Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp.
b) OA.OB = OH.OM = R2.
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Giải bởi Vietjack
a) Do ME, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ EF ⊥ OM.
Tứ giác ABHM có \(\widehat {BHM} = \widehat {MAB} = 90^\circ \) nên tứ giác ABHM là tứ giác nội tiếp đường tròn có bán kính BM.
b) Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta OAM\) có:
\(\widehat O\) chung
\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)
Do đó ∆OHB ᔕ ∆OAM (g.g)
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{AM}}\) hay OH.OM = OA.OB (1)
Xét \(\Delta OHE\) và \(\Delta OEM\) có:
\(\widehat O\) chung
\(\widehat {OHE} = \widehat {OEM} = 90^\circ \)
Do đó ∆OHE ᔕ ∆OEM (g.g)
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OM}}\) hay OH.OM = OE2 = R2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = R2.
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.
Do FI = EI ⇒ \[\Delta EFI\] cân tại I ⇒ \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\)
⇒ IF là tia phân giác của góc \(\widehat {MFE}\)
mà MI là tia phân giác của góc \(\widehat {EMF}\)
Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định.
Vậy tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Ta có: \({S_{HBO}} = \frac{1}{2}HO.HB\)
Ta có ∆OHB ᔕ ∆OAM (cmt) suy ra \(\frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{OM}}\)
Hay HB.OM = AM.OB (3)
Mà OH.OM = R2 (4)
Nhân (3) và (4) theo vế với vế, ta được:
OH.HB.OM2 = R2.AM.OB = \({R^2}.AM.\frac{{{R^2}}}{{OA}}\)
⇒ \(OH.HB = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\)
Áp dụng BDT Cô – si ta có: \(O{A^2} + A{M^2} \ge 2.OA.AM\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OA = AM
⇒ \(OH.HB \le \frac{{{R^4}}}{{OA.2.OA.OM}} = \frac{{{R^4}}}{{2O{A^2}}}\)
⇒ \({S_{\max }} = \frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\) ⇔ OA = AM.
Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và đường thẳng BQ cắt AI tại H.
a) Tứ giác AMBQ là hình gì?
b) Chứng minh CH vuông góc AB.
c) Chứng minh tam giác PIQ cân.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC (E ∈ AB; F ∈ AC).
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của EF và AH, M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm H; M; F thẳng hàng.
c) Chứng minh \(OM = \frac{1}{2}AH.\)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta AMB = \Delta EMC\).
b) AC ⊥ CE.
c) BC = 2AM.
Cho a là góc tù và \(\sin a = \frac{4}{5}\). Tính A = 2sina – cosa.
Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4},\) N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?
Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh:
a) BC // DE.
b) AM = AN.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).
b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.
c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M, N là các điểm sao cho \(3\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BC} ,5\overrightarrow {AN} = 4\overrightarrow {AC} .\)
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} .\)
b) Chứng minh AM vuông góc với BN.
Cho đa thức bậc 2 có dạng P(x) = ax2 + bx + c biết rằng P(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau: P(0) = −2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6. Chứng minh rằng a + b + c = 0 và xác định đa thức P(x).
Cho △ABC nhọn các đường cao AD và BE cắt tại H. Gọi M là trung điểm BC. P đối xứng với H qua BC, Q đối xứng với H qua M.
a) PQ // BC. Tứ giác DMQP là hình gì?
b) Chứng minh rằng: HCQB là hình bình hành.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm của BD và d. Tiếp tuyến tại B cắt ED tại K. Chứng minh BK = EF.
Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 40m, chiều rộng bằng \(\frac{1}{2}\) chiều dài, trong đó diện tích đất làm nhà chiếm 30%. Tính:
a) Diện tích của mảnh đất đó.
b) Diện tích đất làm nhà là bao nhiêu mét vuông?
Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(1; −1) và đi qua điểm A(2; 0)
