 5 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
=> Theo Quy tắc nhân có : 1.5.4.3.2 = 120 .
TH2 : e # 0
Chọn e : 2 cách
Chọn a : 4 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
→ Theo quy tắc nhân có :2.4.4.3.2 = 192
→ Có tất cả 192 + 120 = 312 số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Câu 44:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\vec{M N} = \vec{Q P}$

B. $\vec{M N} = 2 \vec{Q P}$

C. $\vec{3 M N} = 2 \vec{Q P}$

D.

\vec{3 M N} = \vec{Q P}

Xem đáp án

Chọn A.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây đúng. (ảnh 1)

+ Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC .

suy ra MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (1).

+ Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC

suy ra QP // AC và $Q P = \frac{1}{2} A C$ (2).

+ Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = PQ do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Vậy ta có _{$\vec{M N} = \vec{Q P}$}

Câu 45:

Cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành , IMPN là hình bình hành

Xem đáp án

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

→ MN là đường trung bình

→ MN//AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (1)

Xét tam giác ADC có:

P là trung điểm DC

Q là trung điểm AD

→ PQ là đường trung bình

→ PQ//AC và $P Q = \frac{1}{2} A C$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow \{\begin{matrix} P Q / / M N \\ P Q = M N \end{matrix}$

→ MNPQ là hình bình hành

Câu 46:

Cho các số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10

Xem đáp án

Các số thỏa mãn ĐK đề bài có dạng $\bar{a b c 0}$

+ Chọn 33 chữ số khác nhau từng đôi một từ {1;2;3;4;5;6;7} và xếp vào 3 vị trí

→ có $A_{7}^{3} = 210$ cách

→ Có 210 số thỏa mãn ĐK đề bài.

Câu 47:

Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là:

A. $A_{4}^{6}$

B. $C_{6}^{4}$

C. $A_{6}^{4}$

D. _{$C_{4}^{6}$}

Xem đáp án

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Số các số là: $A_{6}^{4} = 360$ số.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 48:

Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4²+ 4²+ ... + 4⁵⁸+ 4⁵⁹ chia hết cho 21.

Xem đáp án

D = 1 + 4 + 4²+ 4²+ ... + 4⁵⁸+ 4⁵⁹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …+ (4⁵⁷ + 4⁵⁸ + 4⁵⁹)

= (1 + 4 + 4²) + 4³.(1 + 4 + 4²) + …+ 4⁵⁷(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + …+ 4⁵⁷.21 chia hết 21.

Câu 49:

Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 +...+ 411. Chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Xem đáp án

a) A=1 + 4 + 4²+ 4³+ ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶+ 4⁷+ 4⁸) + (4⁹+ 4¹⁰+ 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³+ 4⁶+ 4⁹)

Suy ra A chia hết cho 21.

b) A = 1 + 4 + 4²+ 4³+ ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶+ 4⁷+ 4⁸+ 4⁹+ 4¹⁰+ 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²+ 4⁶.4³+ 4⁶.4⁴+ 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.

Câu 50:

Người ta dùng mấy hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án: B

Giải thích: Vì có 2 hình chiếu trùng nhau.

Câu 51:

x²– 16 + 4y²+ 4xy. Phân tích đa thức thành nhân tử

Xem đáp án

x²– 16 − 4xy + 4y²

= (x²− 2.x.2y + 2y²) – 4²

= (x − 2y)²– 4²

= (x − 2y − 4)(x − 2y + 4)

Câu 52:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC
a. CMR: ER = AH
b.Kẻ trung tuyến Am của tam giác ABC. C/m: AM⊥ EF

Xem đáp án

a) EHFA có góc HEA = HFA = EAF = 90⁰ nên tứ giác đó là hình chữ nhật

⇒ EF =AH ( 2 đường chéo)

b) Gọi EF cắt AH tại I

Gọi AM cắt EF tại N

Góc BHE = HCA (2 góc đồng vị)

Mà BHE + EBH = BHE + EHI = 90

⇒ EBH = EHI (1)

Theo tính chất hình chữ nhật EI = IH => EHI = IEH (2)

MB = MA ⇒ MBE = MAB (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ IEH = BAM

Mặt khác IEH + IEA = 90 ⇒ BAM + IEA = 90

⇒ ANE = 90

⇒ AM vuông góc EF tại N

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC (ảnh 1)

Câu 53:

Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m mặt phản xạ hướng lên . Ánh sáng từ bóng đèn bin (nguồn sáng điểm) cách trần nhà 1m

a, Hãy tính đường kính vệt sáng trên trần nhà

b. Cần phả dịch bóng đèn về phía nào vuông góc với gương một đoạn bao nhiêu để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi

Xem đáp án

a) Xét tam giác S’IA đồng dạng với tam giác S’I’A’ có:

$\frac{S' I}{S' I'} = \frac{I A}{I' A'} = \frac{B A}{B' A'} \Rightarrow A' B' = \frac{S' I' . B A}{S' I} = \frac{S' I + I I'}{S' I} . B A$

mà mà SI = S'I → A'B'= 30cm

b) Để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi ta phải di chuyển bóng đèn đến gần gương khi đó

$\frac{A' B'}{A B} = \frac{60}{10} = \frac{S I + I I'}{S I} \Rightarrow 6 S I = S I + I I' \Rightarrow 5 S I = I I'$

$\to S I = \frac{I I'}{5} = \frac{2}{5} = 0, 4 (m) = 40 c m$

Vậy ta phải dịch bóng đèn lại gần gương một đoạn là:
H = 100 – 40 = 60(cm).

Câu 54:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: $|2 (M A + M B + M C)| = |3 (M B + M C)|$

Xem đáp án

|2(MA + MB + MC)| = |3(MB + MC)|

_{$|M A + M B + M C| = \frac{3}{2} |M B + M C|$}

_{$\Rightarrow |3 M I| = \frac{3}{2} |2. M H|$}

(với I là trọng tâm của tam giác ABC và H là trung điểm của BC)
→ MI = MH
Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của IH

Câu 55:

Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

$|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B}| = |3 \vec{M B} - 2 \vec{M C}|$

Xem đáp án

Gọi K là điểm thoả mãn: $2 \vec{K A} + 3 \vec{K B} = \vec{0}$

L là điểm thoả mãn: $3 \vec{L B} - 2 \vec{L C} = \vec{0}$

Ta có: $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B}| = |3 \vec{M B} - 2 \vec{M C}| \Leftrightarrow |\vec{M K}| = |\vec{M L}|$

Vậy Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

Câu 56:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn: BH = 4cm và HC = 6cm.
a) Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đó góc AMB (làm tròn đến độ)
c) Kẻ AK vuông góc BM (K thuộc BM). Chứng minh: $\frac{B K}{B H} = \frac{B C}{B M}$

Xem đáp án

A_ Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC

∆ABC vuông tại A:

+ $A H^{2} = H B . H C = 4.6 = 24 \Rightarrow A H = 2 \sqrt{6} (c m)$

+ $A B^{2} = B C . H B = 10.4 = 40 \Rightarrow A B = 2 \sqrt{10} (c m)$

+ $A C^{2} = B C . H C = 10.6 = 60 \Rightarrow A C = 2 \sqrt{15} (c m)$

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc AMB (làm tròn độ). ∆ABM vuông tại A

$t g A M B = \frac{A B}{A M} = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \Rightarrow A M B \approx 59 °$

c) Kẻ AK vuông góc với BM ( $K \in B M$ ). Chứng minh: $Δ B K C ~ Δ B H M$

∆ABM vuông tại A có: $A K ⊥ B M$

+ AB² = BK.BM

∆ABC vuông tại A có: $A H ⊥ B C$

+ AB² = BH.BC

$\Rightarrow B K . B M = B H . B C$ hay $\frac{B K}{B H} = \frac{B C}{B M}$

Câu 57:

Cho điểm M có hoành độ là -2 và điểm M thuộc đồ thị hàm số y = −2x² . Xác định tọa độ điểm M

Xem đáp án

Vì M ∈ y = −2x² và có hành độ là −2

Thay x = −2 vào hàm số y = −2x² ta có:

y = −2.(−2)²

⇔ y = −8

Vậy tọa độ điểm M là: M (−2; −8)

Câu 58:

Cho hàm số y = x - 2 có đồ thị là d.Tìm điểm trên d có hoành độ và tung độ đối nhau

Xem đáp án

Vì các điểm trên (d) có hoành độ và tung độ đối nhau nên

y = −x

Thay vào (d) ta được

− x = x – 2

⇔ x = 1

⇒ y = −1

Vậy điểm đó là (1; -1)

Câu 59:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy M: 2MC < AC và M không trùng với C, vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) CA là phân giác góc SCB.

Xem đáp án

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

Do MC là đường kính của đường tròn (O), D thuộc (O) nên: ∠MDC = 900 = ∠BAC

Suy ra D và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) CA là phân giác góc SCB.

Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên: $\hat{A D B} = \hat{A C B}$ (cùng chắn cung AB).

Xét (O) ta có: $\hat{A C S} = \hat{B D A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MS)

⇒ ∠ACB = ∠ ACS ( = ∠BDA).

Vậy CA là phân giác của ∠SCB (đpcm)

Câu 60:

Cho đường tròn tâm O bán kỉnh và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB ?

Xem đáp án

Cho đường tròn tâm O bán kỉnh và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của (ảnh 1)

Xem hình vẽ (h.bs.24)

Ta có cung AM và MB bằng nhau nên $\hat{A E C} = \hat{C D M}$ (cùng bằng nửa số đo của cung nhỏ CM)

Suy ra CDFE là tứ giác nội tiếp

Từ đó $\hat{C D E} = \hat{C F E}$ (cùng chắn cung CE)

Lại có $\hat{I J C} = \hat{I D C}$ (cùng chắn cung CI)

Vậy _{$\hat{I J C} = \hat{A F C}$}, suy ra JI song song với AB

Câu 61:

Tìm chữ số tận cùng của các số:
a) 7⁹⁹

b) 14¹⁴¹⁴

c) 4⁵⁶⁷

Xem đáp án

Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
9⁹ - 1 = (9 - 1)(9⁸ + 9⁷ + … + 9 + 1) chia hết cho 4
99 = 4k + 1 (k thuộc N)

⇒ 7⁹⁹ = 7^{4k + 1} = 7^4k.7
Do 7^4k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c)

⇒ 7⁹⁹ có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 14¹⁴ = 4k (k thuộc N)

⇒ theo tính chất 1d thì 14¹⁴¹⁴ = 14^4k có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 5⁶⁷ - 1 chia hết cho 4

⇒ 5⁶⁷ = 4k + 1 (k thuộc N)
⇒ 4⁵⁶⁷ = 4^{4k + 1} = 4^4k.4, theo tính chất 1d, 4^4k có chữ số tận cùng là 6 nên 4⁵⁶⁷ có chữ số tận cùng là 4.

Câu 62:

Cho hàm số y = 3x⁴+ 2(m − 2018)x²+ 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120°

A. m = −2018

B. m = −2017

C. m = 2017

D. m = 2018.

Xem đáp án

Ta có

y′ = 12x³+ 4(m − 2018)x;

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 3 x^{2} = 2018 - m \end{matrix}$

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2018 – m > 0 ⇔ m < 2018

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A (0; 2017)

$B (\sqrt{\frac{2018 - m}{3}}; - \frac{{(m - 2018)}^{2}}{3} + 2017)$

$C (- \sqrt{\frac{2018 - m}{3}}; - \frac{{(m - 2018)}^{2}}{3} + 2017)$

Do tam giác ABC cân tại A nên ycbt ⇔ 3AB²= BC²

$3 [\frac{2018 - m}{3} + \frac{{(m - 2018)}^{4}}{9}] = 4 \frac{2018 - m}{} 3$

⇔ (m − 2018)³= −1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

Câu 63:

Cho hs: y = x⁴+ 2mx²+ m²+ m, (1). ( m là tham số)
Xác định m để hs (1) có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 1 tam giác có góc bằng 120 độ.

Xem đáp án

Ta có:
y′ = 4x³+ 4mx = 4x(x²+ m)

Hàm số (1) có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với:
m < 0, (2)
Với điều kiện (2), đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :

$A (0; m^{2} + m), B (- \sqrt{- m}; m), C (\sqrt{- m}; m)$

Dễ thấy tam giác ABC là tam giác cân tại A. Do đó $\hat{A} = 120 °$ . Từ đó suy ra $\hat{A B C} = 30 °$ . Yêu cầu của bài toán tương đương với

$\tan \hat{A B C} = \frac{|y_{A} - y_{B}|}{|x_{B}|} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{m^{2}}{\sqrt{- m}} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

$m = - \frac{1}{3}$ thỏa mãn (2)(2) nên đó là đáp án của bài toán

Câu 64:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH.

b) Trên cạnh AC lấy điểm K (K ≠ A, K ≠ C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh rằng: BD.BK = BH.BC.

c) Chứng minh rằng: $S_{B H D} = \frac{1}{4} S_{B K C} . \cos^{2} \hat{A B D}$ .

Xem đáp án

a) Áp dụng HTL tam giác:

$\{\begin{matrix} A B^{2} = B H . B C = 16 \\ A C^{2} = B C . C H = 8 (8 - 2) = 48 \\ A H^{2} = B H . C H = 2 (8 - 2) = 12 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} A B = 4 (c m) \\ A C = 4 \sqrt{3} (c m) \\ A H = 2 \sqrt{3} (c m) \end{matrix}$

b) $\hat{A D B} = \hat{A H B} (= 90 °) \Rightarrow$ ADHB nội tiếp

$\Rightarrow \hat{D H A} = \hat{D B A}$ (cùng chắn AD) (1)

$\{\begin{matrix} \hat{C K B} = \hat{K A B} + \hat{A B D} = 90 ° + \hat{A B D} \\ \hat{D H B} = \hat{D H A} + \hat{A H B} = \hat{D H A} + 90 ° \\ \hat{A B D} = \hat{D H A} (c m t) \end{matrix}$

$\Rightarrow \hat{C K B} = \hat{D H B}$

$\{\begin{matrix} \hat{C K B} = \hat{D H B} \\ \hat{C B K} c h u n g \end{matrix} \Rightarrow Δ D H B ~ Δ C K B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{B D}{B C} = \frac{B H}{B K} \Rightarrow B D . B K = B H . B C$

c) Áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa

$S_{B H D} = \frac{1}{2} B H . B D . \sin \hat{D B H}$

$S_{B K C} = \frac{1}{2} B K . B C . \sin \hat{K B C}$

Mà $\hat{D B H} = \hat{K B C}$

$\Rightarrow \frac{S_{B H D}}{S_{B K C}} = \frac{B H . B D}{B K . B C} = \frac{2 B D}{8 B K} = \frac{B D}{4 B K} = \frac{B D^{2}}{4 B K . B D}$

$= \frac{1}{4} \frac{B D^{2}}{A B^{2}}$ (hệ thức lượng) $= \frac{1}{4} . \cos^{2} \hat{A B D}$

$\Rightarrow S_{B H D} = \frac{1}{4} S_{B K C} . \cos^{2} \hat{A B D}$ .

Câu 65:

Hai số có hiệu là 95. Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì ta được số bé. Tìm tổng hai số đó?

Xem đáp án

Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì được số bé
Suy ra số lớn gấp 10 lần số bé và hơn 5 đơn vị
Số bé là: (95 - 5) :(10 - 1) x 1 = 10
Suy ra số lớn là: 105
Tổng 2 số đó là: 105 + 10 = 115.

Câu 66:

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?

Xem đáp án

Gọi số học sinh giỏi cả ba môn của lớp 10 A là x ( x > 0, x ∈ N )

Mà số học sinh lớp 10A là 45 học sinh .

⇒ x + 5 + x + 4 + x + 3 + 11 - x + 9 - x + 8 - x + x = 45

⇒ 40 + x = 45

⇒ x = 5 (TM)

Vậy có 5 bạn giỏi cả ba môn toán lý và hóa.

Câu 67:

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa được xếp lực học giỏi vừa được hạnh kiểm tốt. Số học sinh của lớp 10A được nhận khen thưởng nếu đạt được học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là:

A. 10.

B. 35.

C. 30.

D. 25.

Xem đáp án

Đáp án: D

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm (ảnh 1)

Số học sinh chỉ đạt học lực giỏi là: 15 – 10 = 5 (học sinh).

Số học sinh chỉ đạt hạnh kiểm tốt là: 20 – 10 = 10 (học sinh).

Số học sinh được nhận thưởng là: 5 + 10 + 10 = 25 (học sinh).

Câu 68:

Hình nón được tạo thành như thế nào? Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hính chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng gì?

Xem đáp án

Hình nón được tạo thành khi quay hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Câu 69:

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng chiếu cạnh thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng:

A. Hình tròn, hình tam giác cân

B. Hình tam giác cân, hình tròn

C. Hình tròn, hình tam giác đều

D. Hình tam giác đều, hình tròn

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Câu 70:

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC.

Xem đáp án

Gọi E, D lần lượt là trung điểm AB, AC, ta có I, E, D thẳng hàng
MN cắt BD tại J, hạ CH vuông góc ED tại H

Có _{$D H = \frac{D C}{2} = \frac{E D}{2} \Rightarrow \frac{E D}{E H} = \frac{2}{3}$}

Có $\frac{B G}{B D} = \frac{B G}{B J} . \frac{B J}{B D} = \frac{2}{3} . \frac{B N}{B C} = \frac{E D}{E H} . \frac{E I}{E D}$

$\Rightarrow \frac{B G}{B D} = \frac{E I}{E H} \Leftrightarrow \frac{B G}{E I} = \frac{B D}{E H} (1)$

Ta có △CBD ∼ △CEH (g, g)
$\Rightarrow \frac{C B}{C E} = \frac{B D}{E H} = \frac{B G}{E I}$
⇒ △CBG ∼△CEI (c, g, c) (2)

$(2) \Rightarrow \hat{B C G} = \hat{E C I}$

$\Leftrightarrow \hat{B C G} + \hat{G C E} = \hat{G C E} + \hat{E C I}$

$\Leftrightarrow \hat{B C E} = \hat{G C I}$

$(2) \Rightarrow \frac{B C}{E C} = \frac{G C}{I C} (4)$

từ (3, 4) → △BEC∼△GIC (c, g, c)

$\Leftrightarrow \hat{I} = 90 °; \hat{G} = 60 °$ (đpcm).

Câu 71:

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B M}{C N} = \frac{B I^{2}}{C I^{2}}$

b) BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC

Xem đáp án

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: $\hat{A M I} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{A} = \frac{1}{2} (180 ° - \hat{A}) = \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = 180 ° - \hat{A M I} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

Xét tam giác BIC, có: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

$\hat{B M I} = \hat{B I C}$ (cmt)

_{$\hat{M B I} = \hat{I B C}$}

⇒ ∆BMI ̴ ∆BIC (g – g)

$\Rightarrow \frac{B M}{B I} = \frac{B I}{B C} \Leftrightarrow B I^{2} = B M . B C$

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI ̴ ∆CIB (g – g)

$\Rightarrow \frac{C N}{C I} = \frac{C I}{C B} \Leftrightarrow C I^{2} = C N . C B$

$\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}$ .

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼ △INC

$\Rightarrow \frac{B M}{I N} + \frac{M I}{N C}$

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM²= AM²– AI²

⇒ BM.CN = AM²– AI²

= AM.AN – AI²= (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI²= AB.AC.

Câu 72:

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD. Chứng minh góc AMN = 90°

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD.
a) Chứng minh góc AMN = 90°
b) A, M, N, D cùng thuộc 1 đường tròn
c) So sánh AN với MD

Xem đáp án

a) Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông _{$\Rightarrow A C ⊥ B D$}

Mà N là trung điểm DC, $N H ⊥ D O \Rightarrow N H / / O C$

Suy ra NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD, $N H = \frac{1}{2} O C = O M$

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

_{$\hat{H} = \hat{O} = 90 °$}

_{NH = MO}

_{HM = OA}

$\Rightarrow \hat{O A M} = \hat{H M N}$

_{$\Rightarrow \hat{A M N} = \hat{A M O} + \hat{H M N} = \hat{A M O} + \hat{O A M} = 90 °$}_(đpcm).

b) Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M $\Rightarrow M I = \frac{1}{2} A N = A I$

Tam giác ADN vuông tại D $\Rightarrow D I = \frac{1}{2} A N = A I$

Suy ra IA = IM = IN = ID

Suy ra 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

c) Xét đường tròn ngoài tiếp tứ giác AMND có AN là dường kính và DM là dây nên AN > DM.

Câu 73:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A (−1; 2) đến đường thẳng Δ: mx + y – m + 4 = 0 bằng $2 \sqrt{5}$

A. m = 2

B. $[\begin{matrix} m = - 2 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$

C. $m = - \frac{1}{2}$

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

$d (A; Δ) = \frac{|- m + 2 - m + 4|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow |m - 3| = \sqrt{5} . \sqrt{m^{2} + 1}$

⇔ 4m²+ 6m – 4 = 0

_{$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 2 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$}

Chọn đáp án B

Câu 74:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm; AC = 4 cm, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng: AE. AB = AF. AC

Xem đáp án

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

Câu 75:

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 9 thì y = - 15

a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x

b) Hãy biểu diễn y theo x

c) Tính giá trị của y khi x = - 5, x = 18

Xem đáp án

a) Gọi a là hệ số tỉ lệ

Khi x = 3, y = 8

$\Rightarrow 8 = \frac{a}{3}$

_{$\Leftrightarrow a = 24$}

Vậy hệ số tỉ lệ là 24

b) Ta có hệ số tỉ lệ k = 24 nên $y = \frac{24}{x}$ .

c) Khi $x = - 5 \Rightarrow y = \frac{24}{- 5} = - \frac{24}{5}$ .

Khi $x = 18 \Rightarrow y = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$ .

Câu 76:

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn x³ – 6x² + 12x = y³ + 27

Xem đáp án

Ta có (x − 2)³= x³− 6x²+ 12x – 8 > x³− 6x²+ 12x – 27 = y³

Ta có 6x²− 12x + 27 > 0 với moi x

⇒ −6x²+ 12x – 27 < 0

⇒ y³> x³

mà x y nguyên nên y³ nguyên ⇒ y³= (x − 1)³.

Câu 77:

Tính $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 3 x + 9} . \frac{x^{3} + 27}{3 x - 9}$ .

Xem đáp án

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 3 x + 9} . \frac{x^{3} + 27}{3 x - 9}$

$= \frac{{(x - 3)}^{2} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{(x^{2} - 3 x + 9) .3 (x - 3)}$

$= \frac{(x - 3) (x + 3)}{3}$

$= \frac{x^{2} - 9}{3}$

Câu 78:

Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 1 không đứng cạnh chữ số 6

Xem đáp án

Nếu không có chữ số 1: Có 6! = 720 cách lập

Nếu không có chữ số 6: Có 6! = 720 cách lập

Nếu có đồng thời các chữ số 1 và 6:

Chọn ra thêm 4 chữ số khác có $C_{5}^{4}$ cách

Xếp chữ số 1 với 4 chữ số khác có 5! cách

Xếp chữ số 6 vào có 6 – 2 = 4 vị trí có thể

Tạo được: $C_{5}^{4}$ .5!.4 = 2400 số

Tất cả có: 720 + 720 + 2400 = 3840 số thỏa mãn

Câu 79:

Từ các số của tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A. 720;

B. 710;

C. 820;

D. 280.

Xem đáp án

Đặt x = 23. Số các số cần lập có dạng $\bar{a b c d}$ với a; b; c; d ∈{1; x; 4; 5; 6; 7} có $A_{6}^{4}$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 80:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc BC, DK vuông góc AC.
a) C/m góc BAD = góc BDA
b) C/m AD là phân giác của góc HAC
c) C/m AK = AH
d) C/m AB + AC < BC + AH

Xem đáp án

a ) Do DB = BA = 2ΔBAD cân tại B
⇒ DAB = ADB
b ) Xét ΔABC vuông tại A
CAD + DAB = 90 độ
⇒ Xét ΔAND vuông tại N
DAN + ADN = 90 độ
Mà DAB - ADB
⇒ CAD - DAN
AD là phân giác của CAN
c) Xét hai tam giác vuông KAD và HAD
AD chung
KAD = DAN
⇒ ΔKAD = ΔCAN
⇒ KA = AN
d )

AC + AB = CK + KA + AB
BC + AN = CB + DB + AN
AN = KA
AB = BD
CD > CK
⇒ BC + AN > AC + AB

Câu 81:

Cho tam giác ABC vuông góc tại A,có AB = AC.Gọi K là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc với BC.

b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại E. Chứng minh EC song song với AK.

c) Chứng minh CE = CB.

Xem đáp án

a) Xét tam giác AKB và AKC có:

AB = AC (giả thiết)

KB = KC (do K là trung điểm của BC)

AK chung

Do đó: △AKB = △AKC(c.c.c) (đpcm)

_{$\Rightarrow \hat{A K B} = \hat{A K C}$}

Mà _{$\hat{A K B} + \hat{A K C} = \hat{B K C} = 180 °$}

Do đó: $\hat{A K B} = \hat{A K C} = 90 °$

⇒ AK⊥BC (đpcm)

b)

Ta thấy: EC⊥BC; AK⊥BC (đã cm ở phần a)

⇒ EC // AK (đpcm)

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên $\hat{B} = 45 °$

Tam giác CBE vuông tại C có _{$\hat{B} = 45 °$}

\Rightarrow \hat{E} = 180 ° - (\hat{C} + \hat{B}) = 180 ° - (90 ° + 45 °) = 45 °

$\Rightarrow \hat{E} = \hat{B}$ nên tam giác CBE cân tại C. Do đó CE = CB (đpcm)

Câu 82:

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là:

A. 19

B. 18

C. 31

D. 49

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh (ảnh 1)

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19 (em)

Câu 83:

Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp 10A là:

A. 9

B. 18

C. 10

D. 28

Xem đáp án

Đáp án C

Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả (ảnh 1)

Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 3 – 1 = 2.

Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 4 – 1 = 3.

Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 2 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 5 – 2 – 1 − 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn hóa: 6 −3 – 1 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 7 – 3 – 2 – 1 = 1.

Số học sinh giỏi ít nhất một (môn toán, lý, hóa) là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10.

Câu 84:

Cho tam giác ABC. Có AB nhỏ hơn AC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =AC. Gọi I , D,F lần lượt là trung điểm của CE, AE , BC chứng minh

a) tam giác IDF cân

b) góc BAC= 2IDF

Xem đáp án

Xét ΔEAC có

D là trung điểm của AE
I là trung điểm của CE

Do đó: DI là đường trung bình

⇒ DI // AC và $D I = \frac{A C}{2}$

Xét ΔEBC có

F là trung điểm của BC

I là trung điểm của EC

Do đó: FI là đường trung bình

⇒ FI // EB và $F I = \frac{E B}{2}$

Ta có:

$F I = \frac{E B}{2}$

$D I = \frac{A C}{2}$

mà EB = AC nên IF = ID

hay ΔIFD cân tại I $\Rightarrow \hat{I F D} = \hat{I D F}$

Mà $\hat{D F I} = \hat{F D B} (F I / / A B)$ nên $\hat{F D I} = \hat{F D B}$

$\Leftrightarrow \hat{B D I} = 2. \hat{I D F}$ hay $\hat{B A C} = 2. \hat{I D F}$ .

Câu 85:

Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE . Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC . Chọn câu đúng nhất.

A. PQ vuông góc vớiMN .

B. Tứ giác PMQN là hình thoi.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Xem đáp án

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$M P = \frac{1}{2} B D = a$

$N Q = \frac{1}{2} D B = a$

$N P = \frac{1}{2} C E = a$

$M Q = \frac{1}{2} C E = a$

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN⊥PQ

Chọn A

Câu 86:

Nêu khái niệm hình chiếu? Cho ví dụ và phân tích?

Xem đáp án

- Hình chiếu của vật thể là hình nhận được trên một mặt phẳng (người ta còn gọi hình chiếu là cái bóng của vật thể)

- Ví dụ: Ta lấy đèn pin chiếu thẳng vào mặt chính diện của một vật hình vuông, ta lấy mặt phẳng của bức tường để thu hình chiếu. Suy ra ta sẽ thu được hình chiếu trên vạch tường (hay cái bóng).

Câu 87:

Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh BA, CA sao cho BD + CE = a < AB.. Các trung điểm M của DE nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Khi E trùng C thì D trùng G (BG = a), M ở vị trí I, trung điểm của CG.

Khi D trùng B thì E trùng H (CH = a), M ở vị trí K, trung điểm cúa BH. Ta sẽ chứng minh rằng K, M, I thẳng hàng.

Thật vậy, gọi O là trung điểm của BC, N là trung điểm của CD. Ta có O, N, I thẳng hàng.

Ta có 2OK = CH, 2OI = BG, CH = BG = a nên tam giác IOK cân. Ta có 2NM = CE,

2NI = DG, CE = DG nên tam giác INM cân. Các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau nên do đó I, M, K thẳng hàng. Các điểm M nằm trên đoạn thẳng KI.

Câu 88:

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho?

A. 4

B. 6

C. 12

D. 8

Xem đáp án

Các vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho là:

$\vec{A B}; \vec{A C}; \vec{A D}; \vec{B A}; \vec{B C}; \vec{B D}; \vec{C A}; \vec{C B}; \vec{C D}; \vec{D A}; \vec{D B}; \vec{D C}$

Chọn C

Câu 89:

Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D. Từ các điểm trên ta có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ không?

Xem đáp án

Ta có 4C2.2=12 vecto

Câu 90:

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Xem đáp án

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$

$= \sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}{2}} - \sqrt{\frac{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}}{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{- 2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2}$

Câu 91:

Cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC =13 tính AM

Xem đáp án

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến kẻ từ A xuống BC nên ta có:

$A M = \frac{1}{2} B C = \frac{13}{2}$

Vậy _{$A M = \frac{13}{2}$}

Câu 92:

Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC

a) cho BC = 10cm tính AM

b) gọi N là trung điểm của AB cho MN // AC

c) kẻ MD // AD chứng minh tứ giác ANMD là hình chữ nhật

Xem đáp án

a) Xét △ ABC vuông tại A có :

AM là đường trung tuyến

Nên : $A M = \frac{B C}{2}$ ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Mà : BC = 10 ( cm )

Suy ra : AM = 10 : 2 = 5 ( cm )

b) Xét △ ABC vuông tại A có :

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AB

Nên : MN là đường trung bình của △ ABC

Do đó : MN // AC và $M N = \frac{A C}{2}$

c) Bạn nên sửa là MD // AB. ( D ∈ AC )

Xét Δ ACB có :

M là trung điểm của BC

MD // AB

Nên : MD là đường trung bình của △ ACB

Do đó : MD // AB và $M D = \frac{A B}{2}$

Hay : MD // AN ( N ∈ AB )

Lại có : MN // AD ( D ∈ AC )

Suy ra : ANMD là hình bình hành

Mà : Góc A = 90 độ

Vậy ANMD là hình chữ nhật

Câu 93:

Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

A. 752

B. 160

C. 156

D. 240

Xem đáp án

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\bar{a b c d}$ với a, b, c, d ∈ A và đôi một khác nhau.

TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số.

Chọn C

Câu 94:

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Xem đáp án

Gọi số cần tìm là $\bar{a b c d e}$ (e chẵn và các chữ số khác nhau từng đôi một )
TH1 : e = 0
Chọn e : 1 cách
Chọn a : 5 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
=> Theo Quy tắc nhân có : 1.5.4.3.2 = 120 .
TH2 : e # 0
Chọn e : 2 cách
Chọn a : 4 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
→ Theo quy tắc nhân có :2.4.4.3.2 = 192
→ Có tất cả 192 + 120 = 312 số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Câu 95:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\vec{M N} = \vec{Q P}$

B. $\vec{M N} = 2 \vec{Q P}$

C. $\vec{3 M N} = 2 \vec{Q P}$

D. _{$\vec{3 M N} = \vec{Q P}$}

Xem đáp án

Chọn A.

+ Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC .

suy ra MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (1).

+ Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC

suy ra QP // AC và $Q P = \frac{1}{2} A C$ (2).

+ Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = PQ do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Vậy ta có $\vec{M N} = \vec{Q P}$

Câu 96:

Cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành , IMPN là hình bình hành

Xem đáp án

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

→ MN là đường trung bình

→ MN//AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (1)

Xét tam giác ADC có:

P là trung điểm DC

Q là trung điểm AD

→ PQ là đường trung bình

→ PQ//AC và $P Q = \frac{1}{2} A C$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow \{\begin{matrix} P Q / / M N \\ P Q = M N \end{matrix}$

→ MNPQ là hình bình hành

Câu 97:

Cho các số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10

Xem đáp án

Các số thỏa mãn ĐK đề bài có dạng $\bar{a b c 0}$

+ Chọn 33 chữ số khác nhau từng đôi một từ {1;2;3;4;5;6;7} và xếp vào 3 vị trí

→ có $A_{7}^{3} = 210$ cách

→ Có 210 số thỏa mãn ĐK đề bài.

Câu 98:

Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là:

A. $A_{4}^{6}$

B. _{$C_{6}^{4}$}

C. $A_{6}^{4}$

D. _{$C_{4}^{6}$}

Xem đáp án

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Số các số là: $A_{6}^{4} = 360$ số.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 99:

Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Xem đáp án

Gọi số xe loại lớn, nhỏ cần thuê lần lượt là x, y xe, (x, y ≥ 0, x, y ∈ Z)

→ T = 4x + 2y (triệu đồng) là số tiền thuê xe.

Suy ra để số tiền thuê xe nhỏ nhất thì T = 4x + 2y nhỏ nhất

Theo bài ta có:

$\{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 12 \\ 0 \leq y \leq 10 \\ 40 x + 30 y \geq 450 \\ 5 x + y \geq 35 \end{matrix}$

Vẽ miền nghiệm của hệ trên, thấy các điểm giao nhau là:

A (12, 10), B (12, 0), C (11.250), D (5,10), $E (\frac{60}{11}, \frac{85}{11})$

Suy ra:

T_A= 68, T_B= 48, T_C= 45, T_D= 40

→T_D nhỏ nhất vì x, y ∈ Z

→Cần thuê 5 xe lớn và 10 xe nhỏ

Câu 100:

Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4²+ 4²+ ... + 4⁵⁸+ 4⁵⁹ chia hết cho 21.

Xem đáp án

D = 1 + 4 + 4²+ 4²+ ... + 4⁵⁸+ 4⁵⁹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …+ (4⁵⁷ + 4⁵⁸ + 4⁵⁹)

= (1 + 4 + 4²) + 4³.(1 + 4 + 4²) + …+ 4⁵⁷(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + …+ 4⁵⁷.21 chia hết 21.

Câu 101:

Cho A = 1 + 4 + 4 ² + 4 ³ +...+ 4 ¹¹

a. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 21

b. A chia hết cho 105

c. A chia hết cho 4097

Xem đáp án

a) A =1 + 4 + 4²+ 4³+ ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶+ 4⁷+ 4⁸) + (4⁹+ 4¹⁰+ 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³+ 4⁶+ 4⁹)

→ A chia hết cho 21

b) A = 1 + 4 + 4²+ 4³+ ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶+ 4⁷+ 4⁸+ 4⁹+ 4¹⁰+ 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²+ 4⁶.4³+ 4⁶.4⁴+ 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4²+ 4³+ 4⁴+ 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105

Câu 102:

Người ta dùng mấy hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án: B

Giải thích: Vì có 2 hình chiếu trùng nhau.

Câu 103:

x²– 16 + 4y²+ 4xy. Phân tích đa thức thành nhân tử

Xem đáp án

x²– 16 − 4xy + 4y²

= (x²− 2.x.2y + 2y²) – 4²

= (x − 2y)²– 4²

= (x − 2y − 4)(x − 2y + 4)

Câu 104:

Phân tích đa thức thành nhân tử 16 - x² - 4xy - 4y²

Xem đáp án

16 – x² – 4xy – 4y²

= 16 – (x² + 4xy + 4y²)

= 4² – (x + 2y)²

= (4 – x – 2y)(4 + x + 2y)

Câu 105:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC
a. CMR: ER = AH
b.Kẻ trung tuyến Am của tam giác ABC. C/m: AM⊥ EF

Xem đáp án

a, EHFA có góc HEA = HFA = EAF = 90⁰ nên tứ giác đó là hình chữ nhật

⇒ EF =AH ( 2 đường chéo)

b, Gọi EF cắt AH tại I

Gọi AM cắt EF tại N

Góc BHE = HCA (2 góc đồng vị)

Mà BHE + EBH = BHE + EHI = 90

⇒ EBH = EHI (1)

Theo tính chất hình chữ nhật EI = IH => EHI = IEH (2)

MB = MA ⇒ MBE = MAB (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ IEH = BAM

Mặt khác IEH + IEA = 90 ⇒ BAM + IEA = 90

⇒ ANE = 90

⇒ AM vuông góc EF tại N

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường (ảnh 1)

Câu 106:

Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m mặt phản xạ hướng lên . Ánh sáng từ bóng đèn bin (nguồn sáng điểm) cách trần nhà 1m

a, Hãy tính đường kính vệt sáng trên trần nhà

b. Cần phả dịch bóng đèn về phía nào vuông góc với gương một đoạn bao nhiêu để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi

Xem đáp án

Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m mặt phản (ảnh 1)

a) Xét tam giác S’IA đồng dạng với tam giác S’I’A’ có:

$\frac{S' I}{S' I'} = \frac{I A}{I' A'} = \frac{B A}{B' A'} \Rightarrow A' B' = \frac{S' I' . B A}{S' I} = \frac{S' I + I I'}{S' I} . B A$

mà mà SI = S'I → A'B'= 30cm

b) Để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi ta phải di chuyển bóng đèn đến gần gương khi đó

$\frac{A' B'}{A B} = \frac{60}{10} = \frac{S I + I I'}{S I} \Rightarrow 6 S I = S I + I I' \Rightarrow 5 S I = I I'$

$\to S I = \frac{I I'}{5} = \frac{2}{5} = 0, 4 (m) = 40 c m$

Vậy ta phải dịch bóng đèn lại gần gương một đoạn là:
H = 100 – 40 = 60(cm).

Câu 107:

Cho hình bình hành ABCD có diện tích là S. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Tính diện tích tứ giác MNDC theo S.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AD, K là giao điểm của CI và BD. Kẻ $M E ⊥ B D$ tại E, $C F ⊥ B D$ tại F.

Ta có:

_{$BN = \frac{1}{3} BD, EM = \frac{1}{2} CF$}

_{$S_{BMN} = \frac{1}{2} EM.BN = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} CF . \frac{1}{3} BD = \frac{1}{6} S_{BCD} = \frac{1}{12} S$}

_{$\Rightarrow S_{MNDC} = \frac{1}{2} S - \frac{1}{12} S = \frac{5}{12} S$}

Câu 108:

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y = \frac{1}{3} {cos}^{3} x - 4cotx - (m + 1) cosx$ đồng biến trên khoảng $(0; π)$ ?

A. 5

B. 2

C. Vô số

D. 3

Xem đáp án

Ta có:

_{$y' = - \cos^{2} x . s inx + \frac{4}{s {in}^{2} x} + (m + 1) . s inx = s {in}^{3} x + \frac{4}{s {in}^{2} x} + m . s inx$}

- Hàm số đồng biến trến $(0; π)$ khi và chỉ khi $y' \geq 0, \forall x \in (0; π)$

_{$\Leftrightarrow s {in}^{3} x + \frac{4}{s {in}^{2} x} + m . s inx \geq 0, \forall x \in (0; π)$}

_{$\Leftrightarrow s {in}^{2} x+ \frac{4}{s {in}^{3} x} \geq - m, \forall x \in (0; π) (1)$}

- Xét hàm số: $g (x) = s {in}^{2} x + \frac{4}{s {in}^{3} x}$ trên $(0; π)$

Có $g' (x) = 2 \sin x . \cos x - \frac{12 \cos x}{\sin^{4} x}$

_{$= 2 \cos x . (\sin x - \frac{6}{\sin^{4} x}) = 2 \cos x . \frac{\sin^{5} x - 6}{\sin^{4} x}$}

_{$\Rightarrow g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} \in (0; π)$}

Bảng biến thiên

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y=1/3 cos^3 x- 4 cot x- ( m+1) đồng biến trên khoảng (ảnh 1)

- Do đó : $(1) \Leftrightarrow - m \leq \min_{x \in (0; π)} g (x) \Leftrightarrow - m \leq 5$

_{$\Leftrightarrow m \geq - 5$}

- Lại do m nguyên âm nên $m \in \{- 5; - 4; - 3; - 2; - 1\}$

Vậy có 5 số nguyên âm.

Chọn A

Câu 109:

Tìm x ∈ BC(16; 21; 25) và x ≤ 400

Xem đáp án

Ta có: 16 = 2⁴; 21 = 3.7; 25 = 5²

Suy ra BCNN(16; 21; 25) = 2⁴.3.5².7 = 8 400.

Do đó BC(16; 21; 25) = B(8 400) = {0; 8400; ...}.

Mà x ≤ 400 nên x = 0.

Vậy x = 0.

Câu 110:

Tìm các số tự nhiên x, biết:

a) x $\in$ BC(30, 45), x < 500;

b) x $\in$ BC(34, 85), 500 < x < 1000;

c) x $\in$ BC(12, 21, 28), 150 < x < 300;

d) x $\in$ BC(65, 45, 105) và x là số có bốn chữ số;

e) x39; x 65, x 91 và 400 < x < 2600.

Xem đáp án

a) Ta có: 30 = 2 . 3 . 5; 45 = 3² . 5

BCNN(30, 45) = 2. 3² . 5 = 90

Suy ra: $x \in B C (30, 45) = B (90) = \{0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; ...\}$

Mà $x < 500 \Rightarrow x \in {0; 90; 180; 270; 360; 450}$

b) Ta có: 34 = 2 . 17; 85 = 5 . 17

BCNN(34; 85) = 2 . 17 . 5 = 170

Suy ra: $x \in B C (34, 85) = B (170) = \{0; 170; 340; 510; 680; 850; 1020; ...\}$

Mà $500 < x < 1000 \Rightarrow x \in \{510; 680; 850\}$

c, Ta có: 12 = 2² . 3; 21 = 3 . 7; 28 = 2² . 7

BCNN(12, 21, 28) = 2² . 3 . 7 = 84

Suy ra: $x \in B C (12, 21, 28) = B (84) = \{0, 84, 168, 252, 336, ...\}$

Mà $150 < x < 300 \Rightarrow x \in \{168; 252\}$

d, Ta có: 65 = 5 . 13; 45 = 3². 5; 105 = 3 . 5 . 7

BCNN(65; 45; 105) = 3². 5 . 7 . 13 = 4095

Suy ra: $x \in B C (65, 45, 105) = B (4095) = \{0; 4095; 8190; 12285; ...\}$

Mà x có bốn chữ số $\Rightarrow x \in \{4095; 8190\}$

e, Vì _{$x ⋮ 39; x ⋮ 65; x ⋮ 91$} nên $x \in B C (39, 65, 91)$

Ta có: 39 = 3.13; 65 = 5.13; 91 = 7.13

BCNN(39,65,91) = 3.5.7.13 = 1365

Suy ra $x \in B C (39, 65, 91) = B (1365) = \{0, 1365, 2730, ...\}$

Mà 400 < x < 2600 → x = 1365

Câu 111:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm C di động trên đoạn AB. Vẽ các đường tròn tâm I đường kính AC và đường tròn tâm K đường kính BC. Tia Cx vuông góc với AB tại C, cắt (O) tại M. Đoạn thẳng MA cắt đường tròn (I) tại E và đoạn thẳng MB cắt đường tròn (K) tại F

a. Chứng minh tứ giác MECF là hình chữ nhật và EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K)

b. Cho AB = 4cm, xác định vị trí điểm C trên AB để diện tích tứ giác IFEK là lớn nhất.

c. Khi C khác O, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MECF cắt đường trong (O) tại P (khác M), đường thẳng PM cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh tam giác MPF đồng dạng với tam giác MBN.

d. Chứng minh 3 điểm: N, E, F thẳng hàng

Xem đáp án

a) Ta thấy MEC và MFC là các tam giác vuông chung cạnh huyền MC nên MECF nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Dễ thấy MECF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông) nên $\hat{CEF} = \hat{ECM}$

Lại có $\hat{IEC} = \hat{ICE} \Rightarrow \hat{IEF} = \hat{MCA} {=90}^{o}$

Hoàn toàn tương tự FE là tiếp tuyến đường tròn (K). Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

b) MECF là hình chữ nhật nên EF = MC.

Do EI và FK cùng vuông góc với EF nên IEFK là hình thang vuông.

$\Rightarrow S_{IEFK} = \frac{(EI+FK) .EF}{2} = \frac{(IC+CK) .MC}{2} = \frac{IK.MC}{2} = \frac{\frac{AB}{2} .MC}{2} =MC \leq MH$ với H là điểm chính giữa cung AB.

Vậy để diện tích IEFK lớn nhất thì C nằm chính giữa cung AB. Khi đó

$S_{IEFK} =2 ({cm}^{2})$

c) Ta thấy $\hat{MPF} = \hat{MCF}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF) _{$= \hat{MBN}$} (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung CF)

$\Rightarrow ΔMPF ~ ΔMBN (g - g)$

d) Do $ΔMPF ~ ΔMBN \Rightarrow \hat{MFP} = \hat{MNB}$

Mà $\hat{MFP} = \hat{MEP} \Rightarrow \hat{PNA} = \hat{MEP}$ hay NPEA là tứ giác nội tiếp.

Tương tự PFBN cũng là tứ giác nội tiếp.

Vậy thì ta có: $\hat{PNE} = \hat{PAE} = \hat{PBM} = \hat{PNF}$

Hay N, E, F thẳng hàng.

Câu 112:

Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc ở tâm $\hat{A O C} = 55^{0}$ . Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Tính số đo cung nhỏ BE.

A. 55⁰

B. 60⁰

C. 40⁰

D. 50⁰

Xem đáp án

Xét (O) có $C D ⊥ O A; E D / / O A$

$C D ⊥ O A; E D / / O A$ hay $\hat{E D C} = 90^{0}$

Mà E; D; C $\in (O)$ nên EC là đường kính của (O) hay E; O; C thẳng hàng.

Do đó $\hat{B O E} = \hat{C O A} = 55^{0}$ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ BE là 55°.

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 113:

Cho tam giác ABC lấy M bất kì trên cạnh BC. Từ M kẻ đường song song với AB cắt AC tại D. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

Chứng minh: ME = AD và MD = AE.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC lấy M bất kì trên cạnh BC. Từ M kẻ đường song song với AB (ảnh 1)

Xét tứ giác AEMD có : MD // AE (vì MD // AB) và ME // AD (vì ME // AC)

⇒ AEMD là hình bình hành. Theo tính chất của hình bình hánh ta suy ra được ME = AD và MD = AE (đpcm).

Câu 114:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm M bất kì trên cạnh BC ( M không trùng với BC ) kẻ đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB ở D và AC ở E.

a) ADME là hình gì? Vì sao?

b) Giả sử AD và 3cm, AE = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM và diện tích tam giác DME

Xem đáp án

a)

Ta có: $MD//AC, AB ⊥ AC (g t)$

_{$\Rightarrow MD ⊥ AB$}

Tương tự $\Rightarrow M E ⊥ A C$

Xét tứ giác ADME:

$\begin{array}{l} \hat{DAE} {= 90}^{o} (AB ⊥ AC) \\ \hat{ADM} {= 90}^{o} (MD ⊥ AB) \\ \hat{AEM} {= 90}^{o} (ME ⊥ AC) \end{array}$

→ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

→ AD = ME, DM = AE

b)

Ta có: AD = ME = 3cm, DM = AE = 4cm

${AD}^{2} {+ DM}^{2} {= AM}^{2}$

\Rightarrow AM = \sqrt{{AD}^{2} {+DM}^{2}} = \sqrt{3^{2} {+4}^{2}} = 5(cm)

$Δ D M E$ vuông tại D:

$\Rightarrow S_{VDME} = \frac{1}{2} .DM.ME = \frac{1}{2} {.4.3 = 6(cm}^{2})$ (định lý Pytago)

$Δ D M E$ vuông tại M

$\Rightarrow S_{VDME} = \frac{1}{2} .DM.ME = \frac{1}{2} {.4.3 = 6(cm}^{2})$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm M bất kì trên cạnh BC ( M không trùng với BC ) (ảnh 1)

Câu 115:

Cho A, B là hai tập hợp tùy ý. Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm.

Nếu _{$A \cap B = \emptyset$}thì _{$A \ B = ...$}và _{$B \ A = ....$}

Xem đáp án

Ta có $A \cap B = \emptyset$ nên A và B là hai tập hợp rời nhau:

Cho A, B là hai tập hợp tùy ý. Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm. (ảnh 1)

Khi đó mọi phần tử của A và B đều khác nhau.

Vậy $A \ B = A$ và $B \ A = B$ .

Câu 116:

Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia. Mỗi người bắn một viên. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0,7; của xạ thủ thứ hai là 0,8. Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia. Tính kì vọng của X :

A. 1,75

B. 1,5

C. 1,54

D. 1,6

Xem đáp án

Xác suất để 2 người không bắn trúng bia là: P = 0,3 . 0,2 = 0, 06.

Xác suất để 2 người cùng bắn trúng bia là: P = 0,7 . 0,8 = 0,56.

Xác suất để đúng 1 người cùng bắn trúng bia là: P = 1 – 0,06 – 0,56 = 0,38.

Ta có bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X .

X	0	1	2
P	0,06	0,38	0,56

Vậy kỳ vọng của X là E(X) = 0 . 0,06 + 1 . 0,38 + 2 . 0,56 = 1,5.

Câu 117:

Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào bia xác suất để xạ thủ bắn trúng là 0,7 và xác suất để xạ thủ b bán kính là 0,8 tính xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng bia

Xem đáp án

Có đúng 1 người bắn trúng bia → (A trúng, B trật) hoặc (A trật, B trúng)

→ xác suất $P = 0, 7. (1 - 0, 8) + (1 - 0, 7) .0, 8 = 0, 38$ .

Câu 118:

Hội khỏe Phù Đổng của trường Trần Phú, lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thi điền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, 7 em không tham gia môn nào, 5 em tham gia cả 3 môn. Hỏi số em tham gia chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

A. 20;

B. 45;

C. 38;

D. 21.

Xem đáp án

Hội khỏe Phù Đổng của trường Trần Phú, lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 25 học (ảnh 1)

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thi môn điền kinh, nhảy xa, nhảy cao.
x là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy xa.
y là số học sinh chỉ thi hai môn nhảy xa và nhảy cao.
z là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy cao.
Số em thi ít nhất một môn là: 45 – 7 = 38
Dựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình sau:

\{\begin{matrix} a + x + z + 5 = 25 (1) \\ b + x + y + 5 = 20 (2) \\ c + y + z + 5 = 15 (3) \\ x + y + z + a + b + c + 5 = 38 (4) \end{matrix}

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có: a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 60 (5)

Từ (4) và (5) ta có: a + b + c + 2(38 – 5 – a – b – c) + 15 = 60

⟺ a + b + c = 21.

Vậy có 21 học sinh chỉ thi một trong ba nội dung trên.

Câu 119:

Trong hội khỏe Phù Đổng của trường THPT Thanh Miện, lớp 10Acó 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thiđiền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, 7 học sinhkhông tham gia môn nào, 5 học sinhtham gia cả 3 môn. Hỏi số họcsinhtham gia chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

Xem đáp án

Tổng số lượt đi thi là 25 + 20 + 15 = 60 (lượt)

Trong đó có 55 học sinh thi cả 33 môn

→ Có 60 – 5 . 3 = 45 lượt đi thi cho 40 – 7 = 33 học sinh

hay 45 lượt thi sẽ có xx học sinh và yy học sinh thi 2 trong 3 môn

$\{\begin{matrix} x + y = 33 \\ x + 2 y = 45 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 21 \\ y = 12 \end{matrix}$

Vậy có 21 học sinh chỉ thi 1 trong 3 môn.

Câu 120:

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên AB và AC. CMR: AB . AM = AC . AN

Xem đáp án

Xét tứ giác AMHN có $\hat{A N M} = \hat{A H M}$ (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)

Mà $\hat{A H M} = \hat{B} = 90^{o} - \hat{B H M} (2)$

(1)(2) ⇒ $\hat{A N M} = \hat{B}$

Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{A N M} = \hat{B}$

tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)

$\frac{A N}{A B} = \frac{A M}{A C} \Rightarrow A N . A C = A B . A M$

Câu 121:

Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0,$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện _{${3C}_{n +1}^{2} {+nP}_{2} {=4A}_{n}^{2}$}

A.210.

B.252.

C.120.

D.45.

Xem đáp án

Điều kiện: $n \geq 2.$ Ta có

$\begin{array}{l} {3C}_{n +1}^{2} {+ nP}_{2} {= 4A}_{n}^{2} \\ \Leftrightarrow 3. \frac{(n+1)!}{(n-1)!.2!} + 2n = 4. \frac{n!}{(n-2)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} n (n + 1) + 2n = 4n (n-1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 (n + 1) + 4 = 8 (n-1) \\ \Leftrightarrow 3n + 3 + 4 = 8n - 8 \\ \Leftrightarrow 5n = 15 \\ \Leftrightarrow n = 3. \end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton, ta có
_{${(\frac{1}{x} {+x}^{3})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 - k} . {(x^{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . \frac{x^{3k}}{x^{10 - k}} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {.x}^{4k - 10} .$}

Hệ số của số hạng chứa x⁶ ứng với 4k – 10 = 6 $\Rightarrow$ k = 4

→ Hệ số cần tìm là $C_{10}^{4} = 210.$

Đáp án cần chọn là: A