Quãng đường ô tô đi trong 1,5 giờ đầu tiên là:

55 × 1,5 = 82,5 (km)

Quãng đường ô tô đi trong 2 giờ sau là:

49,5 × 2 = 99 (km)

Quãng đường ô tô đã đi được là:

82,5 + 99 = 181,5 (km)

Đáp số: 181,5 km

Hoành độ gấp đôi tung độ: x = 2y

Do điểm này nằm trên đường thẳng y = 3x – 7 nên có:

y = 3 . 2y – 7

y = 6y – 7

y = 1,4

Thay y = 1,4 vào y = 3x – 7 ⇒ x = 2,8.

Gọi điểm M (x; y) là điểm cần tìm.

Vì M có tung độ gấp ba lần hoành độ nên M (x; 3x)

Thay tọa độ điểm M vào hàm số ta được:

$3x=-\frac{2}{5}{x}^2\iff \frac{2}{5}{x}^2+3x=0$

$\iff x\left(\frac{2}{5}x+3\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=0\\ x=\frac{-15}{2}\Rightarrow y=\frac{-45}{2}\end{array}\right.$

Vậy điểm trên (P) (khác gốc tọa độ O(0; 0)) có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là $\frac{-15}{2}$ .

Gọi phân số đã cho là $\frac{a}{b}$  .

Nếu mẫu số giảm đi 6 lần thì phân số sẽ có dạng $\frac{6.a}{b}$

Ta có:  $\frac{6.a}{b}:\frac{a}{b}=6$

Vậy phân số tăng lên 6 lần.

Nếu $m=a^x.b^y.c^z$  với a, b, c là số nguyên tố thì m có (x + 1). (y + 1). (z + 1) ước.

Ta có:  $150={\mathrm{2.3.5}}^2$với x = 1; y = 1; z = 2

Vậy số lượng ước của 150 là:

(1 + 1). (1 + 1). (2 + 1) = 12 (ước).

144 ⋮ a; 192 $\Rightarrow$ a a ∈ ƯC (144; 192)

Ta có:

$144=2^4{.3}^2$

$192=2^6.3$

ƯCLN (144; 192) = $144=2^4.3=48$

 Ư(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Mà a > 20 a ∈ {24; 48}.

Vì trong phép chia, số dư luôn nhỏ hơn số chia. Mà theo đề bài số dư là số dư, số chia bằng 9.

Suy ra số dư bằng 8.

Vậy số bị chia là:

125 × 9 + 8 = 1133

Đáp số: 1133.

Xét VT – VP = $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

= $\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[{\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right] \end{gathered}$$

Vì ${\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\ge 0$

Nên $\frac{1}{2}\left[{\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right]\ge 0$

Hay $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

Lời giải:

Ta có:

${\left(a+b+c\right)}^2+a^2+b^2+c^2$

$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2$

$=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(a^2+2ac+c^2\right)$

$={\left(a+b\right)}^2+{\left(b+c\right)}^2+{\left(a+c\right)}^2$.

Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó thì ta được số mới

Suy ra số mới gấp 10 lần lần số cũ

Tổng số mới và số cũ là:

198 × 2 = 396

Số mới là:

396 : (10 + 1) × 10 = 360

Số tự nhiên ban đầu là:

360 : 10 = 36.

Gọi hai phân số cần tìm lần lượt là a và b

Theo đề bài, ta có:    $a+b=\frac{1}{6}$  (1)

a : b = 2 ⇒ a = 2b thay vào (1) ta có: $2b+b=\frac{1}{6}\Rightarrow b=\frac{1}{18}$

$\Rightarrow a=2.\frac{1}{18}=\frac{1}{9}$

Vậy phân số bé là $\frac{1}{18}$  và có mẫu số là 18.

Gọi x là vận tốc (km/h) của ô tô thứ nhất (ĐK: x > 0)

Vận tốc của ô tô thứ hai: x + 8 (km/h)

Thời gian ô tô thứ nhất đi đến lúc gặp nhau là:

10 giờ – 6 giờ 30 phút = 3 giờ 30 phút = 3, 5 giờ

Thời gian ô tô thứ hai đi đến lúc gặp nhau là:

10 giờ – 7 giờ = 3 giờ

Hai ô tô gặp nhau nên cùng quãng đường, ta có:

x. 3,5 = (x + 8) . 3

⇔ 0,5x = 24

⇔ x = 48 (km/h)

Vận tốc ô tô thứ nhất là: 48 (km/h)

Vận tốc ô tô thứ hai là: 48 + 8 = 56 (km/h)

Độ dài quãng đường đã đi: 56 . 3 = 168 (km)

Đổi 3 tấn 6 tạ = 3600 kg

      4 tạ = 400 kg

Thửa ruộng thứ nhất thu hoạch được số thóc là:

(3600 – 400) : 2 = 1600 (kg)

Thửa ruộng thứ hai thu hoạch được số thóc là:

3600 – 1600 = 2000 (kg)

Đáp số: thửa ruộng 1: 1600 kg

Thửa ruộng 2: 2000 kg.

Đổi: 5 tấn 2 tạ = 52 tạ

Số thóc thu hoạch ở thửa ruộng thứ nhất là:

(52 + 8) : 2=30 (tạ)

30 tạ = 3000kg

Số thóc thu hoạch ở thửa ruộng thứ hai là: 

30 − 8 = 22 (tạ)

22 tạ = 2200kg

Đáp số: Thửa ruộng thứ nhất : 3000kg thóc;

Thửa ruộng thứ hai : 2200kg thóc.

Lời giải:

$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{99}}$

$3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{98}}$

Ta có:

3A – A = $1-\frac{1}{3^{99}}$

$\Rightarrow 2A=1-\frac{1}{3^{99}}$

$\Rightarrow A=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}<\frac{1}{2}$

Từ giả thiết 8 người sơn được 3 ngôi nhà trong vòng 6 giờ suy ra trung bình mỗi giờ 8 người sơn được:

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$(ngôi nhà)

Vậy trung bình 1 người 1 giờ sơn được:

$\frac{1}{2}:8=\frac{1}{2}.\frac{1}{8}=\frac{1}{16}$(ngôi nhà)

Do đó trong 12 giờ 12 người sẽ sơn được:

 $\frac{1}{16}\mathrm{.12.12}=9$(ngôi nhà)

Đáp số: 9 ngôi nhà

a, Áp dụng HTL tam giác:

$\begin{array}{c}A{B}^2=BH.BC=16\\ A{C}^2=BC.CH=8.\left(8-2\right)=48\\ A{H}^2=BH.CH=2\left(8-2\right)=12\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AB=4\left(cm\right)\\ AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\\ AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{array}\right.$

b,  $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}(=90°)$$\Rightarrow$ ADHB nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DHA}=\widehat{DBA}$ (cùng chắn AD)    (1)

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{CKB}=\widehat{KAB}+\widehat{ABD}=90°+\widehat{ABD}\\ \widehat{DHB}=\widehat{DHA}+\widehat{AHB}=\widehat{DHA}+90°\\ \widehat{ABD}=\widehat{DHA}\left(cmt\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{CKB}=\widehat{DHB}$

Có: $\widehat{CKB}=\widehat{DHB}$

 $\widehat{CKB}$chung

Suy ra $\Delta DHB\backsim \Delta CKB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\Rightarrow BD.BK=BH.BC$

Kéo dài OC cắt BD tại K.

Khi đó: $OD\perp OC\Rightarrow OD\perp CK\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{KOD}$

Xét   $\Delta AOC$và $\Delta BOK$  :

$\widehat{OAC}=\widehat{OBK}=90°$

OA = OB (gt)

$\widehat{AOC}=\widehat{BOK}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó:$\Delta AOC=\Delta BOK$  (g.c.g)

OC = OK; AC = BK (cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta DOC$  và $\Delta DOK$  :

OC = OK

$\widehat{DOC}=\widehat{DOK}=90°$

OD là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta DOC=\Delta DOK$ (c.g.c)

Suy ra: CD = DK (cạnh tương ứng bằng nhau)

Ta có: DK = DB + BK mà AC = BK; CD = DK

Do đó: CD = AC + BD.

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MA = MB; $\widehat{A}=\widehat{B}=90°$  ; $\widehat{AMC}=\widehat{BMK}$

$\Rightarrow \Delta MAC=\Delta MBK\Rightarrow MC=MK$

Mặt khác $DM\perp CK$

 $\Rightarrow \Delta DCK$ cân tại tại D   $\widehat{\Rightarrow CDM}=\widehat{KDM}$

Kẻ $MH\perp CD$

$\Rightarrow \Delta MHD=\Delta MBD\Rightarrow MH=MB=a$

$\Rightarrow S_{MCD}=\frac{1}{2}CD.MH\ge \frac{1}{2}AB.MH=\frac{1}{2}.2a.a=a^2$

 $S_{MCD}=a^2\iff CD\perp Ax$  khi đó $\widehat{AMC}=45°;\widehat{BMD}=45°$

Vậy min $S_{MCD}=a^2$  . Các điểm C, D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD = a .

Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 999.

Số bé nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102.

Số số có ba chữ số chia hết cho 3 là:

(999 − 102) : 3 + 1 = 300

Đáp số: 300 số.

Gọi độ dài cạnh góc vuông còn lại là x

Suy ra độ dài cạnh huyền là x + 3

Theo đề, ta có:

$$\begin{gathered} x^2+25={\left(x+3\right)}^2 \\ \Rightarrow x^2+25=x^2+6x+9 \\ \Rightarrow 6x=16 \\ \Rightarrow x=\frac{8}{3} \\ \Rightarrow S=\frac{1}{2}.\frac{8}{3}.5=\frac{20}{3} \end{gathered}$$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông:

$5^2+{12}^2={13}^2$ suy ra cạnh huyền bằng 13 cm.

Diện tích của một viên gạch lát nền là:

40 × 40 = 1600 (cm²)

Diện tích căn phòng là:

1600 × 200 = 320000 (cm²) = 32 m²

Đáp số: 32 m².

Chiều dài thửa ruộng là:

60 : 3 × 5 = 100 (m)

a, Diện tích thửa ruộng là:

100 × 60 = 6 000 (m²)

b, Số kilogam thóc người ta thu hoạch được là:

600 : 100 × 30 = 180 (kg thóc)

180 kg = 1,8 tạ

Đáp số: a, 6 000 m²

              b, 1,8 tạ thóc

Số quyển truyện cấp cho 8 xã vùng thấp là:

850 × 8 = 6800 (quyển truyện)

Số quyển truyện cấp cho 9 xã vùng cao là:

980 × 9 = 8820 (quyển truyện)

Số quyển truyện cấp cho huyện đó là:

6800 + 8820 = 15620 (quyển truyện)

Đáp số: 15620 (quyển truyện)

 $\frac{1}{3}$số dầu rót ra nặng:

100 – 71 = 29 (kg)

Cân nặng của số dầu trong thùng là:

29 × 3 = 87 (kg)

Cân nặng của thùng khi không có dầu bên trong là:

100 – 87 = 13 (kg)

Đáp số: 13 kg

Để sửa xong quãng đường trong 1 ngày thì cần số công nhân là:

55 × 11 = 605 (công nhân)

Để sửa xong quãng đường đó trong vòng 5 ngày thì cần:

605 : 5 = 121 (công nhân)

Số công nhân cần thêm là:

121 – 55 = 66 (công nhân)

Đáp số: 66 công nhân.

Ta có:

6 = 2 . 3

$8=2^3$;

10 = 2 . 5

Vì số học sinh khi xếp thành hàng 6; hàng 8; hàng 10 đều vừa đủ nên số học sinh khối 6 của trường là bội chung của 6; 8; 10.

BCNN(6; 8; 10) = $2^3\mathrm{.3.5}$   = 120.

BC(6; 8; 10) = {0; 120; 240; 360; 480; 600…}

Vì số học sinh không quá 500 và khi xếp hàng 7 dư 3 nghĩa là số học sinh không quá 500 em và chia cho 7 dư ra 3 học sinh.

Xét các bội chung nhỏ hơn 500 của 6; 8; 10 ta thấy chỉ có 360 chia 7 dư 3.

Vậy số học snh khối 6 của trường là 360 học sinh.

$$\begin{gathered} 5^{x-1}+5.0,2^{x-2}=26 \\ \iff 5^{x-1}+\frac{5}{5^{x-2}}=26\iff 5^{x-1}+\frac{25}{5^{x-1}}=26 \end{gathered}$$

Đặt $5^{x-1}=a$

$$\begin{gathered} \Rightarrow a+\frac{25}{a}=26 \\ \iff a^2-26a+25=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}a=1\\ a=25\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}{5}^{x-1}=1\\ 5^{x-1}=25\end{array}\right.\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x-1=0\\ x-1=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right. \\ {x}_1+x_2=1+3=4 \end{gathered}$$

Số học sinh khối 4 là:

240 :  $\frac{3}{4}$= 320 (học sinh)

Đáp số: 320 học sinh

a) Xét tứ giác AECD, có:

ID = IE (E đối xứng với D qua I)

IA = IC (do I là trung điểm của AC)

Do đó, AECD là hình bình hành.

b) Để AECD là hình chữ nhật ⇒ AD ⊥ CD

⇒ AD ⊥ BC

⇒ D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC hay AD là đường cao của tam giác ABC.

Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\Rightarrow AD=2,4$ (cm)

Ta có: CD² = AC² – AD² = 4² – 2,4² = 10,24 ⇒ CD = 3,2 (cm).

Gọi $H=MN\cap BF$

Tứ giác CNMD nội tiếp đường tròn tâm O

$\widehat{MNC}=\widehat{NDM}$ (cùng chắn dây cung MN)

Xét  $\Delta EFC$vuông tại E và $\Delta EFC$  vuông tại:

EC = ED (vì AB là trung trực của CD)

EF chung.

$\Rightarrow \Delta EFC=\Delta EFD$ suy ra CF = DF

Xét $\Delta CFN$  và $\Delta DEM$ :

$\widehat{MNC}=\widehat{NDM}$ (chứng minh trên)

CF = DF (chứng minh trên)

$\widehat{NFC}=\widehat{MFD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta CFN=\Delta DEM$ (g.c.g)

$\Rightarrow CN=DM$ (1)

Chứng minh $\Delta NFH=\Delta MFH$  (c.g.c)

$\Rightarrow AB\perp MN$ mà $AB\perp CD$

Suy ra MN // CD ⇒ MNCD là hình thang              (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thang cân.

Các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn là:  $\frac{8}{12};\frac{9}{12};\frac{10}{12}$hay $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{5}{6}$ .

Số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2000 có dạng $\overline{1abc}$

Trong đó:

a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 1)

b có 8 cách chọn

c có 7 cách chọn

Số các số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2000 là:

9 × 8 × 7 = 504 (số)

Đáp số: 504 số

Tổng số phần bằng nhau là:

5 + 3 = 8 (phần)

Chiều dài mảnh đất là:

64 : 8 × 5 = 40 (m)

Chiều rộng mảnh đất là:

64 – 40 = 24 (m)

b, Diện tích mảnh đất là:

40 × 24 = 960 (m²)

Diện tích phần đất làm nhà là:

960 ×$\frac{1}{12}$  = 80 (m²)

Đáp số: a, chiều dài 40m, chiều rộng 24m

b, Diện tích làm nhà 80 (m²)

Số bao gạo cửa hàng còn lại là:

100 – 40 = 60 (bao)

Số gạo cửa hàng còn lại là:

50 × 60 = 3000 (kg)

Đổi: 3000kg = 3 tấn

Kí hiệu A và B lần lượt là tập các học sinh học giỏi môn hóa và môn văn.

Ta có A ∪ B = 40. Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

n (A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 30 + 25 – 40 = 15

Vậy có 15 em học giỏi cả 2 môn.

Diện tích căn phòng hình chữ nhật là:

9 × 5 = 45 ( )

Phải tốn số tiền để mua gỗ lát cả căn phòng đó là:

250000 × 45 = 11250000 (đồng)

Đáp số: 11250000 đồng

 Gọi số học sinh khối 6 là a (học sinh)

Vì xếp mỗi hàng 6 em, 8 em hoặc 10 em thì vừa đủ nên a ϵ BC (6; 8; 10)

6 = 2. 3

BCNN (6; 8; 10) =

BC (6; 8; 10) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; 600; …}

Suy ra a = 480

Vậy số học sinh khối 6 là 480 học sinh.

Gọi m (m ∈ N và 200 ≤ m ≤ 400) là số học sinh khối 6 cần tìm.

Vì khi xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều dư 5 nên ta có:

m – 5 ⋮ 12; m – 5 ⋮ 15 và m – 5 ⋮ 18.

Suy ra: m – 5 là bội chung của 12, 15 và 18

$12=2^2.3$

15 = 3. 5

$18={2.3}^2$

BCNN (12; 15; 18) = $2^2{.3}^2.5=180$

BC (12; 15; 18) = {0; 180; 360; 540; ...}

(m – 5) {0; 180; 360; 540; ...}

m  {5; 185; 365; 545; ...}

Vì 200 < m < 400 suy ra: m = 365

Vậy số học sinh khối 6 là 365 em.

Số các số hạng từ 1 đến 99 là:

(99 – 1) : 1 + 1 = 99 (số)

Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 là:

(99 + 1) × 99 : 2 = 4950

Trung bình cộng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 là:

4950 : 99 = 50

Đáp số: 50

ƯCLN(a, b) = 27 suy ra a = 27m; b = 27n (1); m, n là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau.

a + b = 135 (2)

Thay (1) vào (2):

27m + 27n = 135

27. (m + n) = 135

m + n = 5

Vì a; b thuộc ℕ nên m ,n thuộc N

Vì m, n là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên có các cặp (m; n) tương ứng:

TH1: n = 1; m = 4 a = 108; b = 27

TH2: n = 2; m = 3 a = 81; b = 54

TH3: n = 3; m = 2 a = 54; b = 81

TH1: n = 4; m = 1 a = 27; b = 108

ƯCLN(a, b) = 24 suy ra a = 24p; b = 24q (1); p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau.

Thay a = 24p; b = 24q vào a + b = 192 ta được:

24p + 24q = 192

24 (p + q) = 192

p + q = 8.

Vì p; q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên có các cặp (p; q) tương ứng:

(1; 7), (7; 1), (3; 5), (5; 3).

+) Với p = 1, q = 7 thì a = 24, b = 168;

+) Với p = 7, q = 1 thì a = 168, b = 24;

+) Với p = 3, q = 5 thì a = 72, b =120;

+) Với p = 5, q = 3 thì a = 120, b = 72.

Vậy ta có các cặp (a, b) là: (168; 24), (24; 168), (72; 120), (120; 72).

Đặt y = 23, xét các số:

$x=\overline{abcde}$ trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; y; 4; 5}.

Khi đó có 4 cách chọn a; 4 cách chọn b; 3 cách chọn c; 2 cách chọn d và 1 cách chọn e.

Theo quy tắc nhân có 4.4.3.2 = 96 số

Khi ta hoán vị  trong y ta được hai số khác nhau

Nên có 96 . 2 = 192 số thỏa yêu cầu bài toán.

Nửa chu vi hay tổng của chiều dài và chiều rộng là:

784 : 2 = 392 (m)

Theo đầu bài ta thấy chiều rộng phải là số có hai chữ số . Khi viết thêm 2 vào trước chiều rộng thì chiều rộng sẽ tăng thêm 200 đơn vị . Vậy chiều dài hơn chiều rộng là 200 m.

Chiều dài là:

(392 + 200) : 2 = 296 (m)

Chiều rộng là:

296 – 200 = 96 (m)

Diện tích hình chữ nhật đó là:

296 × 96 = 28 416 (m²)

Đáp số: 28 416 m²

Theo dự định mỗi ngày làm số mét là:

45 : 15 = 3(m)

Thời gian thực tế làm là:

15 – 6 = 9 (ngày)

Khi đó mỗi ngày công nhân làm số mét là:

45 : 9 = 5 (mét)

Mỗi ngày công nhân làm hơn dự định số mét là:

5 – 3 = 2 (m)

Đáp số: 2 m

Gọi O là giao điểm của AA' và CC'. Ta chứng minh $\widehat{AOB}+\widehat{AOB\text{'}}=180°$ .  

Ta có: vì C'B = AB, BC = BA', $\widehat{C\text{'}BC}=\widehat{ABA\text{'}}\left(=\widehat{ABC}+60°\right)$  .

Do đó, ΔC'BC = ΔABA' (cgc).

Suy ra  $\widehat{BC\text{'}C}=\widehat{BAA\text{'}}$.

Do đó, C'BOA là tứ giác nội tiếp đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{AC\text{'}B}+\widehat{AOB}=180°\Rightarrow \widehat{AOB}=120°$ và $\widehat{C\text{'}OB}=\widehat{C\text{'}OA}=60°$  (cùng chắn hai cung có độ dài bằng nhau).

Tương tự ta  có các góc AOB', B'OC, COA', A'OB đều bằng 60°.

Suy ra  $\widehat{AOB}+\widehat{AOB\text{'}}=180°$

Vậy BOB' thẳng hàng.

Vậy AA', BB', CC' đồng quy tại O.

Từ ΔC'BC = ΔABA'  suy ra CC' = AA'. Chứng minh tương tự suy ra AA' = BB'.

Vậy AA' = BB' = CC'.

Một người chuyển hết kho hàng trong:

6 . 4 = 24 (ngày)

Khi có 1 công nhân bị bệnh không làm việc được còn lại số người là:

4 – 1 = 3 (người)

Ba công nhân chuyển hết kho hàng trong số ngày là:

24 : 3 = 8 (ngày)

Đáp số: 8 ngày.

Số dặm từ nhà Karen tới quán café là:

10 – 2 = 8 (dặm)

Đáp số: 8 dặm

Gọi số kẹo của An, Bình, Hà là x; y; z (cái kẹo) (x; y; z )

Theo bài ra: x + y + z = 44

Số kẹo của ba bạn tỉ lệ với 5; 4; 2

x : y : z = 5 : 4 : 2

$\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}=\frac{x+y+z}{5+4+2}=\frac{44}{11}=4$

x = 5 . 4 = 20

y = 4 . 4 =16

z = 4 . 2 = 8

Vậy An nhiều hơn Hà số kẹo là: 20 – 8 = 12 (cái kẹo)

Gọi x, y, z, t lần lượt là các phần tỉ lệ với 3; 5; 7; 9.

Ta được:

$\left\{\begin{array}{c}x+y+z+t=12\\ \frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{t}{9}\end{array}\right.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{t}{9}=\frac{x+y+z+t}{3+5+7+9}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{x}{3}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2} \\ \frac{y}{5}=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{5}{2} \\ \frac{z}{7}=\frac{1}{2}\Rightarrow z=\frac{7}{2} \\ \frac{t}{9}=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{9}{2} \end{gathered}$$

Vậy 4 phần đó lần lượt là: $\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$

Từ những số này có thể lập được tất cả 12 số thỏa mãn, đó là:

13784; 17384; 71384; 73184; 37184; 31784;

13748; 17348; 71348; 73148; 37148; 31748.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( $k\in \mathbb{N}*$)

Nếu p = 3k + 1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (vô lý) vì 2p + 1 là số nguyên tố.

Vậy p = 3k + 2. Khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 $⋮$ 3

Suy ra 4p + 1 là hợp số.

Tỉ số vận tốc khi xuôi dòng và khi ngược dòng là : $\frac{50}{40}=\frac{5}{4}$

Tỉ số thời gian khi xuôi dòng và khi ngược dòng là $\frac{4}{5}$

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là :

0,5 : (5 – 4) × 4 = 2 (giờ)

Quãng đường AB dài là:

50 × 2 = 100 (km)

Đáp số: 100 km.

Đáp án đúng là: D

Vì 9 > 8 nên 13967 > 13867. Vậy chữ số cần điền là 9.

Gọi a là khoảng cách giữa hai cây.

Vì các cây cách đều nhau nên a là ước chung của 2877 và 1869.

Ta có: 2877 = 3 . 7 . 137 và 1869 = 3 . 7 . 89.

Suy ra ƯCLN(2877, 1869) = 3 . 7 = 21.

Do đó, a = Ư(21) = {1; 3; 7; 21}.

Vậy có 4 cách trồng cây, đó là trồng cây cách đều nhau với khoảng cách 1 m, hoặc 3 m, hoặc 7 m, hoặc 21 m.

Đáp án đúng là: C

Với x = 0 ta luôn có y = (m – 2) . 0 + 3 = 3 với mọi m.

Do đó, đường thẳng (d) luôn đi qua điểm có tọa độ (0; 3) với mọi giá trị của m.

Số bút bi được chia đều cho các học sinh là:

90 – 18 = 72 (bút)

Số quyển vở được chia đều cho các học sinh là:

100 – 4 = 96 (quyển)

Số học sinh được thưởng là ƯC(96; 72) và số học sinh lớn hơn 18.

Vậy số học sinh được thưởng là 24 học sinh.

Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$  (a ∈ {1; 2; ...; 9}; b, c, d ∈ {0; 1; ...; 9}).

Vì luôn có mặt chữ số 1 nên ta có 2 trường hợp sau:

TH1: a = 1, khi đó có 10 cách chọn b, 10 cách chọn c và 10 cách chọn d.

Suy ra có 10³ = 1000 số thỏa mãn.

TH2: a ≠ 1, a có 8 cách chọn.

Có 3 cách chọn vị trí bắt buộc để có mặt chữ số 1 là ở b hoặc c hoặc d.

Hai chữ số còn lại, mỗi chữ số có 10 cách chọn.

Suy ra trường hợp này có 8 . 3 . 10² = 2400 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả 1000 + 2400 = 3400 số thỏa mãn.

Mua 1 quyển vở hết số tiền là:

60 000 : 15 = 4000 (đồng)

Mua 20 quyển vở hết số tiền là:

4000 × 20 = 80 000 (đồng)

Đáp số: 80 000 đồng.

Vì nếu mỗi người được 3 viên thì thừa 2 viên, mỗi người 4 viên thì thiếu 2 viên, nên ta có:

Số kẹo đủ để chia cho 1 em 4 viên nhiều hơn số kẹo đủ chia cho 1 em 3 viên là:

2 + 2 = 4 (viên)

1 em chia 4 viên nhiều hơn 1 em chia 3 viên là:

4 – 3 = 1 (viên)

Số em được chia kẹo là:

4 : 1 = 4 (em)

Số kẹo là: 3 × 4 + 2 = 14 (viên)

Nếu xếp mỗi bàn 4 bạn và bỏ 2 bàn trống thì số học sinh dư ra: 

4 × 2 + 1 = 9 (học sinh)

Lấy 9 học sinh này thêm vào mỗi bàn 1 bạn (5 bạn) vẫn còn dư 2 bàn:

Số bàn là: 9 + 2 = 11 (bàn)

Số học sinh là:

11 × 4 + 1 = 45 (học sinh)

Ta có:  $n^2<n\left(n+1\right)$và $n\left(n+1\right)<{\left(n+1\right)}^2$

Số ki – lô –mét đường tàu đội công nhân sửa trong 3 ngày:

2,05 × 3 = 6,15 (km)

Số ki –lô –mét đường tàu đội công nhân sửa trong 5 ngày:

2,17 × 5 = 10,85 (km)

Số ki – lô – mét đường tàu đội công nhân sửa trong 8 ngày:

6,15 + 10,85 = 17(km)

Trung bình mỗi ngày đội công nhân đó sửa được:

17 : 8 = 2,125 (km)

Đáp số: 2,125 km.

Chiều rộng căn phòng là:

4 : (4 – 3) × 3 = 12 (m)

Chiều dài căn phòng là:

12 + 4 = 16 (m)

Diện tích căn phòng là:

12 × 16 = 192

Diện tích 1 viên gạch men là:

2 × 2 = 4

Đổi $4d{m}^2=0,04m^2$

Cần số gạch để lát căn phòng là:

192 : 0,04 = 4800 (viên)

Chiều rộng căn phòng đó là:

7 – 3 = 4 (m)

Diện tích căn phòng là:

7 × 4 = 28

Đổi $28m^2=280000c{m}^2$

Diện tích viên gạch men là:

50 × 50 = 2500

Cần số viên gạch để lát kín nền căn phòng này là:

280000 : 2500 = 112 (viên)

Tổng hai số là:

65 × 2 = 130

Số còn lại là:

130 – 80 = 50

Ta gọi số lớn là $\overline{4ab}$ , số bé là $\overline{ab}$ .

Hiệu hai số là:  $\overline{4ab}$–  $\overline{ab}$= 400

Hiệu số phần bằng nhau là:

9 – 1 = 8 (phần)

Số bé là:

400 : 8 × 1 = 50

Số lớn là:

50 + 400 = 450

Đáp số: số bé: 50; số lớn: 450.

Gọi hai số phải tìm là x và y.

Theo đề bài, ta có: $\frac{x}{y}=\frac{4}{5};\frac{x+1,2}{y}=\frac{11}{15}$

Từ     $\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{5}\Rightarrow \frac{x}{12}=\frac{y}{15}$         (1)

             $\frac{x+1,2}{y}=\frac{11}{15}\Rightarrow \frac{x+1,2}{11}=\frac{y}{15}$   (2)

$\frac{x}{12}=\frac{y}{15}=\frac{x+1,2}{11}=\frac{x-\left(x+1,2\right)}{12-11}=\frac{-1,2}{1}=-1,2$

x = –1,2 . 12 = – 14,4

y = –1,2 . 15 = –18

vậy hai số cần tìm là: –14,4 và –18.

1 xe tải vận chuyển hết số gạo trong:

9 × 5 = 45 (giờ)

Để vận chuyển hết số gạo trong 5 giờ cần số xe là:

45 : 5 = 9 (xe)

Phải bổ sung thêm số xe là:

9 – 5 = 4 (xe)

Đáp số: 4 xe.

Số vải còn lại sau ngày bán thứ nhất bằng:

$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$(tổng số)

Số vải bán trong ngày thứ hai bằng :

$\frac{2}{5}.\frac{2}{7}=\frac{4}{35}$(tổng số)

Số vải bán trong ngày thứ ba bằng:

$\frac{2}{5}-\frac{4}{35}=\frac{2}{7}$(tổng số)

$\frac{2}{7}$tổng số mét vải này chính là 40 m.

Vậy tổng số mét vải cửa hàng đã bán là :

$40:\frac{2}{7}$= 140 (m)

$$\begin{gathered} 3^{x+3}{.3}^{2x-1}{.3}^x=729 \\ \Rightarrow 3^{x+3+2x-1+x}=3^6 \\ {3}^{4x+2}=3^6 \end{gathered}$$

$\Rightarrow 4x+2=6$

$4x=4$

x=1

Vậy x = 1.

Ta có: x ⋮ 5

 x thuộc B(5)

B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30;…}

Vì x thuộc B(5) và x nhỏ hơn hoặc bằng 30

x ∈ {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30}

x chia hết cho 9, x chia hết cho 15 nên x ∈ BC(9; 15)

Ta có:

$9=3^2$

15 = 3.5

BCNN(9; 15) = $3^2.5=45$

BC(9;15) = {0; 45; 90; 135; 180;…}

Vì 100 < x < 150 suy ra x = 135.

a) 2x³ + 4 = 58

    2x³ = 58 – 4

    2x³ = 54

      x³ = 27

Mà 27 = 3³.

Vậy x = 3.

b) (5 – x)⁵ = 32

Vì 32 = 2⁵

Do đó, (5 – x)⁵ = 2⁵, suy ra 5 – x = 2, suy ra x = 3.

c) (5x – 6)³ = 64

Vì 64 = 4³. Khi đó ta có

(5x – 6)³ = 4³

Suy ra 5x – 6 = 4

           5x = 10

           x = 2

Vậy x = 2.

d) (3x)³ = (2x + 1)³

Suy ra 3x = 2x + 1

          3x – 2x = 1

          x = 1

Vậy x = 1.

(25n + 3) $⋮$ 53

⇒ 25n + 3 – 53 $⋮$ 53

⇒ 25n – 50 ⋮ 53

⇒ 25 (n – 2) $⋮$ 53

⇒ n – 2 $⋮$53 (vì ƯCLN (25; 53) = 1)

⇒ n – 2 = 53k ( )

⇒ n = 53k + 2

a, Vì N là trung điểm của AC

suy ra AN = CN

Xét $\Delta ANP$  và  $\Delta CNM$:

AN = CN

MN = NP

$\widehat{ANP}=\widehat{CNM}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ANP=\Delta CNM$

⇒ MC = AP và $\widehat{NAP}=\widehat{NCM}$  mà hai góc này so le trong

⇒ MC // AP

b)

Xét $\Delta ANM$  và  $\Delta CNP$có:

AN = CN

NO = MN

$\widehat{ANM}=\widehat{PNC}$ (hai góc đối đỉnh)

 $\Rightarrow \Delta ANM=\Delta CNP$(c.g.c)

PC = AM và $\widehat{MAN}=\widehat{NCP}$  mà hai góc này so le trong

⇒ PC // AM.

Gọi số con gà là x, số con chó là y. Theo đề bài ta có: x + y = 26 => x = 26 – y

Vì  số chân gà nhiều hơn chân chó là 16 chân nên: 2x – 4y = 16

⇒ 2. (26 – y) – 4y = 16

52 – 2y – 4y = 16

52 – 6y = 16

6y = 36

y = 6

Số gà là: 26 – 6 = 20 (con)

Vậy có 20 con gà, 6 con chó.

Giả sử đường cao là a thì cạnh tương ứng với nó sẽ là 1,5a (a > 0)

Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}a.1,5a=\frac{3}{4}{a}^2=27$$\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=6$

Độ dài cạnh tương ứng là: 1,5 . 6 = 9 (cm)

Vậy cạnh của tam giác là 9cm và đường cao tương ứng là 6cm.

81 = 9 × 9

Cạnh của hình vuông là: 9 cm

Chu vi của HCN chính là chu vi của hình vuông là:

4 × 9 = 36 (cm)

Nửa chu vi của HCN là:

36 : 2 =18 (cm)

Chiều dài của HCN là:

(18 + 8) : 2 = 13 (cm)

Chiều rộng của HCN là:

18 – 13 = 5 (cm)

Đáp số: 13cm và 5cm.

Gọi số cách chia tổ là a.

Vì 80 học sinh nam và 96 học sinh nữ chia đều vào các tổ nên 80 chia hết cho a, 96 chia hết cho a

⇒ a ∈ ƯC (80; 96)

Ta có:

$$\begin{gathered} 80=2^4.5 \\ 96=2^5.3 \end{gathered}$$

ƯCLN (80; 96) = $2^4$  = 16

Số ƯC của 80 và 96 là:: 4 + 1 = 5 (cách)

Vậy có 5 cách chia tổ.

Tổng hai số là: 100 × 2 = 200

Theo đề bài ra ta có:

180 + x = 200

x = 200 – 180

x = 20

Tổng của ba số đó là:

2 × 3 = 6

Ba số tự nhiên khác nhau có tổng là 6 là:

1; 2; 3 hoặc 0; 1; 5 hoặc 0; 2; 4

Số chẵn lớn nhất có 9 chữ số là: 999 999 998

Số chẵn nhỏ nhất có 9 chữ số là: 100 000 000

Số các số chẵn có 9 chữ số là:

Số chẵn lớn nhất có 3 chữ số là: 998

Số chẵn nhỏ nhất có 3 chữ số là: 100

Số các số chẵn có 3 chữ số là:

(998 – 100) : 2 +1 = 500 (số)

Tổng của 124,2 và 27,91 là: 124,2 + 27,91 = 152,11

Hiệu của 124,2 và 27,91 là: 124,2 – 27,91 = 96,29

Tổng hơn hiệu là: 152,11 – 96,29 = 55,82

Đáp số: 55,82

Xét hình thang ABCD có:

MA = MD

N ∈ BC

MN // AB // CD

Suy ra N là trung điểm của BC.

Xét $\Delta ADC$ có:

MA = MD; MF // DC

⇒ FA = FC ⇒ F là trung điểm của AC.

Xét $\Delta ADB$   có:

MA = MD; ME // AB

Mỗi học sinh trồng được số cây là:

48 : 12 = 4 (cây)

Lớp 5A trồng được số cây là:

35 × 4 = 140 (cây)

Đáp số: 140 cây

Tổng hai số là:

79 × 2 = 158

Số tự nhiên còn lại là:

158 – 38 = 120

Đáp số: 120

Trong 1 ngày tổ công nhân thứ nhất sản xuất được số sản phẩm là:

360 : 6 = 60 (sản phẩm)

Một người làm được số sản phẩm là:

60 : 5 = 12 (sản phẩm)

Tổ công nhân khác có 15 người thì 1 ngày làm được số sản phẩm là:

12 × 15 = 180 (sản phẩm)

Trong 3 ngày thì sản xuất được:

180 × 3 = 540 (sản phẩm)

Đáp số: 540 sản phẩm.

Sau 16 ngày người công nhân đó sản xuất được số sản phẩm là:

16 × 5 = 80 (sản phẩm)

Đáp số: 80 sản phẩm.