Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[A = \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}}\].
Biết a + b + c = 6.
Giải bởi Vietjack
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
• \[{(a + b)^2} \ge 4ab\]\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)\]
• \[{(b + c)^2} \ge 4bc\]\[ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)\]
• \[{(c + a)^2} \ge 4ac\]\[ \Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)\]
Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:
\[\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}\]
Hay \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}\]
Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}\]
Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
Do đó, giá trị lớn nhất của A = 3 Û a = b = c = 2.
Vậy giá trị lớn nhất của A = 3.
Trong một phép trừ biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 2000. Tìm số bị trừ và số trừ trong phép tính đó, biết rằng số trừ lớn hơn hiệu là 200.
Số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt tỉ lệ với các số 11; 12; 13; 14. Biết hai lần số học sinh lớp 7B nhiều hơn số học sinh lớp 7A là 39 em. Tính số học sinh mỗi lớp.
Cho a, b, c là các số hữu tỉ thảo mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng biểu thức Q = (a2 + 1) (b2 + 1) (c2 + 1) là bình phương của một số hữu tỉ.
Trong một phép trừ biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 7652 và hiệu số lớn hơn số trừ 798. Tìm số bị trừ, số trừ, hiệu của phép trừ đó?
Trung bình cộng của 3 số là 25,42. Tổng của số thứ hai và số thứ ba là 58,5. Biết số thứ ba hơn số thứ nhất là 7,4. Tìm ba số đó.
Cạnh thứ nhất của một hình tam giác dài 11,5 cm. Cạnh thứ nhất ngắn hơn cạnh thứ hai 0,6 cm và dài hơn cạnh thứ ba 0,9 cm. Tính chu vi hình tam giác đó.
Cho ΔABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh:
a) AH là phân giác của góc \[\widehat {BAC}\].
b) AH ⊥ BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AM. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Biết AM = 4 cm. Tính HA.HB + KA.KC.
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thảo mãn 3x2 + 3xy – 17 = 7x – 2y.
Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 8 m và diện tích bằng 120 m2. Tính chu vi hình chữ nhật đó.
Một can nhựa chứa 10 lít dầu hỏa. Biết một lít dầu hỏa cân nặng 0,8 kg, can rỗng cân nặng 1,3 kg. Hỏi can dầu hỏa đó cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
Cho hình vuông ABCD.Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE=CF. Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh ΔABH = ΔACH
Biết 12 người làm xong một công việc trong 8 ngày. Hỏi muốn làm xong công việc đó trong 3 ngày cần bao nhiêu người? (mức làm mỗi người như nhau).
