- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 75)
-
10432 lượt thi
-
48 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} - 1\] tại điểm có hoành độ x = ‒1 là:
Đáp án đúng là: C
Ta có y′ = x3 + x
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1 là k = y′(−1) = −2
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2:
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2030 và hiệu của số lớn và số bé bằng 30.
a) Gọi số lớn là x (x > 30,x ∈ ℕ), số bé là y (y ∈ ℕ)
Ta có tổng của hai số là 2030 nên ta có phương trình x + y = 2030 (1)
Hiệu của số lớn và số bé là 30 nên ta có phương trình x ‒ y = 30 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2030\\x - y = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2060\\x - y = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1030\\y = 1000\end{array} \right.\](Thỏa mãn)
Vậy số lớn là 1030, số bé là 1000.
Câu 3:
Cho đường tròn (C): x2 + y2 ‒ 2x + 2y ‒ 7 = 0 và đường thẳng d: x + y + 1 = 0. Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài bằng 2.
Đáp án đúng là: A
Tâm O(1; ‒1), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} - \left( { - 7} \right)} = 3\)
Gọi đường thẳng cần tìm là d’: x + y + c = 0.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d’ và (C).
Xét ∆OHB vuông tại H (H là chân đường cao kẻ từ O trong tam giác OAB ).
Ta có: \(d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {1 + \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt 2 }} = OH = \sqrt {O{B^2} - B{H^2}} \)\( = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = 2\sqrt 2 .\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| c \right| = 4 \Leftrightarrow c = \pm 4\)
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng x + y + 4 = 0 hoặc x + y ‒ 4 = 0.
Câu 4:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2:
Đáp án đúng là: D
Lấy 1 điểm A bất kì thuộc d1 và 1 điểm B bất kì nằm trên đường thẳng d2.
Khi đó, tịnh tiến theo \[\overrightarrow {AB} \] biến đường thẳng d1 thành d2.
Vì A; B là bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn.
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn CD. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Đáp án đúng là: B
\[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MCD} \right)\\M \in \left( {SAB} \right)\\AB//CD\end{array} \right.\]
⇒ (MCD) ∩ (SAB) = ∆ (Với ∆ là đường thẳng qua M và ∆ // AB // CD)
⇒ (MCD) ∩ SB = SB ∩ ∆ = N
⇒ MN // AB // CD
Câu 6:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi M là trung điểm CD, (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với B'D và CD'. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
Đáp án đúng là: A
Trong (CDD′C′) kẻ đường thẳng qua M song song với C′D′ cắt DD′ tại N, cắt C′D′ tại J,cắt CC′tại K.
Trong (B′DD′) kẻ đường thẳng qua N song song với B′D cắt B′D′ tại I.
Trong (A′B′C′D′) nối IJ cắt A′D′ tại P ,cắt C′B′ tại Q.
Trong (CBB′C′) nối QK cắt CB tại E.
Thiết diện là ngũ giác MNPQE.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 7:
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Các vec tơ đối của vecto \[\overrightarrow {OD} \] là:
Đáp án đúng là: A
Các vecto đối của vecto \[\overrightarrow {OD} \] là: \[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {CB} .\]
Câu 8:
Với \[\overrightarrow {DE} \] (khác vec tơ – không) thì độ dài đoạn ED được gọi là:
Đáp án đúng là: D
Véc tơ \[\overrightarrow {DE} \] và \[\overrightarrow {ED} \]đều có độ dài là đoạn thẳng DE.
Câu 9:
Phương trình \[\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0\] có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp của tham số m là:
Đáp án đúng là: C
Xét |x − 2| (x + 1) + m = 0 (1)
Với x ≥ 2, ta có: (1) ⇔ (x − 2)(x + 1) + m = 0 ⇔ m = −x2 + x + 2
Với x<2, ta có: (1) ⇔ −(x − 2)(x + 1) + m = 0 ⇔m = x2 − x − 2
Đặt \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + x + 2,x \ge 2\\{x^2} - x - 2,x < 2\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có \[ - \frac{9}{4} < m < 0.\]
Câu 10:
Cho hàm số \[y = \frac{{x + b}}{{cx - 1}}\] có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số: \[y = \frac{{x + b}}{{cx - 1}}\] có tập xác định \[x = \frac{1}{c} > 0 \Rightarrow c > 0.\]
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + b}}{{cx - 1}}\] cắt trục tung tại điểm có tung độ y = −b < 0 ⇒ b > 0.
Câu 11:
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\] như hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng?
Đáp án đúng là: D
Ta có đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\] đi qua điểm có tọa độ (0; −1)
Thay x = 0; y = −1 vào hàm số ta được \[ - 1 = \frac{{a \cdot 0 + 2}}{{c \cdot 0 + b}} \Rightarrow b = - 2.\]
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + 2}}{{cx - 2}}\]có ⇒ a = 1; b = −2; c = 1
Đáp án cần chọn là: D.
Câu 12:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a,AB=3a,AC=5a. Thể tích của khối hộp đã cho là:
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:
\[AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {{{25}^2} - 9{a^2}} = 4a.\]
Vậy: VABCD.A’B’C’D’ = AA’.AB.AD = a.3a.4a = 12a3.
Câu 13:
Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:
Đáp án đúng là: C
Vì 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B.
Số cách xếp 5 học sinh lớp A vào 5 cặp ghế là 5! cách. Số cách xếp 5 học sinh lớp B vào 5 cặp ghế là 5! cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.
Theo quy tắc nhân thì có (5!)2.25 = 460800 cách.
Câu 14:
Cho hai hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}}\)và y =|x+2|−x + m (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1) và (C2) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là:
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:
\(\frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} = \left| {x + 2} \right| - x + m\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x = m\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x\) có TXĐ: D = ℝ ∖ {‒1; 0; 1; 2}.
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} - \frac{{x + 2}}{{\left| {x + 2} \right|}} + 1\)
\( = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\forall x \in D\)
Do \(\left| {x + 2} \right| \ge x + 2\forall x \Rightarrow \left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge 0\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\forall x \in D \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≥ 2.
Câu 15:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \[\widehat {BAD} = 60^\circ ,\] SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng:
Đáp án đúng là: A
Ta có: AB // (SCD)
⇒ d(B; (SCD)) = d(A; (SCD)) = d
Kẻ AH ⊥ CD; AK ⊥ SH
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot SA}\\{CD \bot AH}\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right)} \right.\)
⇒ CD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (SCD)
⇒ d(B; (SCD)) = d = AK.
Xét ∆AHD vuông tại H, \[\widehat {ADH} = 60^\circ \]
ta có: \(AH = AD \cdot {\rm{sin}}60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHA vuông tại A có đường cao AK ta có: \(AK = \frac{{SA \cdot AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }}\)\( = \frac{{a \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7} = d.\)
Câu 16:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, \[\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: A
Trong ( SAB ) qua M kẻ MN // AB, trong (SAC) kẻ MP // AC.
Khi đó ta có (MNP) // (ABC).
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( P \right){\rm{.\;}}\)
Thiết diện của (P) và hình chóp là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{4}{9}{S_{ABC}}\)
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\rm{sin}}30^\circ = 4\)
\( \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{4}{9} \cdot 4 = \frac{{16}}{9}\)
Đáp án cần chọn là: \({\rm{A}}\)
Câu 17:
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác định: \(4\overrightarrow {BM} - 3\overrightarrow {BC} = \vec 0\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(4\overrightarrow {BM} - 3\overrightarrow {BC} = \vec 0 \Leftrightarrow 4\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} - 4\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 18:
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: C
Ta có BD là đường kính \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \).
Ta có AH ⊥ BC, DC ⊥ BC ⇒ AH // DC (1).
Ta lại có CH ⊥ AB, DA ⊥ AB ⇒ CH // DA (2).
Từ (1) (2) \( \Rightarrow \) tứ giác HADC là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} .\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 19:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x ‒ y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \] biến d thành chính nó thì vectơ \[\overrightarrow v \] phải là vectơ nào trong các vectơ sau?
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có VTPT \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\]⇒ VTCP \[\overrightarrow u = \left( {1;2} \right).\]
Để d biến thành chính nó khi và chỉ khi vectơ \[\overrightarrow v \] cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
Vậy \[\overrightarrow v = \left( {1;2} \right).\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 20:
Elip (E) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có tâm sai bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,(a,b > 0)\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = 25}\\{{b^2} = 9}\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b = 3}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy tâm sai của Elip \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)
Đáp án cần chọn là: \({\rm{A}}\)
Câu 21:
Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\]
Đáp án đúng là: A
\[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 2x - 2 \le 0\\2y - x - 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\end{array} \right.\] (*)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1:y − 2x − 2=0, d2: 2y − x− 4= 0, d3: x + y − 5 = 0.
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng (tam giác ABC kể cả biên) tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (*) là
A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4).
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;2} \right) = 2\\F\left( {2;3} \right) = 1\\F\left( {1;4} \right) = 3\end{array} \right.\]
Suy ra Fmin = 1.
Câu 22:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m2(x4 ‒ 1) + m(x2 ‒ 1) ‒ 6(x ‒ 1) ≥ 0 đúng với mọi x ∈ ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
Đáp án đúng là: C
f(x) = m2(x4 ‒ 1) + m(x2 ‒ 1) ‒ 6(x ‒ 1) ≥ 0, x ∈ ℝ
⇔ m2(x2 ‒ 1)(x2 + 1) + m(x ‒ 1)(x + 1) ‒ 6(x ‒ 1) ≥ 0, x ∈ ℝ
⇔ (x ‒ 1)[m2x3 + m2x2 + (m2 + m)x + m2 + m ‒6], x ∈ ℝ
Để bất phương trình luôn đúng với mọi x thì suy ra:
• TH1: Phương trình m2x3 + m2x2 + (m2 + m)x + m2 + m ‒6 = 0 nghiệm đúng với mọi x
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 0\\{m^2} = 0\\{m^2} + m = 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\) (vô nghiệm)
• TH2: Đa thức m2x3 + m2x2 + (m2 + m)x + m2 + m ‒6 có nghiệm x = 1
Khi đó:
m2x3 + m2x2 + (m2 + m)x + m2 + m ‒6 = 0 ⇔ 4m2 + 2m ‒ 6 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)
Thử lại:
Với m = 1 thì (x ‒ 1)[x3 + x2 + 2x ‒ 4] ≥ 0 ⇔ (x ‒ 1)2(x2 + 2x + 4) ≥ 0 (luôn đúng)
Với \[m = - \frac{3}{2}\] thì \(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{9}{4}{x^3} + \frac{9}{4}{x^2} + \frac{3}{4}x - \frac{{21}}{4}} \right) \ge 0\)
⇔ (x ‒1)(3x3 + 3x2 + x ‒ 7) ≥ 0 ⇔ (x ‒ 1)2(3x2 + 6x + 7) ≥ 0 (luôn đúng)
Do đó \(m = 1;m = - \frac{3}{2}\) là các giá trị cần tìm.
Tổng \(S = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\).
Đáp án cần chọn là: C
Câu 23:
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(4;3)
Đáp án đúng là: A
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\] a > b > 0
Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: (a; b) ; (a; ‒b) ; ( ‒a; b) và (‒a; ‒b)
Ta có M( 4; 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\] ⇒ Phương trình chính tắc của (E) là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\]
Câu 24:
Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:
Đáp án đúng là: A
Hình hộp chữ nhật có 33 mặt phẳng đối xứng, đó là mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đối diện.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 25:
Cho đoạn thẳng AB có độ dài 3 cm và Điểm I, đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua I khi đó độ dài của A’B’ là:
Đáp án đúng là: A
Câu 26:
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,5% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi khoảng bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
Đáp án đúng là: A
Gọi là x số tiền gửi ban đầu.
Giả sử sau n năm số tiền vốn và lãi là 2x.
Ta có 2x ≈ x.(1,065)n ⇔ (1,065)n ≈ 2 ⇔ n ≈ log1,0652 ⇔ n ≈ 11.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 27:
Nghiệm của phương trình sin x = 1 là:
Đáp án đúng là: D
Sin x = 1 ⇔ \[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\]
Câu 28:
Biết \[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \]. Hỏi giá trị của sin4a + cos4a bằng bao nhiêu ?
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a = \sqrt 2 \Rightarrow 2 = {({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a)^2}\)
⇔ 2 = sin2a + 2sinacosa + cos2a
\( \Leftrightarrow 2 = 1 + 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a \Leftrightarrow 1 = 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a \Leftrightarrow {\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = \frac{1}{2}\)
Do đó \({\rm{si}}{{\rm{n}}^4}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}a = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a} \right) - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 29:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(‒2; 5), phép vị tự tâm O tỉ số 2 biến M thành điểm nào sau đây :
Đáp án đúng là: B
Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành điểm M’.
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {IM} \]
Gọi M’(x; y) là ảnh của M qua V(0; 2) ta có:
\[{V_{\left( {0;2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \]
⇔ (x; y) = 2(‒2; 5)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 10\end{array} \right.\]
⇒ M’(‒4; 10).
Câu 30:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(‒2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = ‒2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau?
Đáp án đúng là: C
Gọi điểm M′(x′; y′) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2.
V(O;−2)(M)=M′ \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = - 2\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left( {x';y'} \right) = - 2\left( { - 2;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4\\y' = - 8\end{array} \right.\]
⇒ M(4; ‒8).
Câu 31:
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (‒2; 1). Tìm tọa độ điểm N sao cho M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (‒3; 2) là:
M là ảnh ⇒ xM = xN + a, yM = yN + b
⇒ xN = xM ‒ a = (‒2) ‒ (‒3) = 1
yN = yM ‒ b = 1 ‒ 2 = ‒1
⇒ N(1; ‒1).
Câu 32:
Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 5). Tìm ảnh của điểm A qua phép Quay tâm O góc quay 180°
Đáp án đúng là: A
Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 180°. Khi đó: A’(‒3; ‒5).
Câu 33:
Cho hàm số y = 3x4 − 2mx2 + 2m + m4. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3.
Đáp án đúng là: B
Ta có y′= 12x3 − 4mx = 4x(3x2 − m) = 4.
Đề đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0, khi đó tọa độ các điểm cực trị là A(0; 2m + m4), \(B\left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ;{m^4} - \frac{{{m^2}}}{3} + 2m} \right),\) \(C\left( { - \sqrt {\frac{m}{3}} ;{m^4} - \frac{{{m^2}}}{3} + 2m} \right)\)
Tam giác ABC cân tại A nên có diện tích \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d\left( {A;BC} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {\frac{m}{3}} \cdot \frac{{{m^2}}}{3} = \sqrt {\frac{m}{3}} \cdot \frac{{{m^2}}}{3}\)
Theo đề bài ta có \(\sqrt {\frac{m}{3}} \cdot \frac{{{m^2}}}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 3\).
Câu 34:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x4 ‒ 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m\left( {\rm{*}} \right)}\end{array}} \right.\)
Để hàm số có ba điểm cực trị⇔ m > 0.
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(A\left( {0;0} \right),B\left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right)\).
Tam giác ABC cân tại A, suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right) \cdot BC\) \( = \frac{1}{2}{m^2} \cdot 2\sqrt m = {m^2}\sqrt m \).
Theo bài ra, ta có \({S_{\Delta ABC}} < 1 \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 1\left( {TM} \right)\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 35:
Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y ‒ 7= 0 và d2: 2x ‒ 4y+ 9= 0.
Đáp án đúng là: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1 = (1; 2)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2 = (2; ‒4)
Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:
\[\varphi = \frac{{{n_1} \cdot {n_2}}}{{\left| {{n_1}} \right| \cdot \left| {{n_2}} \right|}} = - \frac{3}{5}.\]
Câu 36:
yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng
Đáp án đúng là: D
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 37:
Hàm số y = 2x ‒ 1 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau?
Đáp án đúng là: A
Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục hoành là \[\left( {\frac{1}{2};0} \right)\]. Loại B.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục tung là (0; −1). Chỉ có A thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 38:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng a: 2x + y + 5 = 0 và b: x ‒ 2y ‒ 3 = 0). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {{n_a}} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_b}} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_a}} \cdot \overrightarrow {{n_b}} = 0 \Rightarrow a \bot b\]
Do đó tồn tại phép quay góc 90° biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.
Đáp án cần chọn là: B.
Câu 39:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d: 2x ‒ y + 1 = 0 ). Để phép quay tâm I góc quay (2017π) biến d thành chính nó thì tọa độ của I là:
Đáp án đúng là: D
Q(I;2017π) = Q(I;π) là phép đối xứng tâm I, do đó để phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành chính nó thì I ∈ d, xét bốn đáp án ta thấy chỉ có đáp án D, điểm I(0; 1)∈d.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 40:
Cho hình bình hành ABCD, I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} = \vec 0\)
Câu 41:
Có bao nhiêu cách xếp (5 ) học sinh thành một hàng dọc?
Đáp án đúng là: D
Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là P5 = 5!=120 (cách).
Đáp án cần chọn là: D
Câu 42:
Xét phép vị tự V(I,3) biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hỏi chu vi tam giác A'B'C' gấp mấy lần chu vi tam giác ABC.
Đáp án đúng là: C
Qua phép vị tự V(I,3) thì
A'B' = 3AB
B'C' = 3BC
C'A' = 3CA.
Vậy chu vi tam giác A'B'C' gấp 3 lần chu vi tam giác ABC .
Câu 43:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y ‒ 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_a}} = \left( {4;3} \right).\]
Đường thẳng b: x + 7y ‒ 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_b}} = \left( {1;7} \right).\]
Góc α là góc tạo bởi a và b ta có:
\[cos\alpha = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_a}} ,\overrightarrow {{n_b}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 3 \cdot 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
⇒ α = 45°
Vậy φ = 45°.
Câu 44:
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng \[\frac{a}{6}\]Thể tích khối lăng trụ bằng
Mệnh đề nào đúng?
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A’M.
Ta có :
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right\}\) ⇒ BC ⊥ (AA’M) ⇒ BC ⊥ AH (1).
Mà AH ⊥ A’M (2).
Từ (1) và (2) ⇒ d(A, (A’BC)) = AH.
Ta có: \(\frac{{d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{MO}}{{MA}} = \frac{1}{3}\) (do tính chất trọng tâm).
\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác vuông A'AM :
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{4}{{{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)
Suy ra thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
\(V = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}.\)
Câu 45:
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ \[\overrightarrow {OC} \] có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
Đáp án đúng là: A
Các vectơ bằng vectơ \[\overrightarrow {OC} \] có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {ED} .\]
Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
Câu 46:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-5;9). Phép đối xứng tâm I(2; -6) biến M thành M’ thì tọa độ M’ là.
Đáp án đúng là: C
Phép đối xứng tâm I(x0; y0) biến M(x; y) thành M’(x’; y’) thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x = 2 \cdot 2 - \left( { - 5} \right) = 9\\y' = 2{y_0} - y = 2 \cdot \left( { - 6} \right) - 9 = - 21\end{array} \right.\]
Câu 47:
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ) cho phép đối xứng tâm I(1; 2) biến điểm M (x; y) thành M'(x'; y'). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\rm{\;}}\overrightarrow {IM'} = \left( {x' - 1;y' - 2} \right),\overrightarrow {IM} = \left( {x - 1;y - 2} \right)\)
Vì \({D_I}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' - 1 = - \left( {x - 1} \right)}\\{y' - 2 = - \left( {y - 2} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = - x + 2}\\{y' = - y + 4}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B.
Câu 48:
Cho phương trình \({\rm{cot}}x = \sqrt 3 .\) Các nghiệm của phương trình là:
Đáp án đúng là: B
Ta có:\[{\rm{\;cot}}x = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{cot}}x = {\rm{cot}}\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right){\rm{.\;}}\]