(4x – 3)² – 3x(3 – 4x) = 0

⇔ (3 – 4x)² – 3x(3 – 4x) = 0

⇔ (3 – 4x)(3 – 4x – 3x) = 0

⇔ (3 – 4x)(3 – 7x) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3 - 4x = 0\\3 - 7x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\x = \frac{3}{7}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\frac{3}{4};\frac{3}{7}} \right\}.\)

\(\frac{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} - 25} \right)}}{{{x^2} + 7x + 10}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

= (x + 1)(x – 5)

= x² – 4x – 5.

2x² + 5x – 3 = 0

⇔ 2x² – 6x + x – 3 = 0

⇔ 2x(x – 3) + (x – 3) = 0

⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là x = –3 hoặc \(x = \frac{1}{2}.\)

Điều kiện xác định: sinx – cosx ≠ 0

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\)

⇔ \(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

a) Điều kiện: x > 0

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

\(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\)

b) Thay x = 4 vào ta có: \(P = \frac{{\sqrt 4 + 1 + 4}}{{\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 1 + 4}}{2} = \frac{7}{2}\)

c) Khi \(P = \frac{{13}}{3}\) thì \(\frac{{13}}{3} = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\)

⇔ \(3x + 3\sqrt x + 3 = 13\sqrt x \)

⇔ \(3x - 10\sqrt x + 3 = 0\)

⇔ \(3x - 9\sqrt x - \sqrt x + 3 = 0\)

⇔ \(\sqrt x \left( {3\sqrt x - 1} \right) - 3\left( {3\sqrt x - 1} \right) = 0\)

⇔ \(\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {3\sqrt x - 1} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 0\\3\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).

\[\sin 9x + \sqrt 3 \cos 7x = \sin 7x + \sqrt 3 \cos 9x\]

⇔ \[\sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = \sin 7x - \sqrt 3 \cos 7x\]

⇔ \(\sin \left( {9x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {7x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}9x - \frac{\pi }{3} = 7x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\9x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {7x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{8}\end{array} \right.\)

Cho x < 0 ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}k\pi < 0\\\frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{8} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < 0\\k < \frac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_{\max }} = - 1\\{k_{\max }} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \pi \\x = - \frac{\pi }{{48}}\end{array} \right.\)

So sánh hai nghiệm âm trên ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = \frac{{ - \pi }}{{48}}\)

Vậy \({x_0} = \frac{{ - \pi }}{{48}}\).

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn từ một tổ gồm 9 bạn và xếp thành một hàng ngang có \(A_9^5 = 15120\)cách

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 15120

Gọi A là biến cố "Có đúng 3 bạn nam"

Chọn 3 nam trong 5 bạn nam và 2 nữ trong 4 bạn nữ và xếp thành một hàng ngang có 5!.\(C_5^3.C_4^2\) = 7200 cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 7200

Vậy xác suất sao cho trong những cách xếp trên có đúng 3 bạn nam là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{7200}}{{15120}} = \frac{{10}}{{21}}\).

\[tan60^\circ = \sqrt 3 \].

Số tự nhiên có 4 chữ số khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó, thì số đó gấp lên 10 lần và tăng thêm 7 đơn vị

Ta có sơ đồ như hình vẽ

Từ sơ đồ ta thấy 9 phần số cần tìm là:

11212 – 7 = 11205 (đơn vị)

Số phải tìm là:

11205 : 9 = 1245

Đáp số: 1245.

Ta áp dụng quy tắc cộng xác suất khi k biến cố A₁, A₂, …, A_k đôi một xung khắc, xác suất để ít nhất một trong các biến cố A₁, A₂, …, A_k xảy ra là:

P(A­₁ ∪ A­₂ ∪ … ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_k).

Tập xác định D = ℝ , là một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì –x ∈ D

Ta có:

f(x) = \(\sin \left( {2x + \frac{{9\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{2} + 4\pi } \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\)

f(–x) = cos(–2x) = cos2x = f(x)

Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn.

Hàm số có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,;l\pi \left| {k,l \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)tập đối xứng.

Do đó ∀x ∈ D thì –x ∈ D

Ta có f(−x) = tan(−x) + cot(−x) = −tanx – cotx = −(tanx + cotx) = −f(x).

Vậy f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Có 1 cách xếp A chính giữa

B, C ngồi cạnh A; hoán vị có 2! Cách

Coi A, B, C thành 1 nhóm X

2 người còn lại hoán vị có 2! cách xếp.

Hoán vị nhóm X và 2 người còn lại có 3! cách

Xác suất A ngồi chính giữa B và C là: \(\frac{{1.2!.2!.2!.3!}}{{5!}} = \frac{1}{5}\).

Khi các số đo góc tính ra quá lẻ, chúng ta sẽ làm tròn độ, phút, giây tùy từng trường hợp.

Khi số phút vượt 30 độ thì ta +1 độ vào.

Ví dụ: 30 độ 32′ 4′′ thì làm tròn thành 31 độ.

Bấm Shift + sin, hoặc Shift + cos, Shift + tan

Sau đó: Bấm Alpha + )

Ta được hiển thị trên màn hình là: sin^–1(X), cos^–1(X),..

Sau đó bấm CALC nhập giá trị cần tính vào

Khi đó sẽ hiển thị số đo góc bạn cần tìm.

Tập xác định: 2cosx – sinx + 4 ≠ 0

Suy ra: x ∈ ℝ

Khi đó: y(2cosx – sinx + 4) = 2sinx + cosx + 3

⇔ (2y – 1)cosx – (y + 2)sinx = 3 – 4y (*)

Để (*) có nghiệm thì:

(3 – 4y)² ≤ (2y – 1)² + [–(y + 2)]²

⇔ \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)

Từ đó suy ra: y_max = 2; y_min = \(\frac{2}{{11}}\).

\(2{\sin ^2}\frac{x}{2} = \cos 5x + 1\)

⇔ \(2.\frac{{1 - \cos x}}{2} = \cos 5x + 1\)

⇔ 1 – cosx = cos5x + 1

⇔ cos5x + cosx = 0

⇔ 2cos3x cos2x = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos 2x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

5x² – 5xy – 10x + 10y

= 5(x² –xy – 2x + 2y)

= 5[(x² – xy) – (2x – 2y)]

= 5[x(x – y) – 2(x – y)]

= 5(x – y)(x – 2).

a) Với x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y. Ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} }}{{y - x}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\(P = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy} + y} \right)}}{{y - x}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\(P = \left( {\sqrt x + \sqrt y - \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\(P = \left( {\sqrt x + \sqrt y - \frac{{x + \sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\[P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - x - \sqrt {xy} - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}.\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x - \sqrt {xy} + y}}\]

\[P = \frac{{\sqrt {xy} }}{{x - \sqrt {xy} + y}}\].

b) Ta có: x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y thì \(\sqrt {xy} \ge 0\)

\[x - \sqrt {xy} + y = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + \sqrt {xy} \ge 0\]

Vậy A ≥ 0 với x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y.

Giả sử số hạng đầu tiên là a.

Có thể thấy đây là cấp số cộng với công sai d = 2 (vì các số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị)

Tổng 13 số hạng đầu tiên là: 24 . 13 = 312

Ta có: 312 = \(\frac{{13}}{2}\left( {2a + 12.2} \right)\)

Suy ra: a = 12

Số hạng thứ 30 là: u₃₀ = 12 + (30 – 1).2 = 70.

Gọi A là giao điểm của (C) và trục hoành ta có

A thuộc Ox nên y_A = 0

Khi đó: x = –1

Suy ra: A(–1;0)

Thay A lần lượt vào d₁, d₂, d₃, d₄ có:

d₁: –2 ≠ 0 (loại)

d₂: –2 – 2 = –4 ≠ 0 (loại)

d₃: –3 + 3 = 0 (thỏa mãn)

d₄: 1 + 3 = 4 ≠ 0 (loại)

Vậy chỉ có 1 đường thẳng d₃ đi qua giao điểm của (C) và trục hoành.

Khi viết thêm chữ số 3 vào bên phải một số thu được số mới gấp 10 lần số ban đầu và cộng thêm 3 đơn vị. 

Nếu số ban đầu là 1 phần thì số mới là 10 phần cộng thêm 3 đơn vị. 

Hiệu số phần bằng nhau là: 

10 – 1 = 9 (phần) 

Số đã cho là: 

(2892 − 3) : 9 . 1 = 321

Tổng các chữ số của số đã cho là: 3 + 2 + 1 = 6.

A = 1.2.3.4…100 = 100!

Từ 1 đến 100 có :

(100 – 10) : 10 + 1 = 10 (số hạng chia hết cho 10)

(100 – 2) : 2 + 1 = 50 (số hạng chia hết cho 2)

(100 – 5) : 5 + 1 = 20 (số chia hết cho 5)

⇒ Các số chia hết cho 2 không chia hết cho 10 là : 50 – 10  = 40 (số hạng)

⇒ Số chia hết cho 5 chia hết cho 10 là : 20 – 10 = 10 (số hạng)

Vì 10 < 40 ⇒ Tích giữa các số chỉ chia hết cho 2 với số chỉ chia hết cho 5 có 10 chữ số 0

mà có 10 số chia hết cho 10

⇒ A có 20 số 0 tận cùng

mà A chia hết cho B

⇒ B có 20 chữ số 0.

Không gian mẫu n(Ω) = 7⁵

Người thứ nhất có 7 cách chọn toa tàu.

Người thứ hai có 6 cách chọn toa tàu.

Người thứ ba có 5 cách chọn toa tàu.

Người thứ tư có 4 cách chọn toa tàu.

Người thứ năm có 3 cách chọn toa tàu.

Xác suất cần tìm là: \(\frac{{7.6.5.4.3}}{{{7^5}}} = \frac{{360}}{{2401}}\).

\(\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin 2x\)

⇔ \( - \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\sin 2x\)

⇔ \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = - 2\sin 2x\)

⇔ \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = - \sin 2x\)

⇔ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin 2x = \sin \left( { - 2x} \right)\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi + 2x + k2\pi \end{array} \right.\]⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

M = cos²15° + cos²25° + cos²35° + cos²45° + cos²105° + cos²115° + cos²125°

M = (cos²15° + sin²15°) + (cos²35° + sin²35°) + (cos²25° + sin²25°) + cos²45°

M = \(1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

Gọi v₁₃ là vận tốc của ca nô so với bờ sông, v₂₃ là vận tốc của nước so với bờ, v₁₂ là vận tốc của ca nô so với dòng nước.

Đổi v = 18 km/h = 5 m/s

Ca nô sẽ đi theo hướng Đông Nam so với bờ sông với vận tốc tối đa nó có thể đạt được là:

\({v_{13}} = \sqrt {{v_{12}}^2 + {v_{23}}^2} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \left( {m/s} \right)\).

Mỗi người ăn hết số kg lương thực trong 12 ngày là:

768 : 12 = 64 (kg)

Số người sau khi tăng lên gấp 3 của đơn vị là:

12 . 3 = 36 (người)

Số lương thực cần cho 36 người là:

36 . 64 = 2304 (kg)

Số lương thực cần mua thêm là:

2304 – 768 = 1536 (kg)

Đáp số: 1536 kg lương thực.

Số người công nhân hiện có là:

9 + 18 = 27 (người)

27 người đắp được số đoạn đường là:

\(\frac{{27}}{9}.60 = 180\left( m \right)\).

\[\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 1\\my - x = m\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}y = mx - 1\\m\left( {mx - 1} \right) - x = m\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}y = mx - 1\\{m^2}x - m - x = m\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}y = mx - 1\\\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2m\left( * \right)\end{array} \right.\]

Để hệ có nghiệm duy nhất thì (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m² – 1 khác 0

Hay m ≠ ±1.

x là số dương khi:

\(\frac{{3a + 2}}{{ - 1}} > 0\)

Suy ra: 3a + 2 < 0

⇒ 3a < –2

⇒ \(a < \frac{{ - 2}}{3}\)

Điều kiện xác định: \(D\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Suy ra: D đối xứng

\(f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^{2020}}x + 2020}}{{\cos x}}\)

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\sin }^{2020}}\left( { - x} \right) + 2020}}{{\cos \left( { - x} \right)}}\)

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\left( { - \sin x} \right)}^{2020}} + 2020}}{{\cos x}}\)

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\sin }^{2020}}x + 2020}}{{\cos x}}\)

Vậy f(–x) = f(x)

Suy ra: f(x) là hàm chẵn.

Gọi 6 số đó là p, p + d, p + 2d, p + 3d, p + 4d, p + 5d.

p + d, p + 2d là 2 số lẻ ⇒ hiệu  ⋮ 2 (p + d  ≥ 4)

p + d, p + 2d, p + 3d > 3 các số này ⋮̸ 3 nên có 2 số có cùng số dư khi chia 3.

Hiệu của chúng là d hoặc 2d ⋮ 3

⇒ d ⋮ 3

⇒ d ⋮ 6 nên d ≥ 6

p + d, p + 2d, p + 3d, p + 4d, p + 5d  là 5 số, các số này không chia hết 5 nên có 2 số có cùng số dư khi chia 5.

Hiệu của chúng là d, 2d, 3d hoặc 4d ⋮ 5

⇒ d ⋮ 5

⇒ d ⋮ 30

Ta có : d ≥ 30

⇒ 5d ≥ 150 (đpcm)

Vậy hiệu giữa số lớn nhất và số bé nhất không nhỏ hơn 150.

80 – (4.5² – 3.2³)

= 80 – (4.25 – 3.8)

= 80 – (100 – 24)

= 80 – 76

= 4.

a) Ta có: \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \)

Theo định lý sin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

⇒ \[b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{a.\sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sin 75^\circ }}\]

Tương tự ta được \[c = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 75^\circ }}\]

b) Kẻ AH vuông góc BC khi đó BH + HC = BC

\(HC + \frac{{b\sqrt 2 }}{2} + \frac{c}{2} = \frac{{a\sqrt 6 + a\sqrt 2 }}{{4\sin 75^\circ }}\)

\(a = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} + \frac{c}{2} = \frac{{a\sqrt 6 + a\sqrt 2 }}{{4\sin 75^\circ }}\)

\(\sin 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\)

Mà sin²75° + cos²75° = 1

Suy ra: \(\cos 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).

 Đồ thị hàm số y = x − 3 cắt trục hoành Ox

⇒ y = 0

Thay y = 0 vào y = x – 3 ta có:

x – 3 = 0

⇔ x = 3

Vậy đồ thị hàm số y = x − 3 cắt trục hoành Ox tại điểm có tọa độ là (3;0).

Đáp án đúng: D

Ta thấy: ∅ ⸦ A, A ⸦ A, ∅ ⸦ ∅ nên:

A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

∅ ∪ ∅ = ∅

Do đó đáp án A, B, C đều đúng.

A = sinxcosx

2A + 1 = 2sinxcosx + 1

2A + 1 = 2sinxcosx + sin²x + cos²x

2A + 1 = (sinx + cosx)² = m²

A = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).

Ta có: \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}},\sin C = \frac{c}{{2R}}\]

Khi đó: 2RsinBsinC = \[2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}} = \frac{{bc}}{{2R}}\]

Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow \frac{{bc}}{{4R}} = \frac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \frac{{bc}}{{2R}}\)

Vậy : h_a = 2RsinBsinC.

Giả sử \(\sqrt 2 \) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho \(\sqrt 2 = \frac{a}{b}\) với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và –1.

Ta có: \({\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\)(1)

Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.

Thay a = 2c vào (1) ta được: (2c)² = 2b² hay b² = 2c²

Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và –1.

Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Nếu muốn sửa xong quãng đường trong 1 ngày thì cần số người là:

77 . 9 = 693 (người)

Muốn làm xong quảng đường đó trong 7 ngày thì số người là:

693 : 7 = 99 (người)

Cần thêm số người là:

99 – 77 = 22 (người)

Đáp số: 22 người.

sinx + sin2x + sin3x= cosx + cos2x+ cos3x

⇔ 2sin2xcosx + sin2x = 2cos2xcosx + cos2x

⇔ sin2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)

⇔ (2cosx + 1)(sin2x – cos2x) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = k\pi \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Điều kiện xác định: x ≠ –m

Ta có: \(y' = \frac{{{m^2} - 16}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên (0;+∞) khi: \(\left\{ \begin{array}{l} - m \notin \left( {0; + \infty } \right)\\{m^2} - 16 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m \le 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4\)

Vậy m > 4.

Ta có y' = 3x² − 2(m + 1)x − (2m² − 3m + 2)

Xét phương trình y' = 0 có 

Δ' = (m + 1)² + 3(2m² − 3m + 2) = 7(m² – m + 1) > 0, ∀m ∈ ℝ.

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm x₁ < x₂  với mọi m .

Để hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ phương trình y' = 0  có hai nghiệm x₁ < x₂ ≤ 2

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 2} \right) + \left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} < 4\\\frac{{ - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right)}}{3} - 2.\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ - 2 \le m \le \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{3}{2}\).

Gọi quãng đường MN là s, thời gian đi hết quãng đường là t

Thời gian xe đi với vận tốc 20km/h là: \({t_1} = \frac{s}{{2.20}} = \frac{s}{{40}}\)

Thời gian còn lại: \({t_2} = t - {t_1} = t - \frac{s}{{40}}\)

Nửa quãng đường còn lại là:

\(\frac{{t - \frac{s}{{40}}}}{2}\left( {10 + 5} \right) = 7,5t - \frac{{3s}}{{16}} = \frac{s}{2}\)

⇔ 7,5t = 0,6875s

Suy ra: \(s = \frac{{120}}{{11}}t\)

Vận tốc trung bình là: \(\frac{{\frac{{120}}{{11}}t}}{t} = \frac{{120}}{{11}} \approx 10,91km/h\).

1dam² = 1000000 cm².

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ

\(\frac{{21}}{{{x^2} - 4x + 10}} = {x^2} - 4x + 6\)

⇔ (x² – 4x + 6)(x² – 4x + 10) = 21

⇔ (x² – 4x + 6)(x² – 4x + 10) – 21 = 0 (*)

Đặt x² – 4x + 8 = t

Ta thấy t > 0 vì x² – 4x + 8 = (x – 2)² + 2 > 0 với mọi x

 (*) trở thành: (t – 2)(t + 2) – 21 = 0

⇔ t² – 4 – 21 = 0

⇔ t² – 25 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 5\end{array} \right.\)

Chọn t = 5 vì t > 0

Suy ra: x² – 4x + 8 = 5

⇔ x² – 4x + 3 = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 3.

2x² + 2y² + z² + 25 – 6y – 2xy – 8x + 2z(y – x) = 0

⇔ (y – x)² + 2z(y – x) + z² + x² – 8x + 16 + y² – 6x + 9 = 0

⇔ (y – x + z)² + (x – 4)² + (y – 3)² = 0

Ta thấy: (y – x + z)² + (x – 4)² + (y – 3)² luôn ≥ 0 với mọi x, y, z

Nên phương trình bằng 0 khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}y - x + z = 0\\x - 4 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = x - y = 4 - 3 = 1\end{array} \right.\)

Vậy (x; y; z) = (4; 3; 1).

Đáp án đúng: B

Ta có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên sin²A = sin²90° = 1

Mà ta có định lý sin²α + cos²α = 1

Nên: cos²C + sin²C = cos²B + sin²B = sin²A = 1.

Định lí đảo : “Nếu m, n là hai nguyên dương và m² + n² chia hết cho 3 thì cả m và n đều chia hết cho 3”.

Nếu một số không chia hết cho 3 và số kia chia hết cho 3 thì rõ ràng tổng bình phương hai số đó không chia hết cho 3. Giả sử m và n đều không chia hết cho 3. Nếu m = 3k + 1 hoặc 3k + 2 ta đều có m² chia 3 dư 1 thành thử  m² + n² chia 3 dư 2.

Vậy nếu m² + n² chia hết cho 3 thì chỉ có thể xảy ra khả năng cả m và n đều chia hết cho 3.
Vậy: Điều kiện cần và đủ để m² + n² chia hết cho 3 (m, n ∈ ℕ) là cả m và n đều chia hết cho 3.

\(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

⇔ \(3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

⇔ \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos3x – sin3x = 1

⇔ \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 3x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 3x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

⇔ \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

\(\tan 29,7^\circ = \frac{{TN}}{{AN}} \Rightarrow {\rm A}{\rm N} = \frac{{TN}}{{\tan 29,7^\circ }}\)

\(\tan 41,2^\circ = \frac{{TN}}{{BN}} \Rightarrow B{\rm N} = \frac{{TN}}{{\tan 41,2^\circ }}\)

AN – BN = \(\frac{{TN}}{{\tan 29,7^\circ }} - \frac{{TN}}{{\tan 41,2^\circ }} = TN\left( {\frac{1}{{\tan 29,7^\circ }} - \frac{1}{{\tan 41,2^\circ }}} \right)\)

AB = TN.0,61

⇔ 1500 = TN.0,61

⇔ TN = 2455,4 (m).

5 người thợ làm trong 1 giờ được số sản phẩm là:

240 : 8 = 30 (sản phẩm)

1 người thợ làm trong 1 giờ được số sản phẩm là:

30 : 5 = 6 (sản phẩm)

4 người thợ làm trong 1 giờ được số sản phẩm là:

6 . 4 = 24 (sản phẩm)

Để làm được 192 sản phẩm như thế, 4 người cần làm số giờ là:

192 : 24 = 8 (giờ).

Điều kiện: 2x – 3 ≥ 0

Hay x ≥ \(\frac{3}{2}\).

y = f(x² + 2x)

y' = (2x + 2)f'(x² + 2x)

Xét y' = 0 ta có: (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}2x + 2 = 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x = - 2\\{x^2} + 2x = 1\\{x^2} + 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = - 3\\x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên (–3; –1) và (1; +∞)

Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường thứ nhất là:

\({t_1} = \frac{{{S_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{3000}}{2} = 1500\left( s \right)\)

Vận tốc trung bình của người đi bộ trên cả hai đoạn đường là:

\({v_{tb}} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \frac{{3000 + 1950}}{{1500 + 1800}} = 1,5\left( {m/s} \right)\).

y = 4cos²2x – 4cosx + 2

= (2cosx – 1)² + 1

Do –1 ≤ cosx ≤ 1 với mọi x nên – 3 ≤ 2cosx – 1 ≤ 1

⇒ 0 ≤ (2cosx – 1)² ≤ 9

1 ≤ (2cosx – 1)² + 1 ≤ 10

Hay 1 ≤ y ≤ 10.

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 1 khi 2cosx – 1 = 0 hay cosx = \(\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

Giá trị lớn nhất của y là 10 khi 2cosx – 1 = – 3 hay cosx = –1 tức \(x = \pi + k2\pi \) (k ∈ ℤ).

Ta có: –1 ≤ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)≤ 1

Suy ra: –2 ≤ \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)≤ 2

1 ≤ \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 3\) ≤ 5

Hay 1 ≤ y ≤ 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất y = 1 khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = - 1\)

⇔ \(x - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) hay \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giá trị lớn nhất y = 5 khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 1\)

⇔ \(x - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) hay \(x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

y = (sinx – 2cosx)(2sinx + cosx) – 1

= 2sin²x + sinx.cosx – 4sinx.cosx – 2cos²x – 1

= –2(cos²x – sin²x) – 3sinx.cosx – 1

= –2cos2x – \(\frac{3}{2}\sin 2x - 1\)

Suy ra: y + 1 = –2cos2x – \(\frac{3}{2}\sin 2x\)

Điều kiện xác định có nghiệm: (y + 1)² ≤ (–2)² + \({\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2}\)

(y + 1)² ≤ 4 + \(\frac{9}{4} = \frac{{25}}{4}\)

Suy ra: \(\frac{{ - 5}}{2} \le y + 1 \le \frac{5}{2}\)

⇒ \(\frac{{ - 7}}{2} \le y \le \frac{3}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \(\frac{{ - 7}}{2};\)giá trị lớn nhất là \(\frac{3}{2}.\) \[\]

y = sinx + \(\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

= sinx – \(\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 với mọi x

Nên –1 ≤ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất của y = 1 khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của y = – 1 khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}} \right\},k \in \mathbb{Z}\].

Đáp án đúng: D

Xét hàm số: y = f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1

f’(x) = 3x² – 6x – 9

Ta có: f(x) = \(\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} \right)f'\left( x \right) - 8x - 2\)

Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(x_A) = f’(x_B) = 0

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_A} = f\left( {{x_A}} \right) = - 8{x_A} - 2\\{y_B} = f\left( {{x_B}} \right) = - 8{x_B} - 2\end{array} \right.\)

Do đó phương trình đường thẳng AB là y = –8x – 2

Khi đó ta có N(1;–10) thuộc đường thẳng AB.

sin⁴x + \({\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \({\left( {\cos x.\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \sin x.\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^4} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left[ {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}} \right]^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {1 - 2\sin x\cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + sin²xcos²x – sinxcosx = 0

⇔ sinx(sin³x + sinxcos²x – cosx) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\left( 1 \right)\\{\sin ^3}x + \sin x{\cos ^2}x - \cos x = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): x = kπ

(2): sinx(sin² + cos²x) – cosx = 0

⇔ sinx – cosx = 0

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

4(sin⁴x + cos⁴x) + \(\sqrt 3 \sin 4x = 2\)

⇔ 4[(sin²x + cos²x) – 2.sin²x.cos²x + \(\sqrt 3 \sin 4x = 2\)

⇔ \(4\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) + \sqrt 3 \sin 4x = 2\)

⇔ \(4\left[ {1 - \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 4x} \right)} \right] + \sqrt 3 \sin 4x = 2\)

⇔ \(4.\frac{3}{4} + 4.\frac{1}{4}.\cos 4x + \sqrt 3 \sin 4x = 2\)

⇔ cos4x + \(\sqrt 3 \sin 4x = - 1\)

⇔ \(\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4x = \frac{{ - 1}}{2}\)

⇔ \(\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\cos 4x + \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\sin 4x = \frac{{ - 1}}{2}\)

⇔ \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{6} = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{6} = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì P² > P nên P² – P > 0 hay P(P – 1) > 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P > 0\\P > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P < 0\\P < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P > 1\\P < 0\end{array} \right.\]

Với P >1 thì \[\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 1\]

⇔ \[\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\]

⇔ \[\frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\]

⇔ \[\frac{2}{{\sqrt x - 1}} > 0\]

Mà 2 > 0 nên \[\sqrt x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\]

Với P < 0 thì \[\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} < 0\]

Mà \[\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1\]

Kết hợp điều kiện xác định x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 1

Vậy để P² > P khi \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\0 \le x < 1\end{array} \right.\).

2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x

⇔ 2cosx.cos2x = 2cos²x + 4cos³x – 3cosx

⇔ cosx[2(2cos²x – 1) – 2cosx – 4cos²x + 3] = 0

⇔ cosx(–2cosx + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\ - 2\cos x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\)

Hay: \(6 = \frac{1}{2}.4.AC.\sin 30^\circ \)

Suy ra: AC = 6 (cm).

Hàm số xác định trên ℝ.

⇔ 5 – msinx − (m + 1)cosx ≥ 0 ∀x ∈ ℝ

⇔ m.sinx ‒ (m + 1)cosx ≤ 5 ∀ ∈ ℝ

⇔ m² + (m + 1)² ≤ 25

⇔ m² + m ‒ 12 ≤ 0

⇔ m ∈ [−4;3]

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Có 13 số nguyên: {12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48}.

Anh hơn em số tuổi là:

10 – 4 = 6 (tuổi)

Vì mỗi năm anh tăng 1 tuổi thì em cũng tăng 1 tuổi, nên hiệu số tuổi của hai anh em luôn không đổi. Vậy khi tuổi anh gấp đôi số tuổi của em thì anh vẫn hơn em 6 tuổi.

Số tuổi của em khi tuổi anh bằng hai lần tuổi em là:

6 : (2 – 1) = 6 (tuổi)

Sau số năm nữa tuổi anh gấp 2 lần tuổi em là:

6 – 4 = 2 (năm)

Đáp số: 2 năm.

sin³x + cos³x = 1 – \(\frac{1}{2}\sin 2x\)

⇔ (sinx + cosx)(sin²x – sinxcosx + cos²x) = 1 – \(\frac{1}{2}\sin 2x\)

⇔ (sinx + cosx)(1 – sinxcosx) = 1 – \(\frac{1}{2}\sin 2x\)

⇔ (sinx + cosx)\(\left( {1 - \frac{1}{2}\sin 2x} \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\)

⇔ \(\left( {1 - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x - 1} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2 > 1\left( L \right)\\\sin x + \cos x - 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ sinx + cosx = 1

⇔ \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

⇔ \(x - \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Quan hệ tập con:

B ⊂ A (Tam giác đều là tam giác cân có 1 góc 60°)

D ⊂ A(Tam giác vuông cân là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 90°)

D ⊂ C (Tam giác vuông cân là tam giác vuông có 2 góc nhọn bằng 45°).

y = sin²x – cos²x + 2sinxcosx + 5

= sin2x – cos2x + 5

= \(\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5\)

Ta có: –1 ≤ \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\) ≤ 1

⇒ \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

⇒ \(5 - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5 \le 5 + \sqrt 2 \)

Hay \(5 - \sqrt 2 \le y \le 5 + \sqrt 2 \)

Vậy max y = \(5 + \sqrt 2 \) khi \(2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Min y = \(5 - \sqrt 2 \)khi \(2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

y = –sin²x – cosx + 2

= 1 – sin²x – cosx + 1

= cos²x – cosx + 1

= \({\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì –1 ≤ cosx ≤ 1

Nên: \(\frac{{ - 3}}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\frac{9}{4} \ge {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge \frac{1}{4}\)

⇔ \(3 \ge {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 1\)

Vậy max y = 3 khi cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

Min y = 1 khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).

[3(x – y)⁵ – 2(x – y)⁴ + 3(x – y)²] : 5(x – y)²

= 3(x – y)⁵ : 5(x – y)² – 2(x – y)⁴ : 5(x – y)² + 3(x – y)² : 5(x – y)²

= \(\frac{3}{5}{\left( {x - y} \right)^3} - \frac{2}{5}{\left( {x - y} \right)^2} + \frac{3}{5}\).

Người ta cắt được số mảnh vải nhỏ là:

35 : 1,25 = 28 (mảnh vải)

Đáp số: 28 mảnh vải.

\(\frac{{2 - 5\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} = \frac{{ - 5\left( {\sqrt a + 3} \right) + 15 + 2}}{{\sqrt a + 3}} = \frac{{ - 5\left( {\sqrt a + 3} \right) + 17}}{{\sqrt a + 3}} = - 5 + \frac{{17}}{{\sqrt a + 3}}\)

Vì \(\sqrt a \ge 0 \Rightarrow \sqrt a + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{{17}}{{\sqrt a + 3}} \le \frac{{17}}{3} \Rightarrow - 5 + \frac{{17}}{{\sqrt a + 3}} \le - 5 + \frac{{17}}{3} = \frac{2}{3}\)

Hay \(M < \frac{2}{3}\)

Suy ra: \(\sqrt M < M\).

800 : 125 = 6,4

Ta có: (a + b)² = 5² = 25

a² + b² + 2ab = 25

a² + b² = 25 – 2ab

a² + b² = 25 – 2.2

a² + b² = 21.

Vậy a² + b² = 21.

Gọi số câu trả lời bạn Thanh trả lời đúng là: a (a ∈ ℕ^*; a ≤ 30)

Số câu trả lời sai (hoặc không trả lời) là: 30 − a (câu)

Mỗi câu đúng được cộng 5 điểm và mỗi câu sai bị trừ 2 điểm nên tổng số điểm của Thanh là:

5.a − 2.(30 − a) = 101

⇔ 5a – 60 + 2a = 101

⇔ 7a = 161

⇔ a = 23

Vậy Thanh trả lời đúng 23 câu và trả lời sai 7 câu.

a) M, N, P là trung điểm AB, AC, BC

Nên: M(3;3), \(N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),P\left( {\frac{7}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

b) A,B,C là trung điểm các cạnh MN, NP,MP

Giả sử M(x_M;y_M); N(x_N;y_N); P(x_P;y_P)

Ta có: x_M + x_N = 2.x_A = 0

x_N + x_P = 2.x_B = 12

x_M + x_P = 2.x_C = 2

Suy ra: x_M = –5; x_N = 5; x_P = 7.

Lại có:

 y_M + y_N = 2.y_A = 4

 y_M + y_P = 2.y_C = –2

y_N + y_P = 2.y_B = 8

Suy ra: y_M = –3; y_N = 7; y_P = 1.

Vậy M(–5; –3), N(5; 7), P(7; 1).

u₄ = u­₁.q³ = 6.2³ = 48.

a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \)

⇔ \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \]

⇔ \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \]

⇔ \[\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra: M trùng với C

b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} \)

Vậy M là đỉnh còn lại của hình bình hành ABCM.

Để tìm đc viên bi sắt ta sẽ cân. Số cân tối thiểu để tìm viên bi sắt là 3 lần cân

Lần cân thứ nhất : ta chia mỗi bên cân là 4 viên

Bên nào nặng hơn ta cân tiếp

Lần cân thứ hai : ta chia mỗi bên cân là 2 viên

Bên nào nạng hơn ta cân tiếp

Lần thứ ba : ta chia mỗi bên cân nặng hơn

Bên nào nặng hơn là bi sắt.

sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

Suy ra: \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của sinx + cos x là \(\sqrt 2 \)

Dấu “=” khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

⇔ \(x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

TH1: An và Bình không có mặt trong tổ công tác:

Chọn 6 bạn trong 12 bạn (14 người loại An và Bình)

⇒ có \(C_{12}^6\) cách

TH2: An có trong tổ công tác, Bình không có trong tổ công tác:

Chọn An có 1 cách

Chọn 5 bạn trong 12 người còn lại

⇒ có \(C_{12}^5\) cách

TH3: Bình có trong tổ công tác, An không có trong tổ công tác có \(C_{12}^5\) cách

Trong 1 tổ 6 người có 6 cách chọn ra 1 tổ trưởng

Như vậy có tất cả số cách là: \(\left( {C_{12}^6 + C_{12}^5 + C_{12}^5} \right).6 = 15048\) cách.

Tổng số tiền anh cần trả nếu không có giảm giá là:

2 . 340 + 2 . 360 + 600 = 2000 (nghìn đồng)

Tổng số tiền anh cần trả nếu chỉ có giảm giá 10% là:

2000 . (100% − 10%) = 1800 (nghìn đồng)

Tổng số tiền anh cần trả nếu có thêm giảm giá 5% là:

1800 . (100% − 5%) = 1710 (nghìn đồng).

Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 5⁵ = 3125.

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất 1 toa có nhiều hơn 2 khách lên”.

Có 4 trường hợp:

TH1: Một toa có 3 khách lên, 1 toa có 2 khách lên, 3 toa còn lại không có khách lên

– Chọn 1 toa có 3 khách lên: có \(C_5^1\) cách;

– Chọn 3 khách lên toa vừa chọn: có \(C_5^3\) cách;

– Chọn 1 toa cho 2 khách còn lại: có \(C_4^1\) cách;

Trường hợp này có: \(C_5^1.C_5^3.C_4^1\)= 200 cách.

TH2:1 toa có 3 khách lên, 2 toa có 1 khách, 2 toa còn lại không có khách lên

– Chọn 1 toa có 3 khách lên: có \(C_5^1\) cách;

– Chọn 3 khách lên toa vừa chọn: có \(C_5^3\) cách;

– Chọn 2 toa cho 2 khách còn lại: có \(A_4^2\) cách;

Trường hợp này có: \(C_5^1.C_5^3.A_4^2 = 600\) cách.

TH3:1 toa có 4 khách lên, 1 toa có 1 khách, 3 toa còn lại không có khách lên

– Chọn 1 toa có 4 khách lên: có \(C_5^1\) cách;

– Chọn 4 khách lên toa vừa chọn: có \(C_5^4\) cách;

– Chọn 1 toa cho 1 khách còn lại: có \(C_4^1\) cách;

Trường hợp này có: \(C_5^1.C_5^4.C_4^1\)=100 cách.

TH4:1 toa có 5 khách lên, 4 toa còn lại không có khách lên

Trường hợp này có: \(C_5^1\)= 5 cách.

Số phần tử của biến cố A: n(A) = 200 + 600 + 100 + 5 = 905.

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) \( = \frac{{905}}{{3125}} = \frac{{181}}{{625}}.\)

Gọi x(m) là chiều rộng, y(m) là chiều rộng.

Theo đề ra: ab = 15

Tăng chiều dài 2 lần, chiều rộng 3 lần thì diện tích mới bằng:

3x.2y = 6xy = 6.15 = 90 (m²).

Vận tốc thuyền khi xuôi dòng là:

24 : 1,5 = 16 (km/giờ)

Vận tốc thuyền khi ngược dòng là:

24 : 2,4 = 10(km/giờ)

Vận tốc cụm bèo khi trôi là:

(16 − 10) : 2 = 3 (km/giờ)

Thời gian cụm bèo trôi là:

24 : 3 = 8 (giờ).

Ta có: \(\frac{1}{{A_n^2}} = \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n - 1}}\)

Suy ra: \(\frac{1}{{A_2^2}} + \frac{1}{{A_2^2}} + ... + \frac{1}{{A_n^2}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = \frac{8}{9}\)

⇒ \(1 - \frac{1}{n} = \frac{8}{9}\)

⇒ n = 9.

Lại có: \({\left( {x - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^k}.{{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x^2}}}} \right)}^{n - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^{3k - 2n}}.{{\left( { - 2} \right)}^{n - k}}} \)

Để có số hạng x³ thì 3k – 2n = 3

Suy ra: 3k – 2.9 = 3

Hay k = 7

Vậy số hạng chứa x³ là: \(C_9^7.{\left( { - 2} \right)^2}.{x^3} = 144{x^3}\).

x² – 5x + 5y – y²

= (x – y)(x + y) – 5(x – y)

= (x – y)(x + y – 5).

–72. 17 + 72.31 – 36.228

= –72. 17 + 72.31 – 36.2.114

= –72. 17 + 72.31 – 72.114

= 72(–17 + 31 – 114)

= 72. (–100)

= –7200.

11 + (– 13) + 15 + (– 17) + ...... + 59 + (–61)

= (–2) + (–2) + … + (–2)

= (–2) . 13

= –26.

2x(x – 4)² – (x + 5)(x – 2)(x + 2) + 2(x + 5)² – (x – 1)²

= 2x(x² – 8x + 16) – (x + 5)(x² – 4) + 2(x² + 10x + 25) – (x² – 2x + 1)

= 2x³ – 16x² + 32x – x³ + 4x – 5x² + 20 + 2x² + 20x + 50 – x² + 2x – 1

= x³ – 20x² + 58x + 69.

42 . x = 15,12

⇔ x = 15,12 : 42

⇔ x = 0,36

B mua bò hết tổng số vốn là:

10 + 15 = 25 (triệu)

B bán bò được số tiền là:

12 + 17 = 29 (triệu)

Vậy B lãi số tiền:

29 – 25 = 4 (triệu).

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ne 0\\2 - 2{x^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \Leftrightarrow \pm 1\)

b) \(C = \frac{x}{{2x - 2}} + \frac{{{x^2} + 1}}{{2 - 2{x^2}}}\)

\(C = \frac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 1}}{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}\)

\(C = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(C = \frac{{x - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(C = \frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}}\)

c) Để \(C = \frac{{ - 1}}{2}\) thì \(\frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Suy ra: x + 1 = – 1

Hay x = –1 – 1 = –2

Vậy x = –2 thì \(C = \frac{{ - 1}}{2}\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4 \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = 16\)

⇒ \({\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b = 16\)

⇒ \[2\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 16 = {4^2} + {3^2} - 16 = 9\]

⇒ \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{9}{2}\]

Suy ra: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{3.4}} = \frac{3}{8}\].

a) Cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung

⇔ x = 0

⇔ k = −k

b) Cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành

⇔ x = x'

⇒ (k − 2)x + k = 0

⇔ −(k − 2)x = k

⇔ (k + 3)x = −(k − 2)x

⇔ k + 3 = 2 − k

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\)

Lại có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Hay \(70^\circ + 2\widehat B = 180^\circ \)

Suy ra: \(\widehat B = \left( {180^\circ - 70^\circ } \right):2 = 55^\circ \)

Vậy \(\widehat B = \widehat C = 55^\circ \).

(d):y = ax + b (d) cắt (d₁) tại điểm có hoành độ x₁ = −2

⇒ y₁ = 2.x₁ + 5 = 2.(−2) + 5 = 1

(d) cắt (d2) tại điểm có tung độ:

y₂ = −2 ⇒ −2 = −3.x₂ + 4 ⇒ x₂ = 2

Tọa độ 2 điểm đó thỏa mãn phương trình (d)

Nên: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = - 2a + b\\ - 2 = 2a + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng là (d): \(y = \frac{{ - 3}}{4}x - \frac{1}{2}\).

Tọa độ của 2 điểm đó thỏa mãn phương trình đường thẳng (d)

1kg phải trả số tiền là:

85000 : 5 = 17000 (đồng)

Mua 3,5kg đường phải trả số tiền là:

17000 . 3,5 = 59500 (đồng)

Mua 3,5kg đường cùng loại phải trả ít hơn số tiền là:

85000 – 59500 = 25500 (đồng).

a) Diện tích nền:

4,8 . 15 = 72 (m²)

Số tiền mua gạch:

72 . 16 000 = 1152000 (đồng)

b) Diện tích mỗi viên gạch:

60 .60 = 3600 cm² = 3.6 m²

Số viên gạch cần để lót 72 m² là:

72 : 3.6 = 20 (viên)

b) Vậy giá 1 viên là:

1152000 : 20 = 57600 (đồng /viên).

\[\int {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + {{\sin }^2}x} \right)dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } } \]

\[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]

Lại có: \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{\pi }{2} - 2\cos \frac{\pi }{2} + \frac{1}{4}\sin \pi + C = \frac{{3\pi }}{4}\)

⇔ C = 0

Vậy F(x) = \[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x\].

\(B = {\sin ^2}32^\circ - \frac{{2022.\tan 51^\circ }}{{\cot 39^\circ }} + {\sin ^2}58^\circ \)

\(B = {\sin ^2}32^\circ - \frac{{2022.\tan 51^\circ }}{{\tan 51^\circ }} + {\cos ^2}32^\circ \)

\(B = \left( {{{\sin }^2}32^\circ + {{\cos }^2}32^\circ } \right) - 2022\)

B = 1 – 2022

B = –2021.

5x(x – 3) = 5x² + 7x – 5

⇔ 5x² – 15x – 5x² – 7x + 5 = 0

⇔ –22x = –5

⇔ \(x = \frac{{ - 5}}{{ - 22}} = \frac{5}{{22}}\)

Vậy \(x = \frac{5}{{22}}\).

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 3\end{array} \right.\)

\(A = \frac{{x - 3}}{x} - \frac{x}{{x - 3}} + \frac{9}{{{x^2} - 3x}}\)

\(A = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{9}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{{x^2} - 6x + 9 - {x^2} + 9}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{ - 6x + 18}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{ - 6\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{ - 6}}{x}\)

b) Để A = – 3 thì \(\frac{{ - 6}}{x} = - 3 \Leftrightarrow x = 2\).

x.(2013 – x) = 2013.2011 + 2013

⇔ 2013x – x² – 2013.2011 – 2013 = 0

⇔ – x² + 2013x – 2013.2012 = 0

Xét: ∆ = 2013² – 4.(–1).(–2013.2012) > 0 với mọi x

Nên phương trình vô nghiệm.

(–15–25) : (–5) + (–13).3

= (–40) : (–5) + –39

= –8 + –39

= –47.

– (– 2012 + 789) + (– 211) + (– 1012 – 1789)

= 2012 – 789 – 211 – 1012 – 1789 

= ( 2012 – 1012 ) – 789 – 1789 – 211 

= 1000  – 211 – 789 – 1789 

= 789 – 789 – 1789 

= 0 – 1789

= – 1789.

Đường thẳng AB đi qua A(a; 0); B(0; b) nên có phương trình: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

M(4; 1) thuộc AB nên \(\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\) (1).

Tam giác AOB vuông tại O nên có diện tích là:

S_OAB = \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}ab = 2\). Suy ra: ab = 4. (2).

Từ (1) và (2) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b + a = ab\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\b\left( {4 - 4b} \right) - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - 4{b^2} + 4b - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - \left( {4{b^2} - 4b + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - \left( {4{b^2} - 4b + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - {\left( {2b - 1} \right)^2} - 3 = 0\end{array} \right.\).

Ta thấy –(2b – 1)² – 3 ≤ – 3 với mọi b nên phương trình –(2b – 1)² – 3 = 0 vô nghiệm.

Vậy không có đường thẳng (d) thỏa mãn.