Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 80)

  • 10387 lượt thi

  • 45 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Miền nghiệm của bất phương trình: 3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: 

3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3

–x + 3y – 1 > 0

Vì –3 + 3.2 – 1 > 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (3; 2)

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 2:

Trong các mệnh đề mệnh đề nào sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay α ≠ kπ (k ℤ) thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 3:

Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {4 - x} \right) > 0\\x < m - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm khi:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {4 - x} \right) > 0\\x < m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 4\\x < m - 1\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m – 1 ≤ –3 hay m ≤ –2

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi |x| < 8.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có \(|x| < 8 \Leftrightarrow - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in ( - 8;8)\)

+) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x > - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \frac{4}{m}; + \infty } \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{m} \le - 8 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\)

Suy ra \(0 < m \le \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành

\(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi x

Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x < - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{m}} \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{{\;m}} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{2}\)

Suy ra \( - \frac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kết hợp các trường hợp ta được: \[ - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}\]

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 5:

Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy một cái bút?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Chọn 1 bút đỏ có 2 cách

Chọn 1 bút đen có 3 cách

Chọn 1 bút chì có 2 cách

Suy ra có tất cả 2 + 3 + 2 = 7 cách lấy 1 cái bút (quy tắc cộng)

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) bằng:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình bình hành tâm O nên \(\overrightarrow {OC} = - \overleftarrow {OA} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = - \overleftarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 7:

Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Khi tính xác suất của biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”, ta được kết quả:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

Biến cố B: Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh

Xác suất trong trường hợp này là \({P_B} = \frac{5}{8}.\frac{4}{7} = \frac{5}{{14}}\)

Biến cố C: Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh

Xác suất trong trường hợp này là \({P_C} = \frac{3}{8}.\frac{5}{7} = \frac{{15}}{{56}}\)

Ta thấy 2 biến cố B và C là xung khắc nên \({P_A} = {P_B} + {P_C} = \frac{5}{{14}} + \frac{{15}}{{56}} = \frac{5}{8}\)

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; –1); B(2; –1; 3); C(–3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; -1); B(2; -1; 3) (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 4;3;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

Hay A, B, C không thẳng hàng

Gọi D(x; y; z) ta có \(\overrightarrow {DC} \left( { - 3 - x;5 - y;1 - z} \right)\)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = - 3 - x\\ - 3 = 5 - y\\4 = 1 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 8\\z = - 3\end{array} \right.\)

Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 9:

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm trên R. Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f’(x) như hình sau:

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm trên R. Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f’(x)  (ảnh 1)

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) + {x^2}} \right|\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt h(x) = 4f(x) + x2

Ta có: \(h'(x) = 4f(x) + 2x = 4\left[ {f'(x) + \frac{x}{2}} \right]\)

Số nghiệm của phương trình h’(x) = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng \(y = - \frac{x}{2}\)

Vẽ đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng \(y = - \frac{x}{2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm trên R. Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f’(x)  (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có BBT hàm số y = h(x):

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm trên R. Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f’(x)  (ảnh 3)

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số g(x) = |h(x)| như sau:

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm trên R. Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f’(x)  (ảnh 4)

Dựa vào BBT ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên (0; 4)

Vậy đáp án cần chọn là: B.


Câu 10:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {mx - 8} \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{mx > 8}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {mx - 8} \right)\)     (1)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{(x - 1)^2} = {\log _2}(mx - 8)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = mx - 8\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 9 = m\\ \Leftrightarrow x - 2 + \frac{9}{x} = m{\rm{               }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt

Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1

Xét hàm số \(f(x) = x - 2 + \frac{9}{x},x > 1\)\(f'(x) = 1 - \frac{9}{{{x^2}}},f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Bảng biến thiên:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log căn bậc hai 2 (ảnh 1)

Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 \( \Leftrightarrow 4 < m < 8\)

\(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 5;6;7\} \)

Do đó 3 giá trị của m thỏa mãn

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay –90°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Qua phép quay tâm O góc quay –90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d

Phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(x + 3y + m = 0\)

Lấy \(A(0;2) \in d\). Qua phép quay tâm O góc quay –90°, điểm A(0; 2) biến thành điểm \(B(2;0) \in d'\)

Khi đó m = –2

Vậy phương trình đường d’ là x + 3y – 2 = 0

Vậy đáp án cần chọn là: B.


Câu 12:

Trong 2019 điểm phân biệt cho trước, có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) với điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 2019 điểm đã cho?

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Mỗi cách lấy có thứ tự hai điểm trong 2019 điểm đã cho ta xác định được một vectơ. Vì vậy, từ 2019 điểm phân biệt, ta xác định được \[{\rm{A}}_{2019}^2\] vecto khác \(\overrightarrow 0 \)

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 13:

Tìm m để phương trình x2 – 4x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 3).

Xem đáp án

Đặt \(f(x) = {x^2} - 4x + m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(0 < {x_1} < {x_2} < 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{f(0) > 0}\\{f(3) > 0}\\{0 < \frac{S}{2} < 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{4^2} - 4m > 0\\0 + m > 0\\{3^2} - 4.3 + m > 0\\0 < \frac{4}{2} < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - m > 0}\\{m > 0}\\{m - 3 > 0}\\{0 < 2 < 3}\end{array} \Leftrightarrow 3 < m < 4} \right.} \right.\)

Vậy 3 < m < 4.


Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + m - 2} }}\) xác định trên .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định khi x2 − 6x + m – 2 > 0 (x – 3)2 + m – 11 > 0

Hàm số xác định với  x R (x – 3)2 + m – 11 > 0 đúng với mọi x

m – 11 > 0 (vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x)

m > 11

Vậy đáp án cần chọn là: B.


Câu 15:

Cho hình bình hành ABCD. M là điểm bất kì, khi đó:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đáp án A ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {DB} }\\{\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {DB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} \ne \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} \)

Suy ra đáp án A sai

Đáp án B ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} }\\{\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} \ne \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} } \right.\)

Suy ra đáp án B sai

Đáp án C ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right.\)

Suy ra đáp án C đúng

Vậy đáp án cần chọn là: C.


Câu 16:

Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau”

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 10!

Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5! . 5!

Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5! . 5!

Suy ra n(A) = 5! . 5! + 5! . 5! = 28 800

Xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{28800}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}\)

Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 17:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x thuộc (-1; 1) khi và chỉ khi: A. m  (ảnh 1)

Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x (–1; 1) khi và chỉ khi:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(f(x) < {e^x} + m \Leftrightarrow f(x) - {e^x} < m\)

Đặt \(g(x) = f(x) - {e^x}\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x)\end{array}\)

Ta có g’(x) = f’(x) – ex

Trên (–1; 1) ta có: \(f'(x) < 0;{e^x} > 0;\forall x \in R \Rightarrow g'(x) < 0;\forall x \in ( - 1;1)\)

Suy ra g(x) nghịch biến trên (–1; 1)

Do đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x) = g( - 1) = f( - 1) - {e^{ - 1}} = f( - 1) - \frac{1}{e}\)

Suy ra \(m \ge f( - 1) - \frac{1}{e}\)

Vậy đáp án cần chọn là: C.


Câu 18:

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{c{\rm{x}} - 1}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng S = a + b + c bằng:

Cho hàm số y = (ã + b) / (cx - 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng S = a  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{c} = - 1\)

Tiệm cận đứng: \[{\rm{x}} = \frac{1}{c} = 1\]

Từ đây suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Lại có đồ thị cắt trục hoành tại x = 2 nên 2a + b = 0

Hay b = –2a = –2 . (–1) = 2

Ta có S = a + b + c = – 1 + 2 + 1 = 2

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 19:

Cho 4 điểm A(1; –2), B(0; 3), C(–3; 4), D(–1; 8). Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \left( { - 2;10} \right),\overrightarrow {AB} \left( { - 1;5} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = 2\overrightarrow {AB} \)

Suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 20:

Cho tam giác ABC có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có các vectơ đó là \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \)

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 21:

Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau tại I. Tìm thiết diện của tứ diện với (HKM) trong hai trường hợp:

a) I nằm trong đoạn CD.

b) I nằm ngoài đoạn CD.

Xem đáp án

a) I nằm trong đoạn CD

Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC (ảnh 1)

Dễ thấy \((HKM) \equiv (HKI)\) và (HKM) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau:

\(\begin{array}{l}(HKM) \cap (ABC) = HK\\(HKM) \cap (BCD) = KI\\(HKM) \cap (ACD) = IH\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (HKM) là tam giác HKM.

b) I nằm ngoài đoạn CD

Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC (ảnh 2)

+ Bước 1: Giao tuyến có sẵn HK

+ Bước 2: \((HKM) \equiv (HKI)\)

Trong (BCD) gọi giao điểm của KI và BD là E

Trong (ACD) gọi giao điểm của HI và AD là F

+ Bước 3 : Lúc này mặt (HKM) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau:

\(\begin{array}{l}(HKM) \cap (ABC) = HK\\(HKM) \cap (BCD) = KE\\(HKM) \cap (ABD) = EF\\(HKM) \cap (ACD) = FH\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (HKM) là tứ giác HKEF.


Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC, đáy nhỏ AD. Mặt bên (SAD) là tam giác đều, (α) là mặt phẳng đi qua M trên cạnh AB, song song với SA, BC. Mp (α) cắt các cạnh CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC, đáy nhỏ AD (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC\,{\rm{//}}\,(\alpha ),BC \subset (ABCD),BC \subset (SBC)}\\{(\alpha ) \cap (ABCD) = MN}\\{(\alpha ) \cap (SBC) = PQ}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,PQ\quad \)

Suy ra tứ giác MNPQ là hình thang     (1)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha ) \cap (SAB) = MQ}\\{(\alpha )\,{\rm{//}}\,SA,SA \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow SA\,{\rm{//}}\,MQ} \right.\)

Áp dụng định lý Ta – lét ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}};\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DN}}{{DC}}\\ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{DN}}{{DC}} \Rightarrow NP\,{\rm{//}}\,SD\end{array}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MQ\,{\rm{//}}\,SA}\\{MN\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD}\end{array} \Rightarrow \widehat {NMQ} = \widehat {SAD}} \right.{\rm{ }}\)

Mà tam giác SAD đều nên \(\widehat {SA{\rm{D}}} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {NMQ} = 60^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {MNP} = \widehat {SDA} = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP}\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình thang cân

Vậy đáp án cần chọn là: D.


Câu 23:

Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn. Thầy giáo muốn rằng sau khi tặng xong, mỗi một trong 3 thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi thầy có tất cả bao nhiêu cách tặng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số cách lấy bằng số cách chọn ra 6 quyển để bỏ lại. Yêu cầu đặt ra là 6 quyển để lại phải đủ cả 3 môn.

TH1: 1 văn, 2 âm nhạc, 3 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^2 \cdot C_3^3\)

TH2: 1 văn, 3 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^3 \cdot C_3^2\)

TH3: 1 văn, 4 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^4 \cdot C_3^1\)

TH4: 2 văn, 1 âm nhạc, 3 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^1 \cdot C_3^3\)

TH5: 2 văn, 2 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^2 \cdot C_3^2\)

TH6: 2 văn, 3 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^3 \cdot C_3^1\)

TH7: 3 văn, 1 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^2\)

TH8: 3 văn, 2 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^3 \cdot C_4^2 \cdot C_3^1\)

TH9: 4 văn, 1 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^4 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1\)

Lấy 6 quyền sách chia cho 6 bạn: 6! = 720

Theo quy tắc nhân ta được 579 600 cách

Vậy đáp án cần chọn là D.


Câu 24:

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3 ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6!

Gọi A là biến cố : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ"

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ  hai)

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách

Theo quy tắc nhân ta có: 6 . 4 . 2 . 3! = 288 cách

Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:

\(P\left( A \right) = \frac{{288}}{{6!}} = \frac{2}{5}\)

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 25:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)

\( = \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)\( = \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}\left( {1 + \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right).\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{3{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{3\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right) = \frac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{4{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{4\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}}}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right) = \frac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 26:

Một con súc sắc đồng chất được gieo 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có n(Ω) = 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 = 66

Có các trường hợp sau:

+) Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần; 1 lần ra mặt khác 5: Có 5 cách chọn số khác 5

Suy ra số kết quả thuận lợi là \(5.\frac{{6!}}{{5!.1!}} = 30\)

+) Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần có 1 kết quả thuận lợi

+) Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần; 1 lần  ra mặt khác 6: Có 5 cách chọn  số khác 6

Suy ra số kết quả thuận lợi là \(5.\frac{{6!}}{{5!.1!}} = 30\)

+) Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần có 1kết quả thuận lợi

Do đó xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là \(P = \frac{{30 + 1 + 30 + 1}}{{{6^6}}} = \frac{{31}}{{23328}}\)

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 27:

Xem đáp án

Trong 2 + 3 = 5 giờ vòi nước chảy được số phần bể là:

\(\frac{2}{7} + \frac{9}{{14}} = \frac{{13}}{{14}}\) (bể)

trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được là:

\(\frac{{13}}{{14}}:5 = \frac{{13}}{{70}}\) (bể)

Vậy trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được \(\frac{{13}}{{70}}\) bể.


Câu 28:

Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\), x > 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \)

Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 29:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (3; –4). Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy

Nên M1(3; 0) và M2(0; –4)

Suy ra \(\overline {O{M_1}} = 3\)\(\overline {O{M_2}} = - 4\)

Do đó đáp án A, B sai

Ta có \(\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {3;4} \right)\)

Do đó đáp án C sai

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 30:

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{{\rm{x}}^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} .{\left( {3{x^3}} \right)^{5 - k}}.{\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^5 {{\rm{C}}_5^{\rm{k}}} {.3^{5 - {\rm{k}}}}.{( - 2)^{\rm{k}}}{\rm{.}}{{\rm{x}}^{15 - 5{\rm{k}}}}\)

Hệ số của số hạng chứa x10 ứng với 15 – 5k = 10 k = 1

Suy ra hệ số cần tìm là \(C_5^1{.3^4}.\left( { - 2} \right) = - 810\)

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 31:

Cho x là số thực dương, số hạng chứa x trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\) là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}.\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right) + 6{x^2}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} + 4x.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\\ = {x^4} + 4{x^3}.\frac{2}{{\sqrt x }} + 6{x^2}.\frac{4}{x} + 4x.\frac{8}{{x\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\\ = {x^4} + 8{x^2}\sqrt x + 24x + \frac{{32}}{{\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Số hạng chứa x trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\) là 24x

Vậy ta chọn phương án A.


Câu 32:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}}\) tại điểm A(2; 3) là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow y'(2) = \frac{{ - 1}}{{{{(2 - 1)}^2}}} = - 1\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}}\) tại A(2; 3) là:

\(y = - (x - 2) + 3 = - x + 5\)

Vậy đáp án cần chọn là: B.


Câu 33:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1},  liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt là A. 1 (ảnh 1)

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có sô nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điềm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Do đó, dựa vào bàng biến thiên ta thấy, phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 3

Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \{ 1;2\} \)

Do đó có 2 giá trị nguyên của tham số m thòa mãn yêu cầu bài toán

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (α) đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}}\) để (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (alpha) đi qua (ảnh 1)

Ta có (α) ∩ (SCD) = NM nên NM // CD

Do đó (α) là (ABMN)

Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là

\({V_{S.ABMN}} = {V_{ABCDNM}} \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}\)                       (1)

Ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{S \cdot ACD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S \cdot ABCD}}\)

Đặt \(\frac{{SN}}{{SD}} = x\) với \((0 < x < 1)\), khi đó theo Ta – let ta có \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = x\)

Mặt khác \(\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = x\)

Suy ra \({V_{S.ABM}} = \frac{x}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = {x^2}\)

Suy ra \({V_{S.AMN}} = \frac{{{x^2}}}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)

Ta có: \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.AMN}} = \left( {\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right){V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\((0 < x < 1)\) nên \(x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)

Hay \(\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 35:

Cho tanα = 2. Tính giá trị của biểu thức \(G = \frac{{2\sin \alpha + cos\alpha }}{{cos\alpha - 3\sin \alpha }}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = 2 nên cosα ≠ 0

Ta có: \({\rm{G}} = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha + 1}}{{1 - 3\tan \alpha }}\)

Thay tanα = 2 ta được: \({\rm{G}} = \frac{{2.2 + 1}}{{1 - 3.2}} = - \frac{5}{5} = - 1\)

Vậy đáp án cần chọn là: D.


Câu 36:

Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

D sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

C sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 37:

Gieo ba con súc sắc. Xác suất để được nhiều nhất hai mặt 5 là.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 63 = 216

Gọi A là biến cố “Xuất hiện nhiều nhất 2 mặt 5” hay A: “Xuất hiện không quá hai mặt 5”

Khi đó: \(\overline A \) là “Xuất hiện cả ba mặt đều là 5”

Suy ra \(n\left( A \right) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{216}}\)

Xác suất biến cố A là \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{216}} = \frac{{215}}{{216}}\)

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 38:

Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện:\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{m + {{\log }_2}x \ge 0}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\)

\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 8{\log _2}x - 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} = 4m\)

\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 4{\log _2}x + 1 = 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 4\left( {m + {{\log }_2}x} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\log _2}x - 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\\ - 2{\log _2}x + 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \\ - {\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \end{array} \right.\)

Xét phương trình \(lo{g_2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)     (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 1 - m - {\log _2}x = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 1 - m = 0\end{array}\)

Phương trình (1) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4\left( {1 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 5 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 5}}{4}\end{array}\)

Xét phương trình \( - lo{g_2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)       (2)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - lo{g_2}x} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - m = 0\end{array}\)

Phương trình (2) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

ĐểPt (*) có nghiệm thì ít nhất một trong 2 phương trình (1) hoặc (2) phải có nghiệm

Từ đề bài ta suy ra \(\frac{{ - 5}}{4} \le m \le 2019\)

Suy ra có \(\frac{{2019 + 1}}{1} + 1 = 2021\) giátrịnguyên của m thỏa mãn bài toán

Vậy ta chọn đáp án A.


Câu 39:

Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) (c; d). Tính tổng a + b + c + d.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x - 1 > 0}\\{2{x^2} - x - 1 < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\2{x^2} - x - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right.}\\{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < - \frac{1}{2}}\\{1 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4};b = - \frac{1}{2}}\\{c = 1;d = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(a + b + c + d = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} + \frac{{ - 1}}{2} + 1 + \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4} = \frac{{1 - \sqrt {17} - 2 + 4 + 1 + \sqrt {17} }}{4} = 1\)

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 40:

Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Xem đáp án

Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào:

Hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m

Hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên 3 + m = 5 – m m = 1

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.


Câu 41:

Cho tam giác ABC và đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Cặp vectơ nào sau đây cùng phương:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dễ thấy: \( - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = - 2\left( {5\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

Suy ra hai vectơ \(5\overrightarrow a + \overrightarrow b , - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) cùng phương

Vậy đáp án cần chọn là: C.


Câu 42:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a và \[{\rm{AA}}' = a\sqrt 2 \]. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a  (ảnh 1)

Khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC.A’B’C’

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và B’C’, O là trung điểm của DE

Suy ra O là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC.A’B’C’ (do đáy là ∆ABC vuông cân tại A)

Ta có: \(OD = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \)

Suy ra \(AD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là

\(R = OA = \sqrt {A{D^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\)

Thể tích khối cầu cần tính là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\)

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 43:

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu;

b) Có ít nhất một quả màu trắng.

Xem đáp án

a) Không gian mẫu là kết quả việc chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu

Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\)

Gọi biến cố A: “ Bốn quả lấy ra cùng màu”

TH1: Bốn quả lấy ra cùng đen

\(C_4^4 = 1\) cách

TH2: Bốn quả lấy ra cùng trắng

\({\rm{C}}_6^4 = 15\) cách

\( \Rightarrow {\rm{n}}({\rm{A}}) = 1 + 15 = 16\)

\( \Rightarrow {\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{{\rm{n}}({\rm{A}})}}{{{\rm{n}}(\Omega )}} = \frac{{16}}{{210}} = \frac{8}{{105}}\)

b) Gọi biến cố B: “ Cả 4 quả lấy ra đều màu đen”

Suy ra \(\overline B \): “ Có ít nhất 1 quả màu trắng”

Ta có: \(n(B) = C_4^4 = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{P}}({\rm{B}}) = \frac{{{\rm{n}}({\rm{B}})}}{{{\rm{n}}(\Omega )}} = \frac{1}{{210}}\\ \Rightarrow {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - \frac{1}{{210}} = \frac{{209}}{{210}}\end{array}\)


Câu 44:

Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(1; 2), B(4; 1), C(5; 4). Tính \(\widehat {BAC}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3; - 1),\overrightarrow {AC} = (4;2)\)

Suy ra \(AB = \sqrt {10} ,AC = \sqrt {20} \)

Ta có \(\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó \((\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) = 45^\circ \)

Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 45:

Cho α và β là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn α + β = 90°. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Với hai góc α và β mà α + β = 90°

Ta có sinα = cosβ, cosα = sinβ, tanα = cotβ, cotα = tanβ

Vậy ta chọn đáp án B.


Bắt đầu thi ngay