Cho đường thẳng d cắt đường tròn (O;R) tại 2 điểm C, D. M là 1 điểm thuộc d và nằm ngoài (O;R) (MC < MD). Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O;R). H là trung điểm của CD. Đường thẳng AB cắt OH tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O; R).
Giải bởi Vietjack
Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của (O)
Nên MA = MB và MO là phân giác \(\widehat {AMB}\)
Suy ra: MO vuông góc AB
Gọi H là trung điểm DC; T là giao điểm AE và OM
Suy ra: OH vuông góc DC. OT vuông góc AB (tính chất)
Xét tam giác OHM và tam giác OTE có:
Chung \(\widehat O\)
\(\widehat {OTE} = \widehat {OHM} = 90^\circ \)
⇒ ∆OTE ∽ ∆OHM (g.g)
⇒ \(\frac{{OH}}{{OT}} = \frac{{OM}}{{OE}}\)
⇒ OH.OE = OM.OT
Tam giác AOM vuông tại A có AT là đường cao nên OA2 = OT.OM
Mà OA = OD nên OD2 = OT.OM = OH.OE
⇒ \(\frac{{OD}}{{OH}} = \frac{{OE}}{{OD}}\)
Xét ∆ODH và ∆OED có:
\(\frac{{OD}}{{OH}} = \frac{{OE}}{{OD}}\)
\(\widehat {DOH}\)chung
⇒ ∆ODH ∽ ∆OED (g.g)
⇒ \(\widehat {ODE} = \widehat {OHD} = 90^\circ \)
⇒ OD vuông góc ED tại D
Vậy ED là tiếp tuyến (O).
Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 m/s về phía Đông. Tính độ lớn và hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên?
Một ca nô chạy trong hồ nước yên lặng có vận tốc tối đa 18 km/h. Nếu ca nô chạy ngang một con sông có dòng chảy theo hướng Bắc – Nam với vận tốc lên tới 5 m/s thì vận tốc tối đa nó có thể đạt được so với bờ sông là bao nhiêu và theo hướng nào?
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A và B) sao cho MA > MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) (D là tiếp điểm)
a) Chứng minh OC ⊥ BD.
b) Chứng minh bốn điểm O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh \(\widehat {CMD} = \widehat {CDA}\).
d) Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.
Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng B qua C. Độ dài đoạn AD.
Cho tam giác ABC, đường cao kẻ từ A ký hiệu là ha. Chứng minh:
ha = 2RsinBsinC.
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ ,BC = a\).
a) Tính AB, AC.
b) Chứng minh \(\cos 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
Các góc nhìn đến đinh núi có chiều cao là TN so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu tại A và B trên mặt biển.
Biết \(\widehat {TAB} = 29,7^\circ ,\widehat {TBN} = 41,2^\circ \) AB = 1500m.
Hỏi chiều cao TN của ngọn núi khoảng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) = \(\sin \left( {2x + \frac{{9\pi }}{2}} \right)\).
Cho một số tự nhiên có 3 chữ số. Biết rằng thêm chữ số 3 vào bên phải số đó thì số đó tăng thêm 2892 đơn vị. Tổng các chữ số của số đó là?
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi.
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
Tìm 1 số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được số lớn hơn số phải tìm 11212 đơn vị.
Cho tam giác ABC có AB = 1, \(\widehat A = 105^\circ ,\widehat B = 60^\circ \). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED song song với AB. Chứng minh: \(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{4}{3}\).
Có 5 người thợ dệt trong 8 giờ được 240 sản phẩm. Hỏi muốn làm được 192 sản phẩm như thế thì 4 người phải làm trong bao lâu? (Mức lao động của mỗi người là như nhau)
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = sinx + \(\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
