IMG-LOGO

Câu hỏi:

19/06/2024 62

Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411 chứng minh:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)

\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)

Vậy A 21.

b) A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411

\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)

Vậy A 5

Với A 5 và A 21 mà ƯCLN(5; 21) = 1 nên A 5 × 21 hay A 105.

c) A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + \left( {4 + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^8} + {4^{10}}} \right) + \left( {{4^9} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + 4\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + ... + {4^8}\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + {4^9}\left( {1 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\)

\( = 17\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\; \vdots \;17\)

Vậy A 17.

Xét \(B = 1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + \left( {4 + {4^5} + {4^9}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + 4\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) = 5\,\,.\,\,65\,\,793\)

65793 241 nên B 241 suy ra A 241.

Với A 17 và A 241 mà ƯCLN(17; 241) = 1 nên A 17 × 241 hay A 4097.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho \(AK = \frac{{AC}}{3}\). Chứng minh B, I, K thẳng hàng.

Xem đáp án » 25/07/2023 134

Câu 2:

Cho tam giác ABC có \(AB = \sqrt 5 \;cm;\;AC = 3\;cm;\;\widehat B + \widehat C = 90^\circ \). Tính độ dài đoạn thẳng BC

Xem đáp án » 25/07/2023 123

Câu 3:

Nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. Còn nếu chia số bị chia cho 3 lần số thương ta cũng được 0,6. Tìm số bị chia số chia và số thương trong phép chia đầu tiên?

Xem đáp án » 25/07/2023 119

Câu 4:

Có 54 con vừa gà, vừa mèo. Tất cả có 154 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con mèo?

Xem đáp án » 25/07/2023 97

Câu 5:

Theo dự định, một xưởng một phải làm trong 24 ngày, mỗi ngày đóng được 15 bộ bạn ghế thì sẽ hoàn thành kế hoạch. Do cải tiến kỹ thuật mỗi ngày xưởng đóng được 20 bộ bàn ghế. Hỏi xưởng làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành kế hoạch?

Xem đáp án » 25/07/2023 90

Câu 6:

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 5 km 60 dam, chiều dài hơn chiều rộng là 800 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu mét vuông?

Xem đáp án » 25/07/2023 85

Câu 7:

Tìm số hữu tỉ x sao cho x2 + x + 1991 là số chính phương.

Xem đáp án » 25/07/2023 85

Câu 8:

Tìm chữ số x để số \(\overline {x987} \) thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Chia hết cho 2; 

b) Chia hết cho 5.

Xem đáp án » 25/07/2023 85

Câu 9:

Chu vi hình chữ nhật là 48 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, tính diện tích hình chữ nhật?

Xem đáp án » 25/07/2023 82

Câu 10:

Cho M; N; P lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CA của tam giác ABC Hỏi \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} \) bằng vectơ nào?

Xem đáp án » 25/07/2023 80

Câu 11:

Trên một bản đồ tỉ lệ 1 : 1000 có hình vẽ một khu đất hình chữ nhật với chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm. Tính diện tích khu đất đó bằng đơn vị ha.

Xem đáp án » 25/07/2023 80

Câu 12:

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; AC = 3 cm

a) So sánh góc B với góc C

b) So sánh 2 góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC

Xem đáp án » 25/07/2023 80

Câu 13:

Nếu ta chia số bị chia cho 2 lần số bị chia thì ta được 6. Nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì ta cũng được 6. Tìm số bị chia và số chia.

Xem đáp án » 25/07/2023 79

Câu 14:

Có 3 sợi dây, sợi thứ nhất dài 12,6 m, sợi thứ hai bằng \[\frac{3}{5}\] sợi thứ nhất, sợi thứ ba gấp 1,5 lần sợi thứ hai. Hỏi độ dài trung bình của mỗi sợi dây?

Xem đáp án » 25/07/2023 79

Câu 15:

Một hình vuông được chia thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Biết diện tích hình vuông lớn là 100 cm2. Tính chu vi hình vuông nhỏ.

Xem đáp án » 25/07/2023 78

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »