- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 55)
-
10396 lượt thi
-
89 câu hỏi
-
120 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2
\( \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2\)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}\]
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Từ đó suy ra: \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\)
\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.
Câu 2:
Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\).
Ta có a + b + c = 1 nên suy ra:
\[\frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} }}\]
\[ = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} }} = \frac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \sqrt {\frac{a}{{a + b}}} \,.\,\sqrt {\frac{a}{{a + c}}} \]
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right)\)
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\(\frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right);\;\frac{c}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)
Do đó: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}} + \frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {1 + 1 + 1} \right) = \frac{3}{2}\].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Vậy GTLN của P là \(\frac{3}{2}\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Câu 3:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.
Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Cạnh bên của lăng trụ bằng 2a nên AA' = 2a.
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = 2a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 4:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Khối lăng trụ đều là khối lăng trụ đứng có các cạnh bên và các cạnh đáy bằng nhau.
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.
Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Cạnh bên của lăng trụ bằng a nên AA' = a.
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Câu 5:
Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e2x − 4ex + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?
Ta đặt t = ex, với x Î [0; ln 4] Þ t Î [1; 4]
Khi đó, hàm số trở thành: g (t) = |t2 − 4t + m|.
Xét hàm số u (t) = t2 − 4t + m trên [1; 4], có u′ (t) = 2t − 4 = 0 Û t = 2.
Ta tính được u (1) = m − 3; u (2) = m − 4; u (4) = m suy ra
g (1) = |m − 3|; g (2) = |m − 4|; g (4) = |m|
• TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 4 = 6\\m - 4 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\].
• TH2:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 3 = 6\\m - 3 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 9\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Suy ra trường hợp trên không cho giá trị m thảo mãn.
• TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Û m = −6.
Vậy m Î {−6; 10} là hai giá trị cần tìm.
Câu 6:
Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết \(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\).
Do f (x) = 6x + sin 3x nên nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) là:
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right)dx} = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C\)
Mà \(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3} \Rightarrow - \frac{1}{3} + C = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = 1\).
Vậy nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x là \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1\).
Câu 7:
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).
y = ax3 + bx2 + cx + d Þ y¢ = 3ax2 + 2bx + c
+ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1; −7); B(2; −8) nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 7\\8a + 4b + 2c + d = - 8\end{array} \right.\;\;\;\left( 1 \right)\]
+ Đồ thị y¢ = 3ax2 + 2bx + c có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8) nên nó nhận x = 1 và x = 2 là nghiệm của phương trình y¢ = 0, suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có một hệ phương trình 4 ẩn là:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 7\\8a + 4b + 2c + d = - 8\\3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\7a + 3b + c = - 1\\3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\4a + b = - 1\\5a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\4a + b = - 1\\a = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\b = - 1 - 4a\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 12\\c = 12\\b = - 9\\a = 2\end{array} \right.\]
Khi đó: y (−1) = −a + b − c + d = −2 + (−9) − 12 + (−12) = −35.
Câu 8:
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 9:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c (a, b, c Î ℝ). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 là:
Ta có: \(4f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{4}\).
Ta nhận thấy: \(0 < \frac{3}{4} < 1\).
Khi đó số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 chính là số giao điểm của 2 đồ thị y = f (x) và \(y = \frac{3}{4}\).
Nhìn vào đồ thị hàm số ta có 2 đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt, nên phương trình đã cho có 4 nghiệm thực.
Câu 10:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?
Ta có: \(2f\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).
Ta nhận thấy: \( - 1 < - \frac{1}{2} < 0\).
Khi đó số nghiệm thực của phương trình 2f (x) = −1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình 2f (x) = −1 có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⏊ AB .
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH ⏊ (ABCD)
Gọi O = AC Ç BD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Do đó \(\frac{{d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{\frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\).
Kẻ HM ⏊ BD (M Î BD), kẻ HK ⏊ SM tại K
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\).
Lại có HK ⏊ SM Þ HK ⏊ (SBD) tại K Þ HK = d(H, (SBD)).
Vì ABCD là hình vuông nên AO ⏊ BD mà HM ⏊ BD Þ HM // AO.
Lại có H là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BO.
Suy ra HM là đường trung bình của tam giác ABO
\( \Rightarrow HM = \frac{{AO}}{2} = \frac{1}{2}\,.\,\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\)
\( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Câu 12:
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tam giác SAB đều nên suy ra SH ⏊ AB.
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH ⏊ (ABCD).
Kẻ HM ⏊ BD (M Î BD), kẻ HK ⏊ SM tại K.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SHM} \right)\].
Kẻ HN ⏊ SM Þ HN ⏊ (SCD)
Do đó d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HN.
Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = 1;\;SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{7}{3}\)
\( \Rightarrow HN = \sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Câu 13:
Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\).
Do x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2 Þ y = 2 – x (0 ≤ x ≤ 2)
Khi đó: \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
\( = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1\)
\( = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,\;x \in \left[ {0;\;2} \right]\) có:
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\;\,\left( {tm} \right)\\x = - 5\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 2] có:
\(f\left( 0 \right) = 5;\;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3};\;f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\).
Vậy GTNN của P là \(\frac{7}{3}\) khi x = 1 và y = 2 − 1 = 1.
Câu 14:
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0. Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.
Ta có: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0
Û x(x − 2y) + (x − 2y) ≤ 0
Û (x − 2y)(x + 1) ≤ 0.
Mà do x, y là các số thực không âm nên x + 1 > 0.
Khi đó x − 2y ≤ 0 Û x ≤ 2y.
Với x, y là các số thực không âm nên ta có:
M = x2 − 5y2 + 3x ≤ (2y)2 − 5y2 + 3.(2y)
= −y2 + 6y = −y2 + 6y − 9 + 9
= −(y − 3)2 + 9 ≤ 9, "y
Dấu “=” xảy ra Û y − 3 = 0 Û y = 3.
Vậy GTLN của M là 9 khi y = 3 và x = 2.3 = 6.
Câu 15:
Giải phương trình \(3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\).
\(3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\)
\( \Leftrightarrow \left( {3\sin 3x - 4{{\sin }^3}3x} \right) + \sqrt 3 \cos 9x = 1\)
\( \Leftrightarrow \sin 9x + \sqrt 3 \cos 9x = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \sin 9x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos 9x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {9x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\9x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9}\\x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9};\;\frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 16:
Giải phương trình: \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\).
\(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\)
\( \Leftrightarrow \left( {3\sin 3x - 4{{\sin }^3}3x} \right) - \sqrt 3 \cos 9x = 1\)
\( \Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \sin 9x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} - \cos 9x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {9x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\9x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9}\\x = \frac{{7\pi }}{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{7\pi }}{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9};\;\frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 17:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 6x + 1 và trục hoành là:
x3 − 3x2 − 6x + 1 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,33\\x \approx 0,155\\x \approx - 1,48\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 6x + 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 18:
Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1: y = x; d2: y = 4 − 3x và d3: y = mx − 3 đồng quy?
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là:
x = 4 − 3x Û x = 1 Þ y = 1
Suy ra giao điểm của d1 và d2 là điểm M(1; 1).
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì M Î d3 nên
1 = m.1 − 3 Û m = 4
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm của tham số m.
Câu 19:
Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?
Xét tam giác ABC đều cạnh a và gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: AM ⏊ BC.
Suy ra diện tích tam giác ABC là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AM\,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \,.\,a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Mà ta có \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4R}}\].
Vậy bán kính cần tìm là: \[R = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{a\,.\,a\,.\,a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
Câu 20:
Giải phương trình: \(\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\).
\(\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\;\left( 1 \right)\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\;\left( * \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{\sin x\,.\,\cos x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 4\sin x\,.\,\cos x\,.\,\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x - 4\sin x\,.\,\cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x - 2\sin 2x} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\\sin x - \sqrt 3 \cos x - 2\sin 2x = 0\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\]
+) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+) \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x\]
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ;\;\frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 21:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5.
Ta có: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5
= (sin²x − cos²x) + 2sinx.cosx + 5
= −cos 2x + sin 2x + 5
= sin 2x − cos 2x + 5
\( = \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 4\)
Do \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)
\( \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow 5 - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5 \le 5 + \sqrt 2 \)
+) \(\min y = 5 - \sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+) \(\max y = 5 + \sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy GTNN của hàm số là \(5 - \sqrt 2 \) khi \(x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và GTLN của hàm số là \(5 + \sqrt 2 \) khi \(x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 22:
Ta có: y = sin2 x + cosx + 2
= 1 − cos2 x + cosx + 2
= −cos2 x + cosx + 3
\( = - \left( {{{\cos }^2}x - \cos x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{13}}{4}\)
\( = - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4}\)
Do −1 ≤ cos x ≤ 1
\( \Rightarrow - \frac{3}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 0 \le {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\)
\( \Rightarrow - \frac{9}{4} \le - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\)
\( \Rightarrow 1 \le - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4} \le \frac{{13}}{4}\)
+) min y = 1
Dấu “=” xảy ra Û x = −p + k2p, (k Î ℤ)
+) \(\max y = \frac{{13}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy GTNN của hàm số là 1 khi x = −p + k2p, (k Î ℤ) và GTLN của hàm số là \(\frac{{13}}{4}\) khi \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 23:
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)
Xét khai triển \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k\,.\,{{\left( {3{x^3}} \right)}^{5 - k}}\,.\,{{\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)}^k}} \)
\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k\,.\,{3^{5 - k}}\,.\,{{\left( { - 2} \right)}^k}\,.\,{x^{15 - 5k}}} \)
Hệ số của số hạng chứa x10 ứng với 15 − 5k = 10 Û k = 1
Vậy hệ số cần tìm là:
\(C_5^1\;.\,{3^4}\,.\,{\left( { - 2} \right)^1} = - 810\).
Câu 24:
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{3n}}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)
ĐK: n ≥ 3; n Î ℤ+
\(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!\,.\,2!}} = 14n\)
\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 14n\)
\( \Rightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + \frac{{n - 1}}{2} = 14\)
Û 2(n − 1)(n − 2) + n − 1 = 28
Û 2n2 − 2n − 4n + 4 + n − 1 = 28
Û 2n2 − 5n − 25 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\;\;\;\;\left( {TM} \right)\\n = - \frac{5}{2}\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó xét khai triển: \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{15}}\)
\( = \frac{1}{{16}}{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{15}}\)
\( = \frac{1}{{16}}{\left( {x + 2} \right)^4}{\left( {x + 2} \right)^{15}} = \frac{1}{{16}}{\left( {x + 2} \right)^{19}}\)
\( = \frac{1}{{16}}\sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k\,.\,{x^{19 - k}}\,.\,{2^k}} = \frac{1}{{16}}\sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k\,.\,{2^k}\,.\,{x^{19 - k}}} \)
Hệ số của số hạng chứa x10 ứng với 19 − k = 10 Û k = 9
Vậy hệ số cần tìm là: \(\frac{1}{{16}}\,.\,C_{19}^9\,.\,{2^9} = {2^5}C_{19}^9\).
Câu 25:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} + 14x - m + 2\) nghịch biến trên [1; +∞).
Ta có: \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} + 14x - m + 2\)
Þ y¢ = mx2 + 14mx + 14
Hàm số đã cho nghịch biến trên [1; +∞) khi và chỉ khi
y¢ = mx2 + 14mx + 14 ≤ 0, "x Î [1; +∞)
Û m(x2 + 14x) ≤ −14, "x Î [1; +∞) (1)
\( \Leftrightarrow m \le - \frac{{14}}{{{x^2} + 14}},\;\forall x \in \left[ {1;\; + \infty } \right)\)
Đặt \(f\left( x \right) = - \frac{{14}}{{{x^2} + 14}},\;\forall x \in \left[ {1;\; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{28x}}{{{{\left( {{x^2} + 14} \right)}^2}}} > 0,\;\forall x \in \left[ {1;\; + \infty } \right)\)
Suy ra hàm số đồng biến trên [1; +∞)
Nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{ - 14}}{{15}}\).
Do đó để \(m \le - \frac{{14}}{{{x^2} + 14}},\;\forall x \in \left[ {1;\; + \infty } \right)\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\; + \infty } \right)} f\left( x \right) \Rightarrow m \le \frac{{ - 14}}{{15}}\).
Vây với \(m \in \left( { - \infty ;\;\frac{{ - 14}}{{15}}} \right]\) thì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞).
Câu 26:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \sqrt {5 - m\sin x - \left( {m + 1} \right)\cos x} \) xác định trên ℝ?
Để hàm số xác định trên ℝ thì:
5 − msin x − (m + 1)cos x ≥ 0, "x Î ℝ
Û m.sin x − (m + 1)cos x ≤ 5, "x Î ℝ
Û m2 + (m + 1)2 ≤ 25
Û m2 + m − 12 ≤ 0
Û −4 ≤ m ≤ 3
Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m Î {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}.
Câu 27:
Gọi x0 là nghiệm dương của phương trình \({4^{{x^2} - 2x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: \({4^{{x^2} - 2x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right]^{{x^2} - 2x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4\,.\,\left( {{x^2} - 2x} \right)\,}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4{x^2} - 8x\,}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\)
Þ 4x2 − 8x = x + 1
Û 4x2 − 9x − 1 = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{9 + \sqrt {97} }}{8} \approx 2,36\\x = \frac{{9 - \sqrt {97} }}{8} \approx - 0,11\end{array} \right.\]
Khi đó \({x_0} = \frac{{9 + \sqrt {97} }}{8} \approx 2,36\)
Vậy \({x_0} \in \left( {2;\;\frac{5}{2}} \right)\).
Chọn đáp án C.
Câu 28:
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình
4sin2 2x − 1 = 0.
4sin2 2x − 1 = 0
Û 2(1 − cos 4x) − 1 = 0
Û 2 − 2cos 4x − 1 = 0
\( \Leftrightarrow \cos 4x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{{12}};\; - \frac{\pi }{{12}};\;\frac{\pi }{{12}};\;\frac{{5\pi }}{{12}}} \right\}\).
Vậy tổng các nghiệm tìm được là: \(\left( { - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} = 0\).
Câu 29:
Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).
ĐK: x ≠ 0
Ta có: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\)
\( \Leftrightarrow {7^x}\,.\,{3^{3\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = {7^3}\,.\,{3^2}\)
\( \Leftrightarrow {7^x}\,.\,{3^{3\, - \,\frac{3}{x}}} = {7^3}\,.\,{3^2}\)
\( \Leftrightarrow {7^{x - 3}} = {3^{2\, - \,\left( {3\, - \,\frac{3}{x}} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow {7^{x - 3}} = {3^{\frac{3}{x}\, - \,1}}\)
Logarit cơ số 3 hai vế ta được: \({\log _3}{7^{x - 3}} = {\log _3}{3^{\frac{3}{x}\, - \,1}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _3}7 = \frac{3}{x} - 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _3}7 = - \frac{{x - 3}}{x}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{{\log }_3}7 + \frac{1}{x}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\{\log _3}7 + \frac{1}{x} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}7}}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}7}}\) và x = 3.Câu 30:
Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).
Ta có: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\)
\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x + 8}} = {2^{2\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x + 8}} = {2^{2 - 6x}}\)
Logarit cơ số 2 hai vế ta được: \({\log _2}{2^{{x^2} - x + 8}} = {\log _2}{2^{2 - 6x}}\)
Þ x2 − x + 8 = 2 − 6x
Û x2 + 5x + 6 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = −2 và x = −3.
Câu 31:
Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2 có nghiệm?
Ta có:
asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2
\( \Leftrightarrow a\,.\,\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\,\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\)
Û a(1 − cos 2x) + 4sin 2x + 3a(1 + cos 2x) = 4
Û a − acos 2x + 4sin 2x + 3a + 3acos 2x = 4
Û 2sin 2x + acos 2x = 2 − 2a (*)
Phương trình (*) có nghiệm
Û 4 + a2 ≥ (2 − 2a)2
Û 4 + a2 ≥ 4 − 8a + 4a2
Û 3a2 − 8a ≤ 0
\( \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}\)
Vậy \({a_{\max }} = \frac{8}{3}\).
Câu 32:
Cho hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: Hàm số đồng biến trên (a; b) Û f ¢(x) ≥ 0 "x Î (a; b) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
• Đáp án B: y′ = −f ′(x) Þ y′ < 0, "x Î (a; b)
Þ Hàm số nghịch biến trên (a; b).
Vậy đáp án B đúng.
• Đáp án C: y′ = f ′(x) Þ y′ > 0, "x Î (a; b)
Þ Hàm số đồng biến trên (a; b).
Vậy đáp án C đúng.
• Đáp án D: y′ = −f ′(x) Þ y′ < 0, "x Î (a; b)
Þ Hàm số nghịch biến trên (a; b).
Vậy đáp án D đúng.
Chọn đáp án A.
Câu 33:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án đúng là: D
• Nếu f ¢(x) > 0, "x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b)
Vậy mệnh đề A là đúng.
• Nếu f ¢(x) = 0, "x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) không đổi trên (a; b)
Vậy mệnh đề B là đúng.
• Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì f ¢(x) ≤ 0 với mọi x Î (a; b)
Vậy mệnh đề C là đúng.
• Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ¢(x) ≥ 0 với mọi x Î (a; b)
Vậy mệnh đề D là sai.
Câu 34:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD.
Ta có tỉ số: \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
\( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}}\)
Tương tự ta cũng có tỉ số:
\(\frac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} \cdot \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
\( \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \frac{1}{8}{V_{S.ACD}}\)
Do đó: \[{V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} + \frac{1}{8}{V_{S.ACD}}\]
\[ = \frac{1}{8}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ACD}}} \right) = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\]
\( \Rightarrow \frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{8}\).Câu 35:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD.
Chia khối chóp S.CDMN làm 2 khối chóp: S.CDM và S.CMN
Ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
\(\frac{{{V_{S.CDM}}}}{{{V_{S.CDA}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.CDM}} = \frac{1}{2}{V_{S.CDA}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
\(\frac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.CMN}} = \frac{1}{4}{V_{S.CAB}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Do đó: \({V_{S.CDMN}} = {V_{S.CDM}} + {V_{S.CMN}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}} = \frac{3}{8}\).
Câu 36:
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V, hai điểm M và P lần lượt là trung điểm AB, CD điểm N thuộc AD sao cho AD = 3AN. Tính thể tích tứ diện BMNP.
Ta có:
• \(\frac{{{V_{B.MNP}}}}{{{V_{B.ANP}}}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{B.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{B.ANP}}\)
• \(\frac{{{S_{ANP}}}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}d\left( {P,\;AD} \right)\,.\,AN}}{{\frac{1}{2}d\left( {C,\;AD} \right)\,.\,AD}} = \frac{{PD}}{{CD}} \cdot \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_{B.ANP}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \frac{{{S_{ANP}}}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{1}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{B.ANP}} = \frac{1}{6}{V_{B.ACD}} = \frac{V}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{B.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{B.ANP}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{V}{6} = \frac{V}{{12}}\).
Câu 37:
Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh BC (P không trùng trung điểm cạnh BC). Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Trong mặt phẳng (ABC) kéo dài MP và AC cắt nhau tại I.
Trong mặt phẳng (ACD) kéo dài IN cắt AD tại Q
Ta có:
• (ABC) Ç (MNP) = MP
• (BCD) Ç (MNP) = PN
• (ACD) Ç (MNP) = NQ
• (ABD) Ç (MNP) = QM
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ.
Câu 38:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m > 0\)
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \sqrt m \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = - \sqrt m \)
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang \(y = \pm \sqrt m ,\,\;\left( {m > 0} \right)\)
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.
Suy ra x = 1 phải thỏa mãn điều kiện mx2 ≥ 4 Û m ≥ 4.
Do đó, m ≥ 4 thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.
Mặt khác, m Î [−10; 10], m Î ℤ nên m Î {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
Câu 39:
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - m} \right) \ge 0\\x \ne - 2\end{array} \right.\)
Ta có:
• \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\];
• \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} + \frac{1}{x}}}{{ - 1 - \frac{2}{x}}} = - 1\].
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y = ±1.
Do đó bài toán thỏa mãn khi đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng.
Ta lại có: \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - mx - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {x\left( {x - m} \right)} + 1} \right)}}\)
Để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường TCĐ thì x = −2 không là nghiệm của tử và x = −2 thuộc tập xác định của hàm số.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( { - 2 - m} \right) \ge 0\\{\left( { - 2} \right)^2} - m\,.\,\left( { - 2} \right) - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\2m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m \ne - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Mặt khác, m Î (−10; 10), m Î ℤ nên m Î {−2; −1; 0; 1; 2; …; 8; 9}.
Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
Câu 40:
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau.
• Số có 1 chữ số khác nhau là 3 số: 1; 2; 3.
• Số có 2 chữ số khác nhau là 6 số: 12; 21; 13; 31; 23; 32.
• Số có 3 chữ số khác nhau là 6 số: 123; 132; 213; 231; 312; 321.
Vậy ta có 3 + 6 + 6 = 15 (số).
Câu 41:
Từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và tổng của ba số đó chia hết cho 3.
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \;\left( {1 \le a,\;b,\;c \le 6;\;a \ne b \ne c} \right)\)
Các bộ số (a; b; c) thỏa mãn là: (1; 2; 3); (4; 5; 6); (2; 3; 4); (1; 5; 6); (1; 3; 5); (1; 2; 6)
Số các số tạo được thỏa mãn yêu cầu là: 6.P3 = 36 (số).
Vậy lập được 36 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 42:
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0).
Theo đề bài ta có a = 2b
Vì ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá không nắp nên diện tích toàn phần (bỏ 1 mặt đáy) của hình hộp là: ab + 2bc + 2ac
Hay ab + 2bc + 2ac = 5
Mà a = 2b nên 2b2 + 2bc + 4bc = 5
Û 2b2 + 6bc = 5
\( \Rightarrow c = \frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}}\).
Xét điều kiện c > 0 \( \Rightarrow \frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}} > 0 \Rightarrow 5 - 2{b^2} > 0\)
\( \Rightarrow 0 < b < \sqrt {\frac{5}{2}} \).
Thể tích bể cá là:
\(V = abc = 2b\,.\,b\,.\,\frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}} = \frac{{ - 2{b^3} + 5b}}{3}\).
Xét hàm số \(f\left( b \right) = \frac{{ - 2{b^3} + 5b}}{3}\;\left( {b > 0} \right)\)
\( \Rightarrow f'\left( b \right) = \frac{{ - 6{b^2} + 5}}{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - \sqrt {\frac{5}{6}} \;\left( {KTM} \right)\\b = \sqrt {\frac{5}{6}} \;\;\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Xét bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán suy ra \(\max f\left( b \right) = \frac{{5\sqrt {30} }}{{27}} \Leftrightarrow b = \sqrt {\frac{5}{6}} \).
Vậy bể cá có thể tích lớn nhất bằng \[\frac{{5\sqrt {30} }}{{27}} \approx 1,01\;\,\left( {{m^3}} \right)\].
Câu 43:
Cho phương trình 3x + m = log3 (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mÎ (−15; 15) để phương trình đã cho có nghiệm?
Đặt log3 (x − m) = y Û x − m = 3y Û x = 3y + m
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + m = y\;\;\;\left( 1 \right)\\{3^y} + m = x\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Trừ vế cho vế của (1) cho (2) ta được 3x + x = 3y + y (*)
Xét f (t) = 3t + t Þ f ′(t) = 3tln 3 + 1 > 0, "t suy ra hàm số đồng biến trên ℝ.
(*) Û x = y
Khi đó (1) Û m = x − 3x.
Xét g (x) = x − 3x Þ g′ (x) = 1 − 3xln 3 = 0
\( \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{1}{{\ln 3}}\).
Do đó m < −0,995 mà mÎ (−15; 15) nên m Î {−14; −13; ...; −1}.
Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 44:
Phương trình log (x2 + mx) = log (x + m − 1) có nghiệm duy nhất khi giá trị của m là bao nhiêu?
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + mx > 0\\x + m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + m} \right) > 0\\x + m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + m > 1\\x > 0\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho tương đương:
x2 + mx = x + m − 1
Û x2 + (m − 1)x − m + 1 = 0 (1)
Phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép x > 0.
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} - m + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\1 - m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
Với m = −3 thì phương trình tương đương:
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 1\\{x^2} - 4x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x = 2\;\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
Suy m > 1 là các giá trị thỏa mãn của tham số m.
Câu 45:
Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2 x + 2sin xcos x − cos2 x = 0. Chọn khẳng định đúng.
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình 3sin2 x + 2sin xcos x − cos2 x = 0 (*)
• cos x = 0 Þ sin2 x = 1 không là nghiệm của phương trình (*)
• cos x ≠ 0. Ta chia 2 vế của phương trình (*) cho cos2 x thì
3sin2 x + 2sin xcos x − cos2 x = 0
\( \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} - 1 = 0\)
Û 3tan2 x + 2tan x − 1 = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \arctan \frac{1}{3} \in \left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Chọn đáp án C.
Câu 46:
Cho x thỏa mãn \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\). Tính sin 2x.
\(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x + 8 = 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right|\)
Bình phương hai vế, suy ra phương trình trên tương đương:
(2sin 2x + 8)2 = 54|sin x + cos x|2
Û 4(sin2 2x + 8sin 2x + 16) = 54(sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x)
Û 2sin2 2x + 16sin 2x + 32 = 27(1 + sin 2x)
Û 2sin2 2x + 16sin 2x + 32 = 27 + 27sin 2x
Û 2sin2 2x − 11sin 2x + 5 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 5\;\;\left( {KTM} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{2}\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(\sin 2x = \frac{1}{2}\).
Câu 47:
Phương trình \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\) có nghiệm là:
\(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x + 8 = 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right|\)
Bình phương hai vế, suy ra phương trình trên tương đương:
(2sin 2x + 8)2 = 54|sin x + cos x|2
Û 4(sin2 2x + 8sin 2x + 16) = 54(sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x)
Û 2sin2 2x + 16sin 2x + 32 = 27(1 + sin 2x)
Û 2sin2 2x + 16sin 2x + 32 = 27 + 27sin 2x
Û 2sin2 2x − 11sin 2x + 5 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 5\;\;\left( {KTM} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{2}\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Với \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) suy ra
\(\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy tập hợp các họ nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\;\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 48:
Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x − 2 đạt cực trị tại x1, x2. Tính giá trị của biểu thức S = x12 + x22.
Ta có: y = −x3 + 3x2 + 9x − 2
Þ y¢ = −3x2 + 6x + 9
Suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy S = (−1)2 + 32 = 10.
Câu 49:
Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 6x. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2. Khi đó giá trị của biểu thức S = x12 + x22 bằng:
Ta có: y = −x3 + 3x2 + 6x
Þ y¢ = −3x2 + 6x + 6 = 0
Theo Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = 2\\{x_1}\,.\,{x_2} = \frac{6}{{ - 3}} = - 2\end{array} \right.\)
Vậy S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 22 − 2.(−2) = 8.
Câu 50:
Cho hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 1)x2 − 2x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)?
+) TH1: Với m = 1, khi đó y = − 2x + 5 là hàm số nghịch biến trên ℝ.
+) TH2: Với m ≠ 1, ta có y′ = 3(m − 1)x2 + 2(m − 1)x − 2; "x Î ℝ
Hàm số nghịch biến trên ℝ
Û y′ ≤ 0; "x Î ℝ
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\left( {m - 1} \right) < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 6\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{m^2} + 4m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le m < 1\)
Kết hợp hai trường hợp ta có với m Î (−5; 1) thì hàm số nghịch biến trên ℝ.
Mà m Î ℤ suy ra có tất cả 7 giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 51:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.
+) TH1: Với m = 1, khi đó y = 3x + 2 là hàm số đồng biến trên ℝ.
+) TH2: Với m ≠ 1, ta có y′ = 3(m − 1)x2 − 6(m − 1)x + 3; "x Î ℝ
Hàm số đồng biến trên ℝ
Û y′ ≥ 0; "x Î ℝ
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\left( {m - 1} \right) > 0\\\Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} - 3m + 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2\)
Vậy 1 ≤ m ≤ 2 là các giá trị của m thỏa mãn.
Câu 52:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?
Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
• Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có 8 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có 7 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có 1 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đen.
Vậy có (8.7.6.5.4.3.2.1)2 cách xếp.
• Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 2.(8.7.6.5.4.3.2.1)2 = 3 251 404 800.
Câu 53:
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \;\left( {a \ne 0} \right)\).
a là số lẻ nên có 5 cách chọn a, tương tự có 5 cách chọn b.
Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn.
Câu 54:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số, điều kiện là hai số này phải khác nhau hoàn toàn?
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \;\left( {a \ne 0} \right)\).
Chọn số a có 9 cách chọn, tiếp theo có 9 cách chọn b.
Vậy có 9 . 9 = 81 số thỏa mãn.
Câu 55:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: D
• A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.
• B sai: Để cho khẳng định đúng thì g (x) đồng biến trên (a; b).
• C sai: Hàm số f (x), g (x) phải là các hàm dương trên (a; b) mới thoả mãn.
Chọn đáp án D.
Câu 56:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: D
• A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.
• B sai: Để cho khẳng định đúng thì g (x) đồng biến trên (a; b).
• C sai: Hàm số f (x), g (x) phải là các hàm dương trên (a; b) mới thoả mãn.
Chọn đáp án D.
Câu 57:
Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f ¢(x0) = 0
Chọn đáp án B.
Câu 58:
Đáp án đúng là: B
• Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ¢(x) ≥ 0, "x Î (a; b)
Þ −f ¢(x) ≤ 0, "x Î (a; b)
Vậy hàm số −f (x) nghịch biến trên (a; b)
• Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ¢(x) ≥ 0, "x Î (a; b)
Vậy hàm số f (x) + 2016 đồng biến trên (a; b)
• Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ¢(x) ≥ 0, "x Î (a; b)
Þ −f ¢(x) ≤ 0, "x Î (a; b)
Vậy hàm số −f (x) − 2016 nghịch biến trên (a; b)
• Ví dụ hàm số f (x) = x đồng biến trên (−∞; +∞), trong khi đó hàm số \(\frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên (−∞; 0) và (0; +∞).
Do đó B sai.
Chọn đáp án B.
Câu 59:
Đáp án đúng là: D
• A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.
• B sai: Để cho khẳng định đúng thì g (x) đồng biến trên (a; b).
• C sai: Hàm số f (x), g (x) phải là các hàm dương trên (a; b) mới thoả mãn.
Chọn đáp án D.
Câu 60:
Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau đây đồng biến trên khoảng nào?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
Câu 61:
Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2) thì hàm số y = f (2x) đồng biến trên khoảng nào?
Ta có hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2)
Suy ra f ¢(x) ≥ 0, "x Î (0; 2)
Xét hàm số y = f (2x) Þ y¢ = 2f ¢(2x)
Vậy hàm số y = f (2x) đồng biến khi y¢ = 2f ¢(2x) ≥ 0 Þ f ¢(2x) ≥ 0
Do đó 0 < 2x < 2 Û 0 < x < 1
Vậy hàm số y = f (2x) đồng biến trên khoảng (0; 1).
Câu 62:
Giải phương trình 22x + 1 = 32.
Ta có: 22x + 1 = 32
Û 22x + 1 = 25
Û 2x + 1 = 5
Û 2x = 4
Û x = 2
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 63:
Đáp án đúng là: D
Ta có: 22x + 1 − 2x − 1 − 1 = 0
\( \Leftrightarrow 2\,.\,{2^{2x}} - \frac{{{2^x}}}{2} - 1 = 0\)
Û 4.22x − 2x − 2 = 0 (*)
Đặt 2x = t (t > 0) suy ra phương trình (*) trở thành: 4t2 − t − 2 = 0.
Câu 64:
Một khối chóp luôn có một mặt đáy và các mặt bên nên khối chóp có 2021 mặt thì có 2020 mặt bên.
Suy ra mặt đáy có 2020 cạnh, và cũng có 2020 cạnh bên.
Vậy khối chóp đó có tất cả 2020 + 2020 = 4040 (cạnh).
Đề bài 2. Hình chóp có 2020 cạnh thì có bao nhiêu đỉnh?
Câu 65:
Hình chóp có 2020 cạnh thì có bao nhiêu đỉnh?
Hình chóp có 2020 cạnh thì có 1011 nhiêu đỉnh.
Câu 66:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) = (x − 1)(x2 − 2)(x4 − 4). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f (x).
Ta có: f ¢(x) = 0
Û (x − 1)(x2 − 2)2(x2 + 2) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.
Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x = 1 và không đổi dấu qua \(x = \pm \sqrt 2 \).
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 67:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) = (x + 1)2(x − 2)3(2x + 3), "x Î ℝ. Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Ta có: f ¢(x) = 0
Û (x + 1)2(x − 2)3(2x + 3) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\\2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Đạo hàm có 1 nghiệm bội lẻ là x = 2 và 1 nghiệm đơn \(x = - \frac{3}{2}\), còn nghiệm x = −1 là nghiệm bội chẵn nên số cực trị của hàm số là 2.
Câu 68:
Cho phương trình \(3\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 4 = 0\). Đặt t = sin x + cos x, ta được phương trình nào dưới đây?
Đáp án đúng là: A
Đặt t = sin x + cos x \(\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)
Þ t2 = (sin x + cos x)2 = sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x = 1 + sin 2x
Þ sin 2x = t2 − 1
Phương trình đã cho trở thành:
\(3\sqrt 2 t + 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 3\sqrt 2 t + 2 = 0\)
Chọn đáp án A.
Câu 69:
Giải phương trình: \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
\[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x\]
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\; - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 70:
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0).
Theo đề bài ta có a = 2b
Vì ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá không nắp nên diện tích toàn phần (bỏ 1 mặt đáy) của hình hộp là: ab + 2bc + 2ac
Hay ab + 2bc + 2ac = 5.
Mà a = 2b nên 2b2 + 2bc + 4bc = 5
Û 2b2 + 6bc = 5
\( \Rightarrow c = \frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}}\).
Xét điều kiện c > 0 \( \Rightarrow \frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}} > 0 \Rightarrow 5 - 2{b^2} > 0\)
\( \Rightarrow 0 < b < \sqrt {\frac{5}{2}} \).
Thể tích bể cá là:
\(V = abc = 2b\,.\,b\,.\,\frac{{5 - 2{b^2}}}{{6b}} = \frac{{ - 2{b^3} + 5b}}{3}\).
Xét hàm số \(f\left( b \right) = \frac{{ - 2{b^3} + 5b}}{3}\;\left( {b > 0} \right)\)
\( \Rightarrow f'\left( b \right) = \frac{{ - 6{b^2} + 5}}{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - \sqrt {\frac{5}{6}} \;\left( {KTM} \right)\\b = \sqrt {\frac{5}{6}} \;\;\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Xét bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán suy ra \(\max f\left( b \right) = \frac{{5\sqrt {30} }}{{27}} \Leftrightarrow b = \sqrt {\frac{5}{6}} \).
Vậy bể cá có thể tích lớn nhất bằng \[\frac{{5\sqrt {30} }}{{27}} \approx 1,01\;\left( {{m^3}} \right)\].
Câu 71:
Người ta làm một cái hộp không có nắp bằng bìa cứng dạng hình lập phương có cạnh 2,5 dm. Tính diện tích bìa cần dùng để làm hộp không tính mép dán.
Diện tích một mặt của hộp bìa cứng là:
2,5 × 2,5 = 6,25 (dm2)
Diện tích bìa cần dùng để làm hộp không tính mép dán là:
6,25 × 5 = 31,25 (dm2)
Đáp số: 31,25 dm2.
Câu 72:
Cho khối trụ có chiều cao h = 8, bán kính đường tròn đáy bằng 6, cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 4. Tính diện tích thiết diện tạo thành.
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 4 < R (R = 6).
Suy ra thiết diện là hình chữ nhật.
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ), gọi I là trung điểm của AB.
Theo đề bài ta có:
OI = d(OO'; (ABCD)) = 4, BC = h = 8, R = 6
Tam giác OIA vuông tại I
\( \Rightarrow IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{6^2} - {4^2}} = 2\sqrt 5 \).
Diện tích của thiết diện là:
\({S_{ABCD}} = AB\,.\,BC = 4\sqrt 5 \,.\,8 = 32\sqrt 5 \).
Câu 73:
Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O'). AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O'), góc giữa AB và CD bằng 30°, AB = 6 và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường tròn (O).
C', D' lần lượt là hình chiếu của C, D lên đường tròn (O').
Suy ra AC'BD' là hình bình hành, lại có AB = CD = C'D' nên AC'BD' là hình chữ nhật.
Khi đó AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật.
Ta có: VAC'BD'.A'CB'D = VA.BCD + VA.A'CD + VB.B'CD + VC.C'AB + VD.D'AB
\({V_{A.A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,{S_{A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,\frac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)
Chứng minh tương tự ta có: \({V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)
\[ \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4\,.\,\frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\]
\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30\]
Þ VAC'BD'.A'CB'D = 90.
Theo bài ra ta có: \(\left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = 30^\circ \Rightarrow \left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = 30^\circ \).
Giả sử \(\left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = \widehat {AOC'} = 30^\circ \).
Lại có: \[OA = OC' = \frac{1}{2}AB = 3\]
\( \Rightarrow {S_{OAC'}} = \frac{1}{2}OA\,.\,OC'\,.\,\sin \widehat {AOC'} = \frac{1}{2}\,.\,3\,.\,3\,.\,\sin 30^\circ = \frac{9}{4}\)
Þ SAC'BD' = 4SOAC' = 9.
Ta có: VAC'BD'.A'CB'D = AA'.SAC'BD'
Þ 90 = AA'.9 Û AA' = 10.
Vậy thể tích khối trụ là:
V = pr2h = p.OA2.AA' = p.32.10 = 90p.
Câu 74:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0
Û 2cos2 x − 1 − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0
Û 2cos2 x − (2m + 1)cos x + m = 0
Û 2cos2 x − cos x − 2mcos x + m = 0
Û cos x(2cos x − 1) − m(2cos x − 1) = 0
Û (2cos x − 1)(cos x − m) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right.\)
Để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì −1 ≤ cos x < 0.
Hay −1 ≤ m < 0.
Vậy −1 ≤ m < 0 là các giá trị của m thỏa mãn.
Câu 75:
Chọn 5 chữ số còn lại từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 8, 9 có \(C_6^5\) (cách).
Xếp thứ tự 5 chữ số ở trên: 5! (cách).
5 chữ số trên tạo thành 6 khe trống, xếp 4 chữ số 4, 5, 6, 7 vào 6 khe trống đó: \(A_6^4\) cách
\( \Rightarrow \;C_6^5\,.\,\,5!\,\,.\,\,A_6^4\) số (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu)
Chọn 5 chữ số sao cho có mặt chữ số 0: \(C_5^4\) cách
Xếp 5 chữ số đó sao cho số 0 đứng đầu: 4! cách (hoán vị 4 chữ số còn lại)
4 chữ số tạo thành 5 khe trống, xếp 4, 5, 6, 7 vào 5 khe trống: \(A_5^4\) cách
Vậy số số thỏa mãn là: \(C_6^5\,.\,5!\,.\,A_6^4 - C_5^4\,.\,4!\,.\,A_5^4 = 244\,\,800\) (số).
Câu 76:
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \;(a \ne b \ne c \ne d,\;a \ne 0)\)
• Chọn chữ số cho a có 9 cách chọn
• Chọn chữ số cho b có 9 cách chọn
• Chọn chữ số cho c có 8 cách chọn
• Chọn chữ số cho d có 7 cách chọn
Vậy có tất cả 9.9.8.7 = 4 536 (số).
Câu 77:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2
\( \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2\)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}\]
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Từ đó suy ra:
\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.
Câu 78:
Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\).
Ta có a + b + c = 1 nên suy ra:
\[\frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} }}\]
\[ = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} }} = \frac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \sqrt {\frac{a}{{a + b}}} \,.\,\sqrt {\frac{a}{{a + c}}} \]
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right)\)
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\(\frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right);\;\frac{c}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)
Do đó: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}} + \frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {1 + 1 + 1} \right) = \frac{3}{2}\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Vậy GTLN của P là \(\frac{3}{2}\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
Câu 79:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.
Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Cạnh bên của lăng trụ bằng 2a nên AA' = 2a.
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = 2a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 80:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Khối lăng trụ đều là khối lăng trụ đứng có các cạnh bên và các cạnh đáy bằng nhau.
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.
Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Cạnh bên của lăng trụ bằng a nên AA' = a
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Câu 81:
Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =
|e2x − 4ex + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?
Ta đặt t = ex, với x Î [0; ln 4] Þ t Î [1; 4]
Khi đó, hàm số trở thành: g (t) = |t2 − 4t + m|.
Xét hàm số u (t) = t2 − 4t + m trên [1; 4], có u′ (t) = 2t − 4 = 0 Û t = 2.
Ta tính được u (1) = m − 3; u (2) = m − 4; u (4) = m suy ra
g (1) = |m − 3|; g (2) = |m − 4|; g (4) = |m|
• TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 4 = 6\\m - 4 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\]
• TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 3 = 6\\m - 3 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 9\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Suy ra trường hợp trên không cho giá trị m thảo mãn
• TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Û m = −6
Vậy m Î {−6; 10} là hai giá trị cần tìm.
Câu 82:
Đáp án đúng là: C
Ta có f ′(x) = 3 − 4e2x
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3 - 4{e^{2x}}} \right)dx} = 3x - 2{e^{2x}} + C\)
Mà f (0) = 10 Þ −2 + C = 10 Û C = 12
Vậy f (x) = 3x − 2e2x + 12.
Chọn đáp án C.
Câu 83:
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).
y = ax3 + bx2 + cx + d Þ y¢ = 3ax2 + 2bx + c
+ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1; −7); B(2; −8) nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 7\\8a + 4b + 2c + d = - 8\end{array} \right.\;\;\;\left( 1 \right)\]
+ Đồ thị y¢ = 3ax2 + 2bx + c có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8) nên nó nhận x = 1 và x = 2 là nghiệm của phương trình y¢ = 0, suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có một hệ phương trình 4 ẩn là:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 7\\8a + 4b + 2c + d = - 8\\3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\7a + 3b + c = - 1\\3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\4a + b = - 1\\5a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\4a + b = - 1\\a = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - a - b - c - 7\\c = - 3a - 2b\\b = - 1 - 4a\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 12\\c = 12\\b = - 9\\a = 2\end{array} \right.\]
Khi đó: y (−1) = −a + b − c + d = −2 + (−9) − 12 + (−12) = −35.
Câu 84:
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 85:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?
Ta có: \(2f\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\)
Ta nhận thấy: \( - 1 < - \frac{1}{2} < 0\)
Khi đó số nghiệm thực của phương trình 2f (x) = −1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình 2f (x) = −1 có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 86:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng
Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⏊ AB
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH ⏊ (ABCD)
Gọi O = AC Ç BD
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Vậy \(\frac{{d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{\frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\)
Kẻ HM ⏊ BD (M Î BD), kẻ HK ⏊ SM tại K
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\)
Lại có HK ⏊ SM Þ HK ⏊ (SBD) tại K Þ HK = d(H, (SBD))
Vì ABCD là hình vuông nên AO ⏊ BD mà HM ⏊ BD Þ HM // AO
Lại có H là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BO
Suy ra HM là đường trung bình của tam giác ABO
\( \Rightarrow HM = \frac{{AO}}{2} = \frac{1}{2}\,.\,\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\)
\( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Câu 87:
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Tam giác SAB đều nên suy ra SH ⏊ AB
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH ⏊ (ABCD)
Kẻ HM ⏊ BD (M Î BD), kẻ HK ⏊ SM tại K
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SHM} \right)\]
Kẻ HN ⏊ SM Þ HN ⏊ (SCD)
Do đó d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HN
Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = 1;\;SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{7}{3}\)
\( \Rightarrow HN = \sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Câu 88:
Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
Do x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2 Þ y = 2 − x, (0 ≤ x ≤ 2)
Khi đó: \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
\( = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1\)
\( = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,\;x \in \left[ {0;\;2} \right]\) có:
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\;\,\left( {tm} \right)\\x = - 5\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 2], có:
\(f\left( 0 \right) = 5;\;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3};\;f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3}\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\)
Vậy GTNN của P là \(\frac{7}{3}\) khi x = 1 và y = 2 − 1 = 1.Câu 89:
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0.
Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.
Ta có: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0
Û x(x − 2y) + (x − 2y) ≤ 0
Û (x − 2y)(x + 1) ≤ 0
Mà do x, y là các số thực không âm nên x + 1 > 0
Khi đó x − 2y ≤ 0 Û x ≤ 2y
Với x, y là các số thực không âm nên ta có:
M = x2 − 5y2 + 3x ≤ (2y)2 − 5y2 + 3.(2y)
= −y2 + 6y = −y2 + 6y − 9 + 9
= −(y − 3)2 + 9 ≤ 9, "y
Dấu “=” xảy ra Û y − 3 = 0 Û y = 3.
Vậy GTLN của M là 9 khi y = 3 và x = 2.3 = 6.