Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông.
b) Nối CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ⊥ CD.
c) Biết diện tích của hình lục giác ABFCDE bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.
d) Lấy K là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi G là trọng tâm của ∆AIK. Chứng minh rằng điểm G thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cạnh BC.
Giải bởi Vietjack
a) Gọi T là giao điểm của AD và EO; H là giao điểm của BC và OF.
Vì E là điểm đối xứng của O qua AD nên AD là đường trung trực của đoạn OE.
Khi đó AO = AE.
Vì vậy tam giác OAE cân tại A.
Tam giác OAE cân tại A có AT là đường trung trực.
Suy ra AT cũng là đường phân giác của tam giác OAE.
Do đó \(\widehat {EAT} = \widehat {TAO} = 45^\circ \) (do ABCD là hình vuông).
Vì vậy \(\widehat {EAO} = \widehat {EAT} + \widehat {TAO} = 90^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {EDO} = 90^\circ \).
Xét tứ giác AODE, có: \(\widehat {EAO} = \widehat {EDO} = 90^\circ \) (chứng minh trên) và \(\widehat {AOD} = 90^\circ \) (ABCD là hình vuông).
Suy ra tứ giác AODE là hình chữ nhật.
Mà OA = OD (ABCD là hình vuông tâm O).
Vậy tứ giác AODE là hình vuông.
Chứng minh tương tự, ta được: tứ giác BOCF là hình vuông.
b) Ta có E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
Suy ra OE ⊥ AD và OF ⊥ BC.
Mà AD // BC (ABCD là hình vuông).
Do đó OE ⊥ BC.
Mà OF ⊥ BC (chứng minh trên).
Vì vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Xét ∆ECF và ∆FDE, có:
EF là cạnh chung;
FC = DE (OC = OD);
\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \).
Do đó ∆ECF = ∆FDE (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {FEC} = \widehat {DFE}\) (cặp góc tương ứng).
Vì vậy tam giác EIF cân tại I.
Mà O là trung điểm của EF (OE = AD; OF = BC và AD = BC).
Suy ra OI là vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác EIF.
Do đó OI ⊥ EF (1)
Ta có EF ⊥ AD (chứng minh trên) và AD ⊥ BC (ABCD là hình vuông).
Suy ra EF // CD (2)
Từ (1), (2), ta thu được OI ⊥ CD.
c) Ta có AODE là hình vuông (câu a).
Suy ra SAOD = SAED (tính chất hình vuông) (3)
Chứng minh tương tự, ta được: SBFC = SBOC (4)
Xét ∆AOD và ∆AOB, có:
AB = AD (ABCD là hình vuông);
AO là cạnh chung;
OB = OD (O là trung điểm BD).
Do đó ∆AOD = ∆AOB (c.c.c).
Suy ra SAOD = SAOB (5)
Chứng minh tương tự, ta được SDOC = SBOC và SAOB = SBOC (6)
Từ (3), (4), (5), (6), suy ra SAOD = SAED = SBFC = SBOC = SAOB = SDOC.
Theo đề ta có SABFCDE = 6.
Suy ra 6SABO = 6.
Do đó SABO = 1.
Vì vậy SABCD = SABO + SAOD + SDOC + SBOC = 4SABO = 4.
Suy ra AB2 = 4.
Vậy AD = CD = BC = AB = 2.
d) Gọi M là giao điểm của OI và AB; N là giao điểm của IM và AK.
Ta có OE = OF (O là trung điểm của EF).
Suy ra 2OT = 2OH.
Vì vậy OT = OH.
Vì OI ⊥ CD và CD // AB nên OI ⊥ AB hay OM ⊥ AB.
Mà O là trung điểm của HT (OT = OH).
Suy ra M là trung điểm của AB.
Tam giác ABK, có: MA = MB (M là trung điểm của AB) và MN // BK (cùng vuông góc với AB).
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABK.
Suy ra N là trung điểm AK.
Vì vậy IN là đường trung tuyến của tam giác AIK.
Mà G là trọng tâm của tam giác AIK.
Khi đó G ∈ IN hay G ∈ IM.
Mà I, M cố định.
Vậy điểm G thuộc một đường thẳng cố định IM khi K di chuyển trên cạnh BC.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.
c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD.
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) và \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G, G’ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD. Khi đó \(\overrightarrow {GG'} \) bằng:
Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của \[\widehat {QMN}\].
Cho hình thoi ABCD, có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, CD.
a) Nêu nhận xét về quan hệ bằng nhau của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ADB}\). Vì sao?
b) Tứ giác AMNC là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tứ giác OMDN là hình thoi.
d) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng CD. Tính số đo \(\widehat {AED}\), biết \(\widehat {BAD} = 130^\circ \).
Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) Chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 120^\circ \) và AB = a. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \).
Trong các số thập phân 86,42; 86,422; 686,42; 86,642. Số thập phân lớn nhất là
Cho \(\cot a = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức sin2a.cosa + cosa.
Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọn bất kì hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là
Một lớp học có 30 học sinh gồm cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nữ và 1 nam là \(\frac{{52}}{{145}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
