Cho x > y > z. Chứng minh rằng biểu thức:
A = x4(y − z) + y4(z − x) + z4(x − y) luôn luôn dương
Giải bởi Vietjack
Ta có:
A = x4(y − z) + y4(z − x) + z4(x − y)
= x4y − x4z + y4z − y4x + z4x − z4y
= xy(x3 − y3) − z(x4 − y4) + z4(x − y)
= xy(x − y)(x2 + xy + y2) − z(x − y)(x + y)(x2 + y2) + z4(x − y)
= (x − y)[xy(x2 + xy + y2) − z(x + y)(x2 + y2) + z4]
= (x − y)(x3y + x2y2 + xy3 − x3z − x2yz − xy2z − y3z + z4)
= (x − y)[x2y(x − z) + xy2(x − z) + y3(x − z) − z(x3 − z3)]
= (x − y)(x − z)[x2y + xy2 + y3 − z(x2 + xz + z2)]
= (x − y)(x − z)(x2y + xy2 + y3 − zx2 − xz2 − z3)
= (x − y)(x − z)[x2(y − z) + x(y2 − z2) + (y3 − z3)]
= (x − y)(x − z)[x2(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y2 + yz + z2)]
= (x − y)(x − z)(y − z)(x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz)
Với x > y > z nên suy ra x − y > 0; x − z > 0; y − z > 0 (1)
Lại có: x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz
\[ = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 2xy + 2yz + 2xz} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2} + {{\left( {x + z} \right)}^2}} \right] > 0,\;\forall x > y > z\] (2)
Từ (1) và (2) nên A luôn luôn dương.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho \(AK = \frac{{AC}}{3}\). Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có \(AB = \sqrt 5 \;cm;\;AC = 3\;cm;\;\widehat B + \widehat C = 90^\circ \). Tính độ dài đoạn thẳng BC
Nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. Còn nếu chia số bị chia cho 3 lần số thương ta cũng được 0,6. Tìm số bị chia số chia và số thương trong phép chia đầu tiên?
Có 54 con vừa gà, vừa mèo. Tất cả có 154 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con mèo?
Theo dự định, một xưởng một phải làm trong 24 ngày, mỗi ngày đóng được 15 bộ bạn ghế thì sẽ hoàn thành kế hoạch. Do cải tiến kỹ thuật mỗi ngày xưởng đóng được 20 bộ bàn ghế. Hỏi xưởng làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành kế hoạch?
Tìm chữ số x để số \(\overline {x987} \) thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Chia hết cho 2;
b) Chia hết cho 5.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 5 km 60 dam, chiều dài hơn chiều rộng là 800 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu mét vuông?
Chu vi hình chữ nhật là 48 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, tính diện tích hình chữ nhật?
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; AC = 3 cm
a) So sánh góc B với góc C
b) So sánh 2 góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC
Một hình vuông được chia thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Biết diện tích hình vuông lớn là 100 cm2. Tính chu vi hình vuông nhỏ.
Có 3 sợi dây, sợi thứ nhất dài 12,6 m, sợi thứ hai bằng \[\frac{3}{5}\] sợi thứ nhất, sợi thứ ba gấp 1,5 lần sợi thứ hai. Hỏi độ dài trung bình của mỗi sợi dây?
Trên một bản đồ tỉ lệ 1 : 1000 có hình vẽ một khu đất hình chữ nhật với chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm. Tính diện tích khu đất đó bằng đơn vị ha.
Nếu ta chia số bị chia cho 2 lần số bị chia thì ta được 6. Nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì ta cũng được 6. Tìm số bị chia và số chia.
Trong hệ trục tọa dộ Oxy, cho đường thẳng d: y = 2x − 2 và điểm I(3; 2). Hãy tính khoảng cách:
a) Từ O đến d;
b) Từ I dến d.
