Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm D sao cho AD > BD, D khác A và B. Kẻ OH vuông góc với AD tại H, tia OH cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại C.
a) Chứng minh H là trung điểm của AD và OH.OC = R².
b) Gọi E là giao điểm của BC và đưởng tròn (O). Chứng minh bốn điểm A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bởi Vietjack
a) Ta có OA = OD = R
⇒ ΔAOD cân tại O
Vì OH ⊥ AD tại H (gt)
⇒ OH vừa là đường cao, trung tuyến và phân giác của ΔAOD
⇒ H là trung điểm AD
Áp dụng hệ thức lượng trong ΔACO vuông tại A có AH ⊥ OC
⇒ OH.OC = OA2 = R2
Vậy H là trung điểm AD và OH.OC = R2
b) ΔEAB nội tiếp (O;R) có AB là đường kính
⇒ ΔEAB vuông tại E
⇒ AE ⊥ BC tại E
⇒ ΔACE vuông tại E
Gọi I là trung điểm AC
⇒ EI là trung tuyến ΔACE
⇒ EI = AI = CI = \(\frac{1}{2}\)AC
HI là trung tuyến ΔACH vuông tại H
⇒ HI = \(\frac{1}{2}\)AC
⇒ AI = HI = EI = CI = \(\frac{1}{2}\)AC
⇒ A; H; E; C cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AC
Vì OH là phân giác của ΔAOD (câu a)
⇒ \(\widehat {DOC} = \widehat {AOC}\)
Xét ΔDOC và ΔAOC có:
OC là cạnh chung
\(\widehat {DOC} = \widehat {AOC}\)
OD = OA = R
⇒ ΔDOC = ΔAOC (c–g–c)
⇒ \(\widehat {CDO} = \widehat {CAO}\)= 90°
⇒ CD ⊥ OD
⇒ CD là tiếp tuyến tại D của (O).
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = 4 cm, \(\widehat A\)= 60°, \(\widehat B\)= 45°. Độ dài cạnh BC là?
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho 2MA = 5MB. Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa vectơ \(\overrightarrow {MA} \)và \(\overrightarrow {AB} \).
Giải bất phương trình thì có được nhân chéo hay không? Ví dụ \(\frac{{a + 1 + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}\)> 1 nhân chéo được không?
Tìm GTNN của \(\left| {x - 2022} \right| + \left| {2023 - x} \right|\).
Cho hình chóp S .ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho MA = 2MS, K là trung điểm BC và D là điểm đối xứng của G qua A.
a) Tìm giao điểm H của SK với (MCD).
b) Tính tỉ số \(\frac{{HK}}{{SK}}\).
Tìm x, y biết (x – 1)2022 + \({\left( {\sqrt {y - 2} } \right)^{2023}} = 0\).
Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua M. trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA.
a) Chứng minh HM // ED và HM =\(\frac{1}{2}\)DE.
b) Chứng minh ABDC là hình chữ nhật.
c) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của E lên BD và CD, EP cắt AD tại K. Chứng minh DE = DK.
d) Chứng minh 3 điểm H, P, Q thẳng hàng.
Tính diện tích hình thang có hiệu độ dài của đáy bé và chiều cao bằng 4,5 m, biết \(\frac{2}{3}\) đáy bé bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao, đáy lớn hơn đáy bé 1,2 m.
Hộp thứ nhất có 5 chính phẩm và 3 phế phẩm. Hộp thứ hai có 3 chính phẩm và 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm.
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. M là một điểm bất kì. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\).
B. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + {a^2}\).
C. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + {a^2}\).
D. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\).
Vào tháng 5, giá niêm yết một cái tủ lanh tại một siêu thị điện máy là 10000000 đồng. Đến tháng 6, siêu thị giảm 5% cho mỗi chiếc. Sang tháng 7 siêu thị tiếp tục giảm thêm 10% (so với giá tháng 6). Hỏi giá tháng 7 chênh lệch so với giá niêm yết là bao nhiêu tiền?
Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x cosx và F(0) = \(\frac{1}{3}\). Tìm x?
Cho tam giác ABC vuông tại C. Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ DM vuông góc với AC (M thuộc AC). Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, DE cắt BC tại N.
a) Chứng minh tứ giác CMDN là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh: SABC= 2 SCMDN.
d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ABEC là hình thang cân?
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.
a) Chứng minh: \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\).
b) Tính IA, IC bắt rằng AB = 20 cm, AC = 28 cm, BC = 24 cm.
