Ta có 9 dm 2 cm 7 mm = 9,27 dm.

Gọi số sản phẩm 3 người thợ thêu làm được lần lượt là x, y, z (x, y, z ∈ ℕ*).

Theo đề, ta có: x + y + z = 115.

Vì số thời gian ba người cùng làm là như nhau nên 4x = 8y = 5z.

$\iff \frac{x}{10}=\frac{y}{5}=\frac{z}{8}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{x}{10}=\frac{y}{5}=\frac{z}{8}=\frac{x+y+z}{10+5+8}=\frac{115}{23}=5$.

Với $\frac{x}{10}=5$ , ta có: x = 10.5 = 50 (nhận).

Với $\frac{y}{5}=5$ , ta có: y = 5.5 = 25 (nhận).

Với $\frac{z}{8}=5$ , ta có: z = 8.5 = 40 (nhận).

Vậy số sản phẩm người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba làm được lần lượt là 50 sản phẩm; 25 sản phẩm và 40 sản phẩm.

a) Ta có tam giác ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  và AB = AC.

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra $MC=\frac{1}{2}AC$  và $NB=\frac{1}{2}AB$ .

Mà AC = AB (chứng minh trên).

Do đó MC = NB.

Xét ∆BNC và ∆CMB, có:

BC là cạnh chung;

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên);

MC = NB (chứng minh trên).

Vậy ∆BNC = ∆CMB (c.g.c).

b) Ta có $\widehat{NCB}=\widehat{MBC}$  (∆BNC = ∆CMB).

Vậy tam giác BKC cân tại K.

c) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy MN // BC.

d) Ta có MN // BC (kết quả câu c).

Suy ra  $\widehat{KNM}=\widehat{KCB}$và $\widehat{KMN}=\widehat{KBC}$  (các cặp góc so le trong).

Mà  $\widehat{KCB}=\widehat{KBC}$ (chứng minh trên).

Do đó $\widehat{KNM}=\widehat{KMN}$ .

Vậy tam giác KMN cân tại K.

e) Tam giác ABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì vậy AK là đường trung tuyến thứ ba của tam giác ABC.

Mà tam giác ABC cân tại A.

Do đó AK cũng là đường cao của tam giác ABC.

Suy ra AK ⊥ BC.

Tam giác BKC cân tại K có AK là đường cao.

Do đó AK cũng là đường phân giác của tam giác BKC.

Vậy AK là phân giác của $\widehat{BKC}$  .

Gọi X là tập hợp các học sinh trong lớp.

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các học sinh đăng kí chơi cầu lông và chơi bóng bàn.

Suy ra n(A) = 30, n(B) = 28.

Như vậy tập hợp học sinh đăng kí chơi cả 2 môn và tập hợp học sinh đăng kí chơi ít nhất 1 môn lần lượt là A ∩ B và A ∪ B.

Ta có n(A ∪ B) = 50 – 10 = 40.

Lại có n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

Suy ra n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) = 30 + 28 – 40 = 18.

Số học sinh chỉ đăng kí chơi 1 môn là: n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 40 – 18 = 22.

Vậy có 18 học sinh đăng kí chơi cả 2 môn và có 22 học sinh chỉ đăng kí chơi 1 môn.

Kí hiệu I ≡ A trong hình học nghĩa là điểm I trùng với điểm A.

Lời giải

Vì diện tích trồng cà rốt gấp 5 lần diện tích trồng hành nên cạnh còn lại của diện tích trồng cà rốt gấp 5 lần cạnh còn lại của phần trồng hành.

Cạnh còn lại của diện tích trồng hành là:

936 : 2 : (5 – 1) × 1 = 117 (m)

Cạnh còn lại của diện tích trồng cà rốt là:

117 × 5 = 585 (m)

Chiều dài của mảnh đất ban đầu là:

117 + 585 = 702 (m)

Chu vi mảnh ruộng ban đầu là:

(702 + 327) × 2 = 2058 (m) = 205,8 (dam)

Vậy chu vi mảnh ruộng ban đầu là 205,8 dam.

Số mét vải cửa hàng bán được trong hai tuần là:

314,78 + 525,22 = 840 (m)

Số ngày trong hai tuần là:

7 × 2 = 14 (ngày)

Trung bình mỗi ngày bán được số mét vải là:

840 : 14 = 60 (m)

Đáp số : 60 m vải.

Ta có (2x + 3y)² + (3x – 2y)² – 2(2x + 3y)(3x – 2y).

= (2x + 3y)² – 2(2x + 3y)(3x – 2y) + (3x – 2y)².

= (2x + 3y – 3x + 2y)².

= (5y – x)².

Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.

Do số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh nên số học sinh khối 6 của trường đó khi chia cho 12, 15, 18 đều dư 9.

Vì vậy nếu ta bỏ bớt 9 học sinh thì khi xếp hàng 12, 15, 18 đều vừa đủ.

Khi đó số học sinh khối 6 của trường đó là bội chung của 12, 15, 18.

Suy ra số học sinh khối 6 của trường đó là bội của BCNN(12, 15, 18).

Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5; 18 = 2.3².

Suy ra BCNN(12, 15, 18) = 2².3².5 = 180.

Do đó số học sinh khối 6 của trường đó là 180k + 9, với k ∈ ℕ*.

Lại có số học sinh khối 6 của trường đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Tức là, 300 < 180k + 9 < 400.

⇔ 291 < 180k < 391.

$\iff \frac{97}{60}<k<\frac{391}{180}$.

Mà k ∈ ℕ* nên k = 2.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 180.2 + 9 = 369 (học sinh).

x% : 3 + 45% = 0,7.

x% : 3 + 0,45 = 0,7.

x% : 3 = 0,7 – 0,45 = 0,25.

x% = 0,25 . 3 = 0,75.

x% = 75%.

x = 75.

Vậy x = 75.

Ta có 2083,25 – (37 – 25,4) : 0,8 + 3,5 × 2,5

= 2083,25 – 11,6 : 0,8 + 8,75

= 2083,25 – 14,5 + 8,75

= 2068,75 + 8,75

= 2077,5.

Gọi n₁ là số bài toán bạn An đã giải trong ngày đầu tiên;

n₂ là số bài toán bạn An đã giải trong hai ngày đầu;

n₃ là số bài toán bạn An đã giải trong ba ngày đầu;

n₄ là số bài toán bạn An đã giải trong bốn ngày đầu;

...

n₇₇ là số bài toán bạn An đã giải trong 77 ngày đầu (11 tuần).

Theo đề, ta có mỗi tuần bạn An giải không quá 13 bài toán.

Tức là, n₇₇ ≤ 11.13 = 143.

Ta xét tập hợp các số tự nhiên M = {n₁; n₂; n₃; ...; n₇₇; n₁ + 20; n₂ + 20; ...; n₇₇ + 20}.

Tập hợp M chứa 154 phần tử và phần tử lớn nhất là n₇₇ + 20 ≤ 143 + 20 = 163.

Theo nguyên lí Dirichlet, trong M có ít nhất hai số bằng nhau.

Mà các số n₁, n₂, n₃, ..., n₇₇ là hoàn toàn khác nhau.

Suy ra tồn tại hai số n_h và n_k sao cho n_h = n_k + 20, với 1 < h ≤ 77.

Do đó n_h – n_k = 20.

Điều này có nghĩa là ngày thứ k + 1 đến ngày thứ h, bạn An phải giải đúng 20 bài toán.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đặt $A=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{2}{2\sqrt{100}}$$<\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$  .

$=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}+\mathrm{...}+\frac{2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)}{\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)}$

$=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{2-1}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3-2}+\mathrm{...}+\frac{2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)}{100-99}$

$=2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\mathrm{...}+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)$

$=2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{100}\right)=2\left(-1+10\right)=18$.

Vậy A < 18 (điều phải chứng minh).

Tam giác AHC vuông tại H có AC là cạnh huyền.

Suy ra AC là cạnh lớn nhất.

Do đó AH < AC   (1)

Tam giác ABC vuông tại A có BC là cạnh huyền.

Suy ra BC là cạnh lớn nhất.

Do đó AC < BC   (2)

Từ (1), (2), ta thu được AH < AC < BC.

Vậy AH < BC.

Đáp án đúng là: D

Chiều rộng khu đất là: 42 : 2 = 21 (m).

Diện tích khu đất là: 42 × 21 = 882 (m²).

Diện tích đất làm vườn hoa là: $\frac{1}{6}\times 882=147$  (m²).

Đáp số: 147 m².

Vậy ta chọn phương án D.

Chiều rộng khu đất hình chữ nhật là: 42 – 16 = 26 (m).

Phải tăng chiều rộng và giảm chiều dài số mét để khu đất đó trở thành hình vuông là: (42 – 26) : 2 = 8 (m).

Cạnh của khu đất hình vuông là: 26 + 8 = 34 (m).

Diện tích khu đất hình vuông đó là: 34 × 34 = 1156 (m²).

Đáp số: 1156 m².

Số cây thông đội đó trồng được trong 1 ngày là: 300 : 2 = 150 (cây thông).

Số cây thông trong 5 ngày đội đó trồng được là: 150 × 5 = 750 (cây thông).

Đáp số: 750 cây thông.

Đổi 2 m = 200 cm.

Một bộ quần áo (1 áo + 1 quần) hết số vải là:

300 + 325 = 625 (cm).

Bốn bộ quần áo hết số vải là:

625 × 4 = 2500 (cm).

Tấm vải ban đầu dài là:

2500 + 200 = 2700 (cm).

Đáp số: 2700 cm.

Trường hợp 1: A, B nói thật ⇒ D nói dối ⇒ C nói thật.

⇒ Loại.

Trường hợp 2:

⦁ C nói thật ⇒ D làm vỡ.

⦁ C nói thật ⇒ B nói dối ⇒ B làm vỡ (mâu thuẫn).

⇒ Loại.

Lời giải

Số bé nhất có hai chữ số là: 10.

Số chia là: 10 – 2 = 8.

Thương của hai số đó là: 72 : 8 = 9.

Đáp số: 9.

Ta có a > 0. Suy ra a³ > 0.

Chứng minh tương tự, ta được b³ > 0, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số a³, b³, c³, ta được: a³ + b³ + c³ ≥ 3abc.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta có a + b + c = 0.

⇔ (a + b + c)² = 0.

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2 + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2(ab + bc + ca) = –2.

⇔ ab + bc + ca = –1.

Ta có ab + bc + ca = –1.

Suy ra (ab + bc + ca)² = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2(ab²c + bc²a + a²bc) = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(b + c + a) = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2abc.0 = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² = 1.

Đặt P = a⁴ + b⁴ + c⁴

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²)

= 2² – 2.1 = 2.

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2.

Chi phí chở 26 kg trên quãng đường dài 74 km là:

120 000 : 39 × 26 = 80 000 (đồng).

Chi phí chở 26 kg trên quãng đường dài 185 km là:

80 000 : 74 × 185 = 200 000 (đồng).

Đáp số: 200 000 đồng.

Để ăn hết số gạo đó trong 1 ngày cần số em là:

120 × 20 = 2400 (em)

Số gạo còn ăn được trong số ngày nữa là:

20 – 4 = 16 (ngày)

Số em đến thêm là:

(2400 : 16) – 120 = 30 (em)

Đáp số: 30 em.

Trong một ngày 38 người sửa được đoạn đường là:

1330 : 5 = 266 (m).

Một người trong một ngày sửa được đoạn đường là:

266 : 38 = 7 (m).

Một người trong hai ngày sửa được đoạn đường là:

7 × 2 = 14 (m).

Sửa đoạn đường dài 1470 m trong 2 ngày thì cần số công nhân là:

1470 : 14 = 105 (công nhân).

Đáp số: 105 công nhân.

Coi 1 người ăn 1 ngày là 1 suất.

Tổng số suất gạo là: 750 × 40 = 30 000 (suất).

Số người ăn trong 25 ngày là: 30 000 : 25 = 1200 (người).

Số người đến thêm là: 1200 – 750 = 450 (người).

Đáp số: 450 người.

Đặt a = 5²⁵. Suy ra a > 0.

Ta có $A=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=\frac{a^5-1}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1$ .

= (a⁴ + 9a² + 1 + 6a³ + 6a + 2a²) – (5a³ + 10a² + 5a).

= (a² + 3a + 1)² – 5a(a² + 2a + 1).

= (a² + 3a + 1)² – 5.5²⁵.(a + 1)².

= (a² + 3a + 1)² – 5²⁶.(a + 1)².

= (a² + 3a + 1)² – [5¹³.(a + 1)]².

= [a² + 3a + 1 – 5¹³.(a + 1)].[ a² + 3a + 1 + 5¹³.(a + 1)].

Lúc này, ta thấy A là tích của hai số nguyên lớn hơn 1.

Vậy A là hợp số.

Theo đề, ta có a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₃ = 2013²⁰¹⁴.

Đặt $S=a_1^3+a_2^3+\mathrm{...}+a_{2013}^3$ .

Suy ra $S-{2013}^{2014}=a_1^3+a_2^3+\mathrm{...}+a_{2013}^3-\left(a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{2013}\right)$  .

                             $=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\mathrm{...}+\left(a_{2013}^3-a_{2013}\right)$    (*)

Ta xét bài toán phụ sau: x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1).

Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3.

Suy ra x³ – x chia hết cho 3.

Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3.

Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3.

Mà 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3).

Vậy S chia hết cho 3 hay  chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

Số người còn lại là:

120 – 80 = 40 (người)

120 người gấp 40 người số lần là:

120 : 40 = 3 (lần)

Số gạo đó đủ cho số người còn lại ăn trong thời gian là:

18 × 3 = 54 (ngày)

Đáp số: 54 ngày.

Ta có a + b + c = 0.

⇔ (a + b + c)² = 0.

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2009 + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2(ab + bc + ca) = –2009.

$\iff ab+bc+ca=-\frac{2009}{2}$.

Ta có $ab+bc+ca=-\frac{2009}{2}$  .

Suy ra ${\left(ab+bc+ca\right)}^2=\frac{{2009}^2}{4}$  .

$\iff a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2\left(a{b}^{2}c+b{c}^{2}a+a^{2}bc\right)=\frac{{2009}^2}{4}$.

$\iff a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2abc\left(b+c+a\right)=\frac{{2009}^2}{4}$.

$\iff a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2abc.0=\frac{{2009}^2}{4}$.

$\iff a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2=\frac{{2009}^2}{4}$.

Ta có A = a⁴ + b⁴ + c⁴

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²)

$={2009}^2-2.\frac{{2009}^2}{4}={2009}^2.\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{4036081}{2}$.

Vậy $A=\frac{4036081}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

3^{x – 1} – 25 = 56

3^{x – 1} = 56 + 25

3^{x – 1} = 81

3^{x – 1} = 3⁴

x – 1 = 4

x = 4 + 1

x = 5.

Ta thấy x = 5 < 6.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰.

Suy ra 3A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹.

Khi đó 3A – A = (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹) – (1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰).

⇒ 2A = (3 – 3) + (3² – 3²) + (3³ – 3³) + ... + (3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰) + 3¹⁰¹ – 1.

⇒ 2A = 3¹⁰¹ – 1.

$\Rightarrow A=\frac{3^{101}-1}{2}$.

Vậy $A=\frac{3^{101}-1}{2}$  .

Ta có S = 1 – 3 + 3² – 3³ + ... + 3⁹⁹ – 3¹⁰⁰.

Suy ra 3S = 3 – 3² + 3³ – 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰ – 3¹⁰¹.

Khi đó 3S + S = (3 – 3² + 3³ – 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰ – 3¹⁰¹) + (1 – 3 + 3² – 3³ + ... + 3⁹⁹ – 3¹⁰⁰).

⇒ 4S = (3 – 3) + (–3² + 3²) + (3³ – 3³) + ... + (3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰) – 3¹⁰¹ + 1.

⇒ 4S = –3¹⁰¹ + 1.

$\Rightarrow S=\frac{-3^{101}+1}{4}$.

Vậy $S=\frac{-3^{101}+1}{4}$  .

a) 5.2² + (x + 3) = 5².

⇒ 5.4 + (x + 3) = 25.

⇒ 20 + (x + 3) = 25.

⇒ x + 3 = 25 – 20.

⇒ x + 3 = 5.

⇒ x = 5 – 3.

⇒ x = 2.

Vậy x = 2.

b) 2³ + (x – 3²) = 5³ – 4³.

⇒ 8 + (x – 9) = 125 – 64.

⇒ 8 + (x – 9) = 61.

⇒ x – 9 = 61 – 8.

⇒ x – 9 = 53.

⇒ x = 53 + 9.

⇒ x = 62.

Vậy x = 62.

c) 4.(x – 5) – 2³ = 2⁴.3.

⇒ 4.(x – 5) – 8 = 16.3.

⇒ 4.(x – 5) – 8 = 48.

⇒ 4.(x – 5) = 48 + 8.

⇒ 4.(x – 5) = 56.

⇒ x – 5 = 56 : 4.

⇒ x – 5 = 14.

⇒ x = 14 + 5.

⇒ x = 19.

Vậy x = 19.

d) 5.(x + 7) – 10 = 2³.5.

⇒ 5.(x + 7) – 10 = 8.5.

⇒ 5.(x + 7) – 10 = 40.

⇒ 5.(x + 7) = 40 + 10.

⇒ 5.(x + 7) = 50.

⇒ x + 7 = 50 : 5.

⇒ x + 7 = 10.

⇒ x = 10 – 7.

⇒ x = 3.

a) 5 . 2² – 18 : 3²

= 5 . 4 – 18 : 9

= 20 – 2

= 18.

b) 17 . 85 + 15 . 17 – 120

= 17 . (85 + 15) – 120

= 17 . 100 – 120

= 1700 – 120

= 1580.

c) 2³ . 17 – 2³ . 14

= 2³ . (17 – 14)

= 8 . 3

= 24.

d) 20 – [30 – (5 – 1)²]

= 20 – (30 – 4²)

= 20 – (30 – 16)

= 20 – 14

= 6.

Anh luôn hơn em số tuổi là: 13 – 3 = 10 (tuổi).

Khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em, ta có sơ đồ sau:

Hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 1 = 2 (phần).

Tuổi của em lúc đó là: 10 : 2 = 5 (tuổi).

Số năm nữa thì tuổi anh sẽ gấp 3 lần tuổi em là: 5 – 3 = 2 (năm).

Đáp số: 2 năm.

Cửa hàng đã bán số phần bao gạo là: $9:45=\frac{9}{45}=\frac{1}{5}$   (bao gạo).

Đáp số: $\frac{1}{5}$  bao gạo.

Ta có A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰.

Suy ra 3A = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹.

Do đó 3A – A = (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹) – (3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰).

Suy ra 2A = (3² – 3²) + (3³ – 3³) + ... + (3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰) + 3¹⁰¹ – 3.

Vì vậy 2A = 3¹⁰¹ – 3.

Theo đề, ta có 2A + 3 = 3ⁿ.

⇒ 3¹⁰¹ – 3 + 3 = 3ⁿ.

⇒ 3¹⁰¹ = 3ⁿ.

⇒ n = 101 (nhận).

Vậy n = 101.

Do đó ta chọn phương án C.

Ta có A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰.

Suy ra 3A = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹.

Do đó 3A – A = (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹) – (3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰).

Suy ra 2A = (3² – 3²) + (3³ – 3³) + ... + (3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰) + 3¹⁰¹ – 3.

Vì vậy 2A = 3¹⁰¹ – 3.

Theo đề, ta có 2A + 3 = 3^{x + 100}.

⇒ 3¹⁰¹ – 3 + 3 = 3^{x + 100}.

⇒ 3¹⁰¹ = 3^{x + 100}.

⇒ x + 100 = 101.

⇒ x = 101 – 100 = 1 (nhận).

Vậy x = 1.

Vì E là điểm đối xứng với D qua AB nên AB là đường trung trực của đoạn DE.

Suy ra AE = AD.

Do đó tam giác AED cân tại A.

Suy ra AB là tia phân giác của $\widehat{DAE}$  .

Vì vậy $\widehat{DAB}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{DAE}$  .

Chứng minh tương tự, ta được AF = AD và $\widehat{DAC}=\widehat{CAF}=\frac{1}{2}\widehat{DAF}$ .

Ta có $\widehat{FAE}=\widehat{FAD}+\widehat{DAE}=2\widehat{CAD}+2\widehat{BAD}$  .

$=2\left(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}\right)=2\widehat{CAB}=2.70°=140°$.

Ta có AF = AE (= AD).

Suy ra tam giác AEF cân tại A.

Do đó $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}$ .

Tam giác AEF, có: $\widehat{FAE}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}=180°$  (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\frac{180°-\widehat{FAE}}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$  .

Vậy $\widehat{FAE}=140°$   và $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=20°$  .

Gọi số tổ là a (a ∈ ℕ*).

Khi đó ta có 195 ⋮ a và 117 ⋮ a và a lớn nhất.

Do đó a là ƯCLN(195, 117).

Ta có 195 = 3.5.13 và 117 = 3².13.

Suy ra ƯCLN(195, 117) = 3.13 = 39.

Do đó a = 39.

Vậy có thể chia nhiều nhất thành 39 tổ, mỗi tổ có 195 : 39 = 5 (nam) và 117 : 39 = 3 (nữ).

Số gạo còn lại trong kho sau khi bán ngày thứ nhất là:

$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$(số gạo trong kho).

Số gạo ngày thứ hai bán được là:

$\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$(số gạo trong kho).

Số gạo còn lại trong kho sau khi bán ngày thứ nhất và ngày thứ hai là:

$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$(số gạo trong kho).

Số gạo ban đầu là:

$300:\frac{1}{2}=600$(kg).

Đáp số: 600 kg.

Đổi: $2\frac{7}{10}$   ha = 27 000 m².

Diện tích hồ nước là:

$\frac{4}{9}\times 27000=12000$ (m²).

Diện tích còn lại là:

27 000 – 12 000 = 15 000 (m²).

Đáp số: 15 000 m².

Số chỗ ngồi của mỗi toa là: 6 . 10 = 60 (chỗ ngồi).

Ta có 875 : 60 = 14 dư 35.

Suy ra cần thêm 1 toa để chở 35 khách tham quan.

Cần ít nhất số toa để chở hết số khách tham quan là: 14 + 1 = 15 (toa).

Đáp số: 15 toa.