Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Giải bởi Vietjack
Kẻ NH ^ OD
ABCD là hình vuông nên AC ^ BD và AC = BD
Þ NH // OC
Xét ΔOCD có:
NC = ND (vì N là trung điểm của CD)
NH // OC
Þ NH là đường trung bình của ΔOCD
Þ H là trung điểm của OD và \[NH = \frac{1}{2}OC\]
Þ NH = OM
Ta có:
\[HM = OM + OH = \frac{1}{2}OB + \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}BD\]
Þ HM = OA
Xét ΔOMA và ΔHNM có:
\[\widehat H = \widehat O = 90^\circ \]
NH = OM
HM = OA
ΔHNM = ΔOMA (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {HMN} = \widehat {OAM}\]
Do đó:
\[\widehat {AMN} = \widehat {AMO} + \widehat {HMN} = \widehat {AMO} + \widehat {OAM} = 90^\circ \]
Gọi I là trung điểm của AN
Xét ΔAMN vuông tại M có I là trung điểm của AN
\[ \Rightarrow IM = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]
Xét ΔADN vuông tại D có I là trung điểm của AN
\[ \Rightarrow ID = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]
Do đó: IA = IM = IN = ID hay 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.
Vậy bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con, 12 năm trước tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Một cửa hàng có 2,5 tấn gạo. Buổi sáng bán được \[\frac{1}{5}\] số gạo cửa hàng. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tạ gạo?
Học sinh lớp 6A có từ 40 đến 50 em. Khi xếp hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tìm số học sinh lớp 6A.
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 240 m, chiều rộng bằng \[\frac{3}{5}\] chiều dài. Người ta cấy lúa trên thửa ruộng đó cứ 5 m2 thu được \[\frac{8}{5}\] kg thóc. Tính số thóc thu được?
Năm nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con, 8 năm trước tuổi mẹ gấp 10 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Có hai thùng chứa dầu, thùng nhỏ ít hơn thùng to là 4,5 lít dầu. Sau khi lấy 3,75 lít dầu từ thùng nhỏ thì thùng này còn lại 19,5 lít dầu. Hỏi lúc đầu cả hai thùng có bao nhiêu lít dầu?
Một cửa hàng có hai thùng dầu, thùng to có 75,5 lít dầu, thùng bé có ít hơn thùng to 23,5 lít dầu. Số dầu đó được chứa vào các chai như nhau, mỗi chai có 0,75 lít dầu. Sau khi bán đi một số chai dầu thì cửa hàng còn lại 68 chai dầu. Hỏi cửa hàng đã bán được bao nhiêu lít dầu?
Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài 120 m, chiều rộng bằng \[\frac{5}{6}\] chiều dài. Tính chu vi và diện tích của sân trường đó.
Một sân vận động hình chữ nhật có chu vi là 400 m, chiều dài bằng \[\frac{3}{2}\] chiều rộng. Tính chiều dài và chiều rộng của sân vận động.
Người ta thu hoạch ở hai thửa ruộng được 3 tấn 6 tạ thóc. Ở thửa ruộng thứ nhất thu hoạch được ít hơn thửa ruộng thứ hai 4 tạ thóc. Hỏi mỗi thửa ruộng, người ta thu hoạch được bao nhiêu ki lô gam thóc?
