Cho phương trình x2 – (m + 2)x – 8 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tính giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = 8.
Giải bởi Vietjack
a) Thay m = 0 vào phương trình ta có:
x2 – (0 + 2)x – 8 = 0
\( \Leftrightarrow \)x2 – 2x – 8 = 0
\(\Delta ' = 1 - 1.( - 8) = 9\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 1 - \sqrt 9 = - 2\); \({x_2} = 1 + \sqrt 9 = 4\).
b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta > 0\)
\( \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4.( - 8) > 0\)
\( \Leftrightarrow {(m + 2)^2} + 32 > 0\)(luôn đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\))
Áp dụng hệ thức Vi−ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = - 8\end{array} \right.\) (*)
Lại có: x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = 8
\( \Leftrightarrow \) x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = 8
\( \Leftrightarrow \) (x1 + x2) – 2x1x2 = 8
Thay (*) vào ta có: m + 2 – 2 . (−8) = 8
⇔ m + 2 + 16 = 8
⇔ m + 18 = 8
\( \Leftrightarrow \)m = −10
Vậy với m = −10 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh ∆ABC vuông và tính độ dài AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh ∆CBD cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).
c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) cà từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.
a) CM: AE.AB = AF.AC;
b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;
c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AK.AH = R2.
Cho hình vẽ biết xx’ // yy’ và \(\widehat {xAB} = 70^\circ \). Tính số đô góc \(\widehat {yBz'}\) và \(\widehat {ABy}\).
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} \) bằng:
Cho đường tròn (O) bán kính OA = 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Rút gọn biểu thức:
S = cos(90° − x).sin(180° − x) – sin(90° − x).cos(180° − x).
Viết tập hợp A là các số \(x\,\, \vdots \,\,5\), thỏa mãn 124 < x < 145 bằng cách liệt kê các phần tử.
Cho hình vẽ:
a) Giải thích tại sao xx’ // yy’.
b) Tính số đo \(\widehat {MNB}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: AB2 = AH.BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 10 cm và \(\sin \widehat {ACB} = \frac{3}{5}\). Tính độ dài các đoạn AB, AC và AH.
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có BC = 15 cm. Điểm E thuộc cạnh AD sao cho \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{1}{3}\). Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC tại F. Tính độ dài BF.
