Chiều dài hình chữ nhật là:

(99 + 5) : 2 = 52 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

52 - 5 = 47 (m)

Đáp số: Chiều dài: 52 m;

   Chiều rộng: 47 m.

Ta có: 158 : 2,8 = 56,42 (dư 0,24)

Vậy số dư của phép chia 158 : 2,8 là 0,24.

Đặt a = 4k; b = 4q (k, q Î ℕ*)

a + b = 48 Þ 4 (k + q) = 48

Þ k + q = 12

Mà (k, q) = 1 Þ (k, q) Î {(1, 11) ; (11, 1) ; (5, 7) ; (7, 5)}

Vậy (a, b) Î {(4, 44); (44, 4); (20, 28); (28, 20)}

Độ dài mỗi cạnh của hình thoi là:

52 : 4 = 13 (cm)

Ta có: ED = EB nên ED = EB = $\frac{BD}{2}=\frac{24}{2}=12$ (cm)

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác AEB vuông, ta có:

AB² = EB² + EA²

Þ AE² = AB² - EB² = 13² - 12² = 252^22222kni

Þ AE = $\sqrt{25}$ = 5 (cm)

Þ AC = 2AE = 10 (cm)

Þ S_ABCD = $\frac{1}{2}\mathrm{.10.12}=60$(cm²)

Khoảng cách giữa các dãy số bằng 2

Số hạng đầu dãy là 1

Số hạng cuối dãy là 2n - 1

Þ Số các số hạng là:

(2n - 1 - 1) : 2 + 1 = n

Þ Tổng các dãy số là:

[(1 + 2n - 1) . n] : 2

= 2n . n : 2 = n².

Nếu cả hai số gấp lên 3 lần thì tổng của chúng là:

10,2 × 3 = 30,6

Số thứ hai là:

(41,4 - 30,6) : (5 - 3) = 5,4

Số thứ nhất là:

10,2 - 5,4 = 4.8

a) Ta có x - 4 chia hết cho x - 1

Þ (x - 1) - 3 chia hết cho x - 1

Þ 3 chia hết cho x - 1 (vì x - 1 chia hết cho x - 1)

Þ x - 1 Î Ư(3) = {-1; -3; 1; 3}

Ta có bảng giá trị

Vậy x Î {0; -2; 2; 4}.

b) 2x - 1 là ước của 3x + 2

Û 3x + 2 là bội của 2x - 1

Þ 2(3x + 2) là bội của 2x - 1

Þ 6x + 4 là bội của 2x - 1

Þ 6x - 3 + 7 là bội của 2x - 1

Þ 3(2x - 1) + 7 chia hết cho 2x - 1

Mà 3(2x + 1) chia hết cho 2x - 1

Þ 7 chia hết cho (2x - 1)

Þ 2x - 1 Î Ư(7) = {-1; -7; 1; 7}

Ta có bảng giá trị:

Vậy x Î {0; -3; 1; 4}.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = (2m - 1)x - m + 2 Û x² - (2m - 1)x + m - 2 = 0

Ta có: D = (2m - 1)² - 4(m - 2) = 4m² - 8m + 9 = (2m - 1)² + 8 ³ 8

Vậy nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt tức hai đồ thị luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B

b) Theo định lý Viet: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1{x}_2=m-2\end{array}\right.$

Ta có: A(x₁; y₁) = A(x₁; x₁²) và B(x₂; y₂) = B(x₂; x₂²)

x₁y₁ + x₂y₂ = 0 Û x₁³ + x₂³ = 0

Û (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂] = 0

Û (2m - 1)[(2m - 1)² - 3m + 6] = 0

2m - 1 = 0 Û m = $\frac{1}{2}$

(2m - 1)² - 3m + 6 = 0 Û 4m² - 7m - 7 = 0 (vô nghiệm)

Vậy m = $\frac{1}{2}$

1 - 4 + 7 - 10 + 13 - 16 + ... + 103 - 106 + 109

= (1 + 7 + 13 + ... + 103 + 109) - (4 + 10 + 16 + ... + 106)

= [(1 + 109) × 19 : 2] - [(106 + 4) × 18 : 2]

= 1045 - 990 = 55.

a) 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 + ... + 2001 - 2002 - 2003 + 2004

S = (1 + 2 - 3 + 4) + (5 + 6 - 7 - 8) + ... + (2001 + 2002 - 2003 - 2004) + (2005 + 2006)

S = (-4) + (-4) + ... + (-4) + (2005 + 2006)

Dãy S có (2004 - 1) : 1 + 1 = 2004 (số hạng)

Dãy S có 2004 : 4 = 501 chữ số (-4)

Do đó S = (-4) . 501 = -2004

= -2004 + (2005 + 2006)

= -2004 + 4011 = 2007

b) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 + ... + 2002 - 2003 - 2004 + 2005 + 2006

S = 1 + (2 - 3 - 4 + 5) + (6 - 7 - 8 + 9) + ... + (2002 - 2003 - 2004 + 2005) + 2006

S = 1 + 0 + 0 + ... + 0 + 2006 = 2007

Trong mỗi dãy gồm bốn số, tổng của hai số ở giữa bằng tổng của số đầu với số cuối: 3 + 5 = 2 + 6, 4 + 12 = 7 + 9, 10 + 18 = 12 + 16.

Vậy số cần điền là: 19 + 20 - 15 = 24

22,4 : 18 = 1 dư 4,4

367 + (-30) + 1672 + (-337)

= (367 - 337) - 30 + 1672

= 330 - 30 + 1672

= 300 + 1672 = 1972

367 + (-30) + 2009 + (-337) + (-2010)

= (367 - 337) - 30 + (2009 - 2010)

= 330 - 30 - 1

= 300 - 1 = 299

S = 1 - 3 + 5 - 7 + ... + 2001 - 2003

S = (1 - 3) + (5 - 7) + ... + (2001 - 2003)

S = (-2) + (-2) + ... + (-2) (501 số hạng)

S = (-2) . 501

S = -1002

Vậy S = -1002

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:

Þ a + b + c ³ 3$\sqrt[3]{abc}$

Þ (a + b + c)³ ³ 27abc

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0

Vậy (a + b + c)³ ³ 27abc khi a = b = c > 0

37 . 444 - 144 . 111 + 15

= 37 . 4 . 111 - 144 . 111 + 15

= 148 . 111 - 144 . 111 + 15

= 111 . (148 - 144) + 15 = 459

(9 - 1) .1 .1 = 9 (chữ số)

Số chữ số trong các dãy có hai chữ số là:

(90 - 10 + 1) . 2 = 180 (chữ số)

Số chữ số trong các dãy có ba chữ số là:

(999 - 100 + 1) . 3 = 2700 (chữ số)

Số chữ số trong các dãy có bốn chữ số là:

(9999 - 1000 + 1) . 4 = 36 000 (chữ số)

Ta có thể coi số chữ số có trong dãy số có 5 chữ số là: (x - 10 000 + 1) . 5

Theo đề bài, ta có:

(x - 10 000 + 1) . 5 + 9 + 180 + 2700 + 36 000 = x . 4,5

Þ x . 5 - 50 000 + 5 + 2889 + 36 000 = x . 4,5

Þ x . 0,5 = 6111

Þ x = 12 222

Vậy x = 12 222

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy.

Khi đó, $A\left(\frac{-3}{m};0\right)$, $B\left(0;3\right)$. Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d)

Xét tam giác vuông OAB có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}$

Suy ra OH_MAX Û ${\left(\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\right)}_{MAX}$

Ta có $\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}=\frac{\left|\frac{-3}{m}\right|\left|3\right|}{\sqrt{{\left(\frac{-3}{m}\right)}^2+3^2}}=\frac{9}{\sqrt{9\left(m^2+1\right)}}=\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}$

mà $\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}\le 3$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 3 khi và chỉ khi m = 0.

a) Xét DDEB và DDFC ta có:

$\widehat{DEB}=\widehat{DFC}=90°$ (DE ^ AB; DF ^ AC)

BD = DC (vì D là trung điểm của BC)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (vì DABC cân tại A)

Þ DDEB = DDFC (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: AE + EB = AB; AF + FC = AC

Mà EB = FC (vì DDEB = DDFC); AB = AC (vì DABC cân tại A)

Þ AE = AF

Xét DAED và DAFD ta có:

$\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90°$ (DE ^ AB; DF ^ AC)

AD chung

AE = AF (cmt)

Do đó DAED = DAFD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

a) Nhìn vào hình vẽ, ta có:

OA + AB = OB Þ AB = OB - OA = 6 - 4 = 2 (cm)

OC + BC = OB Þ OC = OB - BC = 6 - 4 = 2 (cm)

b) Nhìn vào hình vẽ, ta có:

OC + AC = OA Þ AC = OA - OC = 4 - 2 = 2 (cm)

Mà AB = 2 cm nên AC = AB

Vì điểm A nằm giữa B và C; AB = AC

Vậy A là trung điểm của BC.    

c) Góc nhọn là góc xCy

Góc tù là góc zCy

Góc bẹt là góc xCz

Vì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng nên chiều dài ứng với một phần thì chiều rộng ứng với 4 phần.

Theo bài ra, ta có hình chữ nhật gồm 4 ô vuông, chiều rộng một phần (ứng với cạnh của hình vuông), chiều dài ứng với 4 phần (4 lần cạnh hình vuông)

Diện tích 1 ô vuông là: 1 : 4 = 0,25 (cm²)

Vì 0,25 = 0,5 × 0,5 nên suy ra độ dài cạnh hình vuông (chiều rộng hình chữ nhật) là 0,5 m

Khi đó, chiều dài hình chữ nhật là: 0,5 × 4 = 2 (m)

Số mét nhôm cần dùng là: (2 + 0,5) × 2 = 5 (m)

Đáp số: 5 mét.

Chiều dài hình chữ nhật là:

8 × 3 = 24 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

8 × 24 = 192 (cm²)

Chu vi hình chữ nhật là:
(24 + 8) × 2 = 64 (cm)

Đáp số: Diện tích là 192 cm²

Chu vi là 64 cm

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó là:

36 : 4 = 9 (m)

Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật đó là:

36 × 9 = 324 (m²)

Đáp số: 324 m².

Ta có: 187 250 : 8 = 23 406 (dư 2)

Vậy ta có thể xếp được vào nhiều nhất 23 406 hộp và còn thừa 2 cái áo         

Đáp số: 23 406 hộp và còn thừa 2 cái áo

Số lít xăng ở mỗi bể là:

128 610 : 6 = 21 435 (l)

Đáp số: 21 435 lít.

Tuổi bố 5 năm trước là:

(62 + 30) : 2 = 46 (tuổi)

Tuổi con 5 năm trước là:

62 - 46 = 16 (tuổi)

Tuổi bố hiện nay là:

46 + 5 = 51 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là:

16 + 5 = 21 (tuổi)

Đáp số: Tuổi bố: 51 tuổi;

   Tuổi con: 21 tuổi.

Lời giải:

Tuổi bố sau 5 năm nữa là:

30 + 5 = 35 (tuổi)

Tuổi con sau 5 năm nữa là:

35 : 5 = 7 (tuổi)

Tuổi con bây giờ là:

7 - 5 = 2 (tuổi)

Đáp số: 2 tuổi.

Lời giải:

Vậy số dư của phép chia 218 : 3,7 là 3,40.

Tổng số lít dầu của cả hai thùng là:

21 + 15 = 36 (l)

Có tất cả số chai dầu là:

36 : 0,75 = 48 (chai)

a)

Ta có : OM + MN = ON

Þ MN = ON - OM = 7 - 3 = 4 (cm)

Vậy MN = 4 cm

Trường hợp 1: P nằm giữa M và O

Ta có: OP + PM = OM

Þ OP = OM - PM = 3 - 2 = 1 (cm)

Vậy OP = 1 cm

Trường hợp 2: M nằm giữa O và P

Ta có: OM + MP = OP

Þ OP = OM + MP = 3 + 2 = 5 (cm)

Vậy OP = 5 cm

c) Theo trường hợp 2 ta có:

MN - MP = PN

Þ PN = MN - MP = 4 - 2 = 2 (cm)

vì MP = PN = $\frac{MN}{2}$= 2 (cm)

nên P là trung điểm MN (đpcm)

Ta có $M=\left(\frac{2}{2a-b}+\frac{6b}{b^2-4a^2}-\frac{4}{2a+b}\right):\left(\frac{1+4a^2+4b^2}{4a^2-b^2}\right)$

$=\frac{2\left(2a+b\right)-6b-4\left(2a-b\right)}{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}.\frac{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}{4a^2+4b^2+1}$

$=\frac{4a+2b-6b-8a+4b}{4a^2+4b^2+1}$

$=\frac{-4a}{4a^2+4b^2+1}$

Tỉ số phần trăm của 2 và $\frac{3}{4}$là:

2 : $\frac{3}{4}$× 100 = 266,6%

Tỉ số phần trăm của 3 và $\frac{4}{7}$ là:

3 : $\frac{4}{7}$× 100 = 525%

Vậy tỉ số phần trăm của 2 và $\frac{3}{4}$ là 266,6%; tỉ số phần trăm của 3 và $\frac{4}{7}$ là 525%.

Ta có: Gấp thừa số thứ nhất lên 2 lần, thừa số thứ hai lên 4 lần đồng nghĩa với việc thừa số sẽ được gấp lên 2 lần và 4 lần.

Vậy, tích mới của 2 số là:

34,6 × 2 × 4 = 276,8

Đáp số: 276,8

20,14 × 6,8 + 20,14 × 3,2

= 20,14 × (6,8 + 3,2)

= 20,14 × 10 = 201,4.

a) (a + b - c) - (b - c + d)

= a + b - c - b + c - d

= a + (b - b) + (-c + c) - d

= a - d

b) -(a - b + c) + (a - b + d)

= -a + b - c + a - b + d

= (a - a) + (b - b) - c + d

= d - c.

c) (a + b) - (-a + b - c)

 = a + b + a - b + c

= (a + a) + (b - b) + c

= 2a + c.

d) -(a + b) + (a + b + c)

= -a - b + a + b + c

= (-a + a) + (-b + b) + c = c.

e) (a - b + c) - (a - b + c)

= a - b + c - a + b - c

= (a - a) + (-b + b) + (c - c) = 0.

f) -(a - b - c) + (a - b - c)

= -a + b + c + a - b - c

= (-a + a) + (b - b) + (c - c) = 0.

(-2020) - 2018 - 2016 - ... - 2008

= -(2008 + ... + 2016 + 2018 + 2020)

= {(2020 . 2008) . [(2020 - 2018) : 2 + 1] : 2}

= -(4028 . 7 : 2)

= -(2014 . 7)

= -14098

a) Hàm số bậc nhất khi 5 - 2m ≠ 0 Û m ≠ $\frac{5}{2}$

b) Hàm số nghịch biến khi 5 - 2m < 0 Û 2m > 5

Û m > $\frac{5}{2}$

c) Với m = 1 hàm số trở thành y = (5 - 2.1)x + 3

Û y = 3x + 3

+) Cho x = 0 Þ y = 3 Þ (0; 3) thuộc Oy.

+) Cho y = 0 Þ x = -1 Þ (-1; 0) thuộc Ox.

Do đó, đồ thị hàm số y = 3x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 3) và (-1; 0).

Gọi số đó là A (A Î ℕ*)

Vì A chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5 nên ta có:

A = 5k + 1 = 7h + 5 ("k, h Î ℕ*)

Þ A + 9 = 5k + 1 + 9 = 5k + 10 = 5.(k + 2)

A + 9 = 7h + 5 + 9 = 7h + 14 = 7.(h + 2)

Þ A + 9 chia hết cho 5 và 7

Þ A + 9 là BCNN(5, 7)

Mà ƯCLN(5, 7) = 1 nên BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35

Þ A + 9 = 35

Þ A = 35 - 9 = 26

Vậy số cần tìm là 26

Ta có số cũ dạng $\overline{ab}$, số mới $\overline{a0b}$

Ta có: a . 100 + b = (a . 10 + b) . 7

a . 100 + b = a . 70 + b . 7

a . 30 = b . 6 Þ a . 5 = b . 1

Vậy số đó là 15

Nửa chu vi thửa ruộng đó là:

96 : 2 = 48 (m)

Chiều dài thửa ruộng đó là:

(48 + 30) : 2 = 39 (m)

Chiều rộng thửa ruộng đó là:

48 - 39 = 9 (m)

Diện tích thửa ruộng đó là:

39 × 9 = 351 (m²)

Đáp số: 351 m².

Số số hạng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là n.

Tổng của các dãy số đó là: (n + 1) × n : 2

Có: (n + 1) × n : 2 = 190

(n + 1) × n = 190 × 2 = 380 = 19 × 20

Suy ra n = 19.

Giả sử ta có tam giác vuông như hình vẽ

Với góc a < 90^° ta có b là cạnh kề, a là cạnh đối, h là cạnh huyền.

Với góc b < 90^° ta có a là cạnh kề, b là cạnh đối, h là cạnh huyền.

Tóm lại :

Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông,

Cạnh kề là cạnh góc vuông kề với góc đó,

Cạnh đối là cạnh góc vuông đối diện với góc đó

Đáp án đúng là: C

Hàm số nghịch biến

Û $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff x{\left(x-2\right)}^3<0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\left(x-2\right)}^3<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ {\left(x-2\right)}^3>0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

a) (Hình a) Lấy điểm I trên đường trung tuyến AM sao cho I là trung điểm của AG. Kẻ AA', BB', CC', II', MM' vuông góc với d.

Đáp số: AA' = BB' + CC'

b) (Hình b) Gọi BE là đường trung tuyến của AC, M là trung điểm của BG. Vẽ AA', BB', CC', II', MM' vuông góc với d.

Ta có: MM' + EE' = 2GG'

Þ 2MM' + 2EE' = 4GG'

Þ BB' + GG' + AA' + CC' = 4GG'

Þ AA' + BB' + CC' = 3GG'

Gọi sau ít nhất m ngày thì hai bạn cùng đến thư viện (m Î ℕ*)

Vì số ngày ít nhất nên m là BCNN(8, 10)

Ta có: 8 = 2³; 10 = 2 . 5.

BCNN(8, 10) = 2³ . 5 = 40.

Vậy sau 40 ngày thì hai bạn cùng nhau đến thư viện.

Đổi 3 tạ rưỡi = 350 kg

1 tạ rưỡi = 150 kg

Buổi chiều và buổi tối bán được số gạo là:

350 - 150 = 200 (kg)

Buổi chiều bán được số gạo là:

(200 - 60) : 2 = 70 (kg)

Buổi tối bán được số gạo là:

200 - 70 = 130 (kg)

Đổi 70 kg = 0,7 tạ

130 kg = 1,3 tạ

2x = 3y Þ $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}$ (1)

$5y=7z\Rightarrow \frac{y}{7}=\frac{z}{5}\Rightarrow \frac{y}{14}=\frac{z}{10}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}\Rightarrow \frac{3x}{63}=\frac{7y}{98}=\frac{5z}{50}=\frac{3x-7y+5z}{63-98+50}=\frac{30}{15}=2$

Khi đó:

• $\frac{x}{21}=2\Rightarrow x=42$

• $\frac{y}{14}=2\Rightarrow y=28$

• $\frac{z}{10}=2\Rightarrow z=20$

Vậy x = 42, y = 28, z = 20.

Xét tam giác ABE có: AB // DG (do AB // CD)

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có:

$\frac{DE}{EB}=\frac{DG}{AB}=\frac{DG}{CD}=\frac{1}{4}$

Mà DE + EB = DB

Þ DE = $\frac{1}{5}$DB

Þ $\frac{DE}{DB}=\frac{1}{5}$

a) Xét DMAO và DMCO có:

MA = MC

MO: chung

AO = AC    

Do đó DMAO = DMCO (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{COM}$ (hai góc tương ứng).

Nên OM là phân giác $\widehat{AOC}$ mà tam giác AOC cân tại O.

Do đó OM là đường cao của DAOC.

Vậy OM ^ AC.

b) Từ câu a ta suy ra được OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Nên OM ^ AC mà NC ^ AC

Suy ra OM // NC   (1)

Ta lại có: AI = IC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung bình của DONC.

Vậy M là trung điểm của AN.

c) Ta thấy rằng CH // AN (vì cùng vuông góc AB)

Suy ra $\frac{CK}{MN}=\frac{BK}{BM}=\frac{KH}{AM}$.

Mà MN = AM nên CK = KH.

Vậy K là trung điểm của CH.

2cos²(x) + 3sin²(x) = 2

Û 2cos²(x) + 2sin²(x) + sin²(x) = 2 (do sin²(x) + cos²(x) = 1)

Û 2 + sin²(x) = 2

Û sin²(x) = 0

Û sin(x) = 0

Û x = kp (k Î ℤ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = kp (k Î ℤ)

a) 10^2k - 1 = (10^k)² - 1² ⋮ (10^k - 1)

Mà 10^k - 1 ⋮ 19

Þ 10^2k - 1 ⋮ 19

b) 10^3k - 1 = (10^k)³ - 1³ ⋮ (10^k - 1)

mà 10^k - 1 ⋮ 19

Þ 10^3k - 1 ⋮ 19

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

5 - 1 = 4 (phần)

Tuổi của bố là:
(28 : 4) . 5 + 4 = 39 (tuổi)

Tuổi của con là:

39 - 28 = 11 (tuổi)

Đáp số: Tuổi bố: 39 tuổi;

   Tuổi con: 11 tuổi.

x³ + 2x - 3 = x³ - x² + x² - x + 3x - 3

= x²(x - 1) + x(x - 1) + 3(x - 1)

= (x - 1)(x² + x + 3)

a) Vì a là góc tù (90° < a < 180°) nên cosa < 0

Ta có: sin²a + cos²a = 1

Þ $\frac{1}{9}+c{\text{os}}^2\left(\alpha \right)=1$

$\Rightarrow {\cos }^2\left(\alpha \right)=\frac{8}{9}$

$\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (do cosa < 0)

Do đó: tana =  $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{3}:\frac{-2\sqrt{2}}{3}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=-2\sqrt{2}$

Vậy cosa = $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$; tana = $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ và cota = $-2\sqrt{2}$

x³ - 10x² + 25x

= x(x² - 10x + 25)

= x(x² - 2 . x . 5 + 5²)

= x(x - 5)²

Vì a ³ 3, b ³ 4 và c ³ 2, ta có:

• $ab\sqrt{c-2}\ge 3b\sqrt{c-2}\ge 3b$;

• $bc\sqrt{a-3}\ge 4c\sqrt{a-3}\ge 4c$;

• $ca\sqrt{b-4}\ge 2a\sqrt{b-4}\ge 2a$.

Do đó $ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{c-4}\ge 3b+4c+2a$

Mà $\frac{3b+4c+2a}{2\sqrt{2}}\le \frac{3.4+4.2+2.3}{2\sqrt{2}}=\frac{26}{2\sqrt{2}}=\frac{13}{\sqrt{2}}$

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{13}{\sqrt{2}}$.

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{13}{\sqrt{2}}$khi a = 3, b = 4, c = 2.

Theo đề bài ta có hình vẽ:

Chia phần tăng thêm thành ba hình chữ nhật như hình vẽ

Hình III có chiều rộng là 5 m, chiều dài là: 35 + 5 = 40 (m)

Diện tích hình III là:

40 × 5 = 200 (m²)

Hình I và hình II vì đều có chiều rộng bằng 5 m và chiều dài bằng chiều rộng cũ của khu đất

Tổng diện tích khu đất hình I và hình II là:

1450 - 200 = 1250 (m²)

Diện tích hình I hay hình II là:

1250 : 2 = 625 (m²)

Chiều rộng của khu đất là:

625 : 5 = 125 (m)

Chiều dài của khu đất là:

125 + 35 = 160 (m)

Diện tích của khu đất là:

160 × 125 = 20 000 (m²)

Đổi: 20 000 m² = 2 ha

Đáp số: 2 ha

18 + 3(x - 2) = 63

Û 3(x - 2) = 63 - 18

Û 3(x - 2) = 45

Û x - 2 = 45 : 3

Û x - 2 = 15

Û x = 15 + 2

Û x = 17

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 17.

Số kẹo đủ để chia cho mỗi bạn 6 chiếc nhiều hơn số kẹo đủ để chia cho mỗi bạn 5 chiếc là:

3 + 5 = 8 (chiếc)

Số kẹo mỗi bạn được chia 6 chiếc nhiều hơn số kẹo mỗi bạn được chia 5 chiếc là:

6 - 5 = 1 (chiếc)

Số bạn có tất cả là:
8 : 1 = 8 (bạn)

Số kẹo có tất cả là:

8 × 5 + 3 = 43 (chiếc)

Đáp số: 43 chiếc kẹo

Giả sử số tự nhiên chia hết cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1 là A

Do A chia hết cho 15 dư 6 suy ra A = 15m + 6 (m là số tự nhiên bất kì)

A chia hết cho 9 dư 1 suy ra A = 9n + 1 (n là số tự nhiên bất kì)

Þ 15m + 6 = 9n + 1

Þ 9n - 15m = 6 - 1 (Quy tắc chuyển vế)

Þ 9n - 15m = 5

Ta lại có:$\left\{\begin{array}{l}9n⋮3\\ 15m⋮3\end{array}\right.\Rightarrow \left(9n-15m\right)⋮3$ (theo tính chất chia hết của một hiệu)

Khi đó 5 phải chia hết cho 3 (Vô lí)

Vậy không tồn tại số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện chia hết cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1

Ta có bất đẳng thức Bunhiacopski: (a² + b²)(x2²²²² + y²) ³ (ax + by)²

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

$\left[{\left(a^5\right)}^2+{\left(b^5\right)}^2\right]{\left(a^2+b^2\right)}^3{\left(a^6+b^6\right)}^2$     (1)

$\left[{\left(a^4\right)}^2+{\left(b^4\right)}^2\right]{\left[{\left(a^2\right)}^2+{\left(b^2\right)}^2\right]}^3{\left(a^6+b^6\right)}^2$ (2)

Trừ từng vế của hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được:

$\left[{\left(a^5\right)}^2+{\left(b^5\right)}^2\right]\left(a^2+b^2\right)-\left[{\left(a^4\right)}^2+{\left(b^4\right)}^2\right]{\left[{\left(a^2\right)}^2+{\left(b^2\right)}^2\right]}^3{\left(a^6+b^6\right)}^2-{\left(a^6+b^6\right)}^2$ 

Û (a¹⁰ + b¹⁰)(a² + b²) - (a⁸ + b⁸)(a⁴ + b⁴) ³ 0

Û (a¹⁰ + b¹⁰)(a² + b²) ³ (a⁸ + b⁸)(a⁴ + b⁴)

Dấu "=" xảy ra khi a = b.

Anh hơn em số tuổi là:

13 - 3 = 10 (tuổi)

Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi nên anh luôn luôn hơn em 10 tuổi.

Số tuổi của anh gấp 3 lần số tuổi của em nên ta có sơ đồ hiệu tỉ

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

3 - 1 = 2 (phần)

Khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em thì khi đó tuổi em là:

10 : 2 = 5 (tuổi)

Vậy sau số năm tuổi anh gấp 3 lần tuổi em là:

5 - 3 = 2 (năm)

Đáp án: 2 năm

Để ăn hết số gạo đó trong 1 ngày cần số em là:

120 × 20 = 2400 (em)

Số gạo còn ăn được trong số ngày nữa là:

20 - 4 = 16 (ngày)

Số em đến thêm là:

(2400 : 16) - 120 = 30 (em)

Đáp số: 30 em.

Gọi số cần tìm là a

Giả sử a : 5 được b dư 3

Þ a = 5b + 3

Þ 2a = 10b + 6 = 10b + 5 + 1

Û 2a - 1 = 10b + 5 hay (2a - 1) ⋮ 5    (1)

Giả sử a : 7 được c dư 4

Þ a = 7c + 4

Þ 2a = 14c + 8 = 14c + 7 + 1

Þ 2a - 1 = 14c + 7 hay (2a - 1) ⋮ 7     (2)

Giả sử a : 9 được d dư 5

Þ a = 9d + 5

Þ 2a = 18d + 10 = 18d + 9 + 1

Þ 2a - 1 = 18d + 9 hay (2a - 1) ⋮ 9     (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (2a - 1) chia hết cho 5, 7 và 9.

Vì đề yêu cầu tìm số tự nhiên nhỏ nhất nên ta tìm bội chung nhỏ nhất của 5, 7, 9.

BCNN(5, 7, 9) = 5 . 7 . 9 = 315

Þ 2a - 1 = 315

Þ 2a = 316

Þ a = 158

Vậy số cần tìm là 158.

Trước đây giá 1 m vải là:

60 000 : 5 = 12 000 (đồng)

Hiện nay, giá 1 m vải là:

12 000 - 2000 = 10 000 (đồng)

Hiện nay, với 60 000 đồng có thể mua được:

60 000 : 10 000 = 6 (m)

Đáp số: 6 m vải.

Tổng của ba số là:

(182 + 188 + 176) : 2 = 273

Số thứ nhất là:

273 - 176 = 97

Số thứ hai là:

273 - 188 = 85

Số thứ ba là:

273 - 182 = 91

Đáp số: Số thứ nhất: 97;

Số thứ hai: 85;

Số thứ ba: 91.

a) Ta có: 360 và 560 chia hết cho A Þ A Î ƯC(360, 560)

Mặt khác: A lớn nhất nên A = ƯCLN(360, 560)

Ta có: 360 = 2³ . 3² . 5; 560 = 2⁴ . 5 . 7.

Do đó A = ƯCLN(360, 560) = 2³ . 5 = 40

Vậy A = 40.

b) Ta có: A chia hết cho 15 và 25 Þ A Î BC(15, 25)

Mặt khác A ≠ 0 và nhỏ nhất Þ A = BCNN(15, 25)

Ta có: 15 = 3 . 5; 25 = 5².

Do đó A = BCNN(15, 25) = 3 . 5² = 75.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ với a, b Î ℕ* và a, b £ 9; a ≠ 0

Theo bài ra ta có:

$\overline{a00b}=6.\overline{ab}$

Þ 1000a + b = 6(10a + b)

Þ 940a = 5b

Þ 188a = b

Vì b £ 9 hay 188a £ 9 nên a < 1.

Mà a là số tự nhiên khác 0 nên vô lý

Vậy không tồn tại số thoả mãn

Nếu tăng chiều dài bao nhiêu lần thì diện tích tăng bấy nhiêu lần

Nếu tăng chiều rộng bao nhiêu lần thì diện tích tăng bấy nhiêu lần

Vậy diện tích tăng số lần là: 3 . 2 = 6 (lần)

Đáp số: 6 lần

Ta có số bi xanh là 48 viên

Số bi trắng là:

48 - 5 = 43 (viên)

Số bi đỏ là:

48 + 12 = 60 (viên)

Tổng số viên bi trong hộp là:

48 + 43 + 60 = 151 (viên)

Đáp số: 151 viên

Ta có: M = 1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²

= 1 + 2(1 + 1) + ... + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)

= 1 + 1.2 + 2 + ... + 98.99 + 99 + 99.100 + 100

= (1.2 + 2.3 + ... + 99.100) + (1 + 2 + ... + 99 + 100)

= 333 300 + 5050 = 338 050

Gọi 4 số đó là a + 1; a + 2; a + 3; a + 4

4 số đó chia cho 5 được những số dư khác nhau Þ Các số dư là 1; 2; 3 và 4

Giả sử (a + 1) : 5 dư 1; ....

Þ [(a + 1) - 1] = a ⋮ 5; ...

Tổng của chúng là:

(a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) = a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4

= 5a + 1 + 2 + 3 + 4 = 5a + 10

Vì 5a ⋮ 5 và 10 ⋮ 5

Þ Tổng của 4 số chia hết cho 5

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ thì $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}=\frac{3}{xyz}$

Do đó M = $\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)$

$=xyz.\frac{3}{xyz}=3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=3$.

Đặt A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Ta có: A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Suy ra 2A = 2(2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ)

= 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ... + n.2^{n + 1}

Do đó 2A - A = A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³) + ... + (n - n + 1).2ⁿ - n.2^{n + 1}

= 2.2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ -n.2^{n + 1}

= 2² + (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2^{n + 1}) - (n + 1) . 2^{n + 1}

Đặt B = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2^{n + 1}

Suy ra 2B = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2^{n + 2}

Do đó 2B - B = B = 2^{n + 2} - 2²

Þ B = 2^{n + 2} - 2² = 2² - 2^{n + 2} + 2² + (n + 1).2^{n + 1}

= (n + 1).2^{n + 1} - 2^{n + 2}

= 2^{n + 1}(n + 1 - 2)

= (n - 1).2ⁿ⁺¹ = 2(n - 1).2ⁿ

Mà A = 2(n - 1).2ⁿ = 2^{n + 11}

Þ 2(n - 1) = 2¹¹ Þ n - 1 = 2¹⁰

Þ n - 1 = 1024 Þ n = 1025

Vậy n = 1025.

Diện tích cây xanh bằng:

$\frac{6}{7}-\frac{2}{5}=\frac{16}{35}$ (diện tích công viên)

Đáp số: $\frac{16}{35}$ diện tích công viên.

(0,4)^x - (2,5)^x+1 > 1,5

Û ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x-{\left(\frac{5}{2}\right)}^{x+1}>1,5$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-\frac{5}{2}.{\left(\frac{5}{2}\right)}^x>1,5$

Đặt t = ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x>0$, BPT trở thành:

t - $\frac{5}{2}.\frac{1}{t}>1,5$

Û t² - 1,5t - $\frac{5}{2}$ > 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t>\frac{5}{2}\\ t<-1\left(L\right)\end{array}\right.$

Suy ra ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x>\frac{5}{2}$

$\iff x<{\log }_{\frac{2}{5}}\left(\frac{5}{2}\right)$

Û x < -1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x < -1.

Do số hàng dọc của mỗi khối là như nhau nên số hàng dọc sẽ là ước chung của 300, 276, 252

Hơn nữa cần xếp nhiều nhất thành các hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng nên số hàng là ƯCLN(300, 276, 252)

Ta có: 300 = 2² . 3 . 5²

276 = 2² . 3 . 23

252 = 2² . 3² . 7

ƯCLN(300, 276, 252) = 2² . 3 = 12

Vậy có thể xếp nhiều nhất học sinh của ba khối 6, 7 và 8 thành 12 hàng.

Khi đó ở mỗi hàng:

+) Khối 6 có 300 : 12 = 25 (học sinh)

+) Khối 7 có 276 : 12 = 23 (học sinh)

+) Khối 8 có 252 : 12 = 21 (học sinh) 

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

3 + 5 = 8 (phần)

Chiều rộng sân trường đó là:

120 : (8 × 3) = 45 (m)

Chiều dài sân trường đó là:

120 - 45 = 75 (m)

Diện tích sân trường đó là:

75 × 45 = 3375 (m²)

Đổi 3 375 m² = 0,3375 ha

Đáp số: 3 375 m²; 0,3375 ha.