Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.
c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD.
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.
Giải bởi Vietjack
a) Tứ giác AECD, có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O.
Mà O là trung điểm của AC (giả thiết) và O cũng là trung điểm của DE (điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O).
Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {ADC} = 90^\circ \] (AD ⊥ BC).
Vậy tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Tam giác ABC cân tại A có AD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
Suy ra D là trung điểm BC.
Do đó BD = CD (1)
Vì AECD là hình chữ nhật nên AE // CD và AE = CD (2)
Từ (1), (2), suy ra AE = BD.
Tứ giác AEDB, có: AE // BD và AE = CD (chứng minh trên).
Suy ra tứ giác AEDB là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của AD.
Vậy I cũng là trung điểm của BE.
c) Ta có D là trung điểm BC. Suy ra \(BD = CD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).
Tam giác ACD có O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.
Suy ra OI là đường trung bình của tam giác ACD.
Do đó OI // CD và \(OI = \frac{{CD}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) (cm).
Tam giác ABD vuông tại D: AD2 = AB2 – BD2 = 102 – 62 = 64.
Suy ra AD = 8 (cm).
Ta có OI // CD (chứng minh trên) và CD ⊥ AD (tam giác ABC có AD là đường cao).
Suy ra OI ⊥ AD.
Diện tích tam giác OAD là: \({S_{\Delta OAD}} = \frac{1}{2}OI.AD = \frac{1}{2}.3.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích tam giác OAD bằng 12 cm2.
d) Vì tứ giác AEDB là hình bình hành nên AK // DE.
Suy ra tứ giác AEDK là hình thang.
Do đó để AKDE là hình thang cân thì \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) (hai góc kề một đáy bằng nhau).
Ta có tứ giác AEDB là hình bình hành (chứng minh trên).
Suy ra OD // AK (3)
Tam giác ABC có OK // BC (chứng minh trên) và O là trung điểm AC (giả thiết).
Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó K là trung điểm của AB.
Tam giác ABC có D, K lần lượt là trung điểm của BC, AB.
Suy ra DK là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó DK // AO (4)
Từ (3), (4), suy ra tứ giác AODK là hình bình hành.
Khi đó \(\widehat {KAO} = \widehat {KDO}\) (hai góc đối nhau).
Mà \(\widehat {AED} = \widehat {ABD}\) (hai góc đối nhau trong hình bình hành AEDB).
Do đó nếu \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) thì \(\widehat {ABD} = \widehat {KAO}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác ABC cân tại A).
Suy ra \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].
Khi đó tam giác ABC đều.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều thì tứ giác AEDK là hình thang cân.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G, G’ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD. Khi đó \(\overrightarrow {GG'} \) bằng:
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) và \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).
Cho hình thoi ABCD, có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, CD.
a) Nêu nhận xét về quan hệ bằng nhau của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ADB}\). Vì sao?
b) Tứ giác AMNC là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tứ giác OMDN là hình thoi.
d) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng CD. Tính số đo \(\widehat {AED}\), biết \(\widehat {BAD} = 130^\circ \).
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông.
b) Nối CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ⊥ CD.
c) Biết diện tích của hình lục giác ABFCDE bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.
d) Lấy K là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi G là trọng tâm của ∆AIK. Chứng minh rằng điểm G thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cạnh BC.
Trong các số thập phân 86,42; 86,422; 686,42; 86,642. Số thập phân lớn nhất là
Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của \[\widehat {QMN}\].
Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) Chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 120^\circ \) và AB = a. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \).
Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọn bất kì hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là
Cho \(\cot a = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức sin2a.cosa + cosa.
Một lớp học có 30 học sinh gồm cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nữ và 1 nam là \(\frac{{52}}{{145}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
