\[\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\]

\[ = \frac{{\left( {2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} } \right) - \left( {3 - \sqrt 6 } \right)}}{{\left( {2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} } \right) - \left( {\sqrt 3 - \sqrt 6 } \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{1 - 2}}\]

\[ = - \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]

\[ = - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 6 - \sqrt 2 - 2} \right)\]

\[ = - \sqrt 3 - \sqrt 6 + \sqrt 2 + 2\].

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 3} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {3; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng AB là: 3(x – 1) – 4(y – 2) = 0 ⇔ 3x – 4y + 5 = 0

Tương tự: phương trình đường thẳng BC là: x + 2y + 5 = 0

Phương trình đường thẳng AC: 3x + y – 5 = 0

Để M nằm trong tam giác ABC thì thỏa mãn:

– M, A nằm cùng phía đối với BC

– M, B nằm cùng phía đối với AC

– M, C nằm cùng phía đối với AB

Suy ra M nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 5 > 0\\3x + y - 5 < 0\\3x - 4y + 5 > 0\end{array} \right.\)

Thay M\(\left( {m;\frac{{m - 5}}{3}} \right)\) vào hệ bất phương trình trên ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}m + 2.\frac{{m - 5}}{3} + 5 > 0\\3m + \frac{{m - 5}}{3} - 5 < 0\\3m - 4.\frac{{m - 5}}{3} + 5 > 0\end{array} \right.\]

⇒ –1 < m < 2.

Vậy –1 < m < 2 thì M nằm trong tam giác ABC.

* Khi n là số chẵn thì n ⋮ 2 với mọi n

Suy ra: n(n + 13) ⋮ 2 với mọi n.

* Khi n là số lẻ, giả sử n có dạng n = 2k + 1 (k là số tự nhiên)

Thì n + 13 = 2k + 1 + 13 = 2k + 14 = 2(k + 7) ⋮ 2 với mọi k.

Suy ra: n(n + 13) = 2(2k + 1)(k + 7) ⋮ 2 với mọi k.

Vậy n(n + 13) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.

Xét vế trái:

cos2A + cos2B + cos2C

= (cos2A + cos2B) + 2cos²C – 1

= 2cos(A + B).cos(A − B) + 2cos²C – 1

= −2cosC.cos(A − B) + 2cos²C – 1

= −2cosC[cos(A − B) − cosC] − 1

= −2cosC[cos(A − B) + cos(A + B)] − 1

= −4cosC.cosA.cosB − 1

Vậy cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosA.cosB.cosC

ĐKXĐ: a > 0, a ≠ 9.

B = \(\frac{{{a^2} - 3a\sqrt a + 2}}{{a - 3\sqrt a }} = \frac{{a\left( {a - 3\sqrt a } \right) + 2}}{{a - 3\sqrt a }} = a + \frac{2}{{a - 3\sqrt a }}\)

Để B nhận giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{a - 3\sqrt a }} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra: \(2 \vdots \left( {a - 3\sqrt a } \right)\)

⇒ \(a - 3\sqrt a \in \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a - 3\sqrt a + 2 = 0\\a - 3\sqrt a + 1 = 0\\a - 3\sqrt a - 1 = 0\\a - 3\sqrt a - 2 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) = 0\\\sqrt a = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\left( L \right)\\\sqrt a = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}\left( L \right)\\\sqrt a = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt a = 1\\\sqrt a = 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\)

Vậy a = 1 hoặc a = 4.

a) 2,5 tấn = 2500kg

5,4 tấn = 5400kg

 1,2 kg = 1200g

3,2 yến = 32 kg

0,96 tấn = 960 kg

3,72 tấn = 37,2 tạ

0,12 kg = 120g

2,2hg = 22dag

5,4 tạ = 54 yến

3,39 tấn = 339 yến

0,5 yến = 2kg

2,2 hg = 220g

b) 4987m² = 49dam² 87m²

320060 dam² = 32km² 6000m²

125600 m² = 12hm² 56dam²

9028007 m² = 9km² 28007m²

c) 5m² 16dam² = 5,16m²

7m² 5cm² = 70005m²

68m² = 68m²

693000m² = 693ha

0,235km² = 235ha

25km² 7dm² = 25,07m²

15km² 68hm² = 15,68km²

2002cm² = 0,2002m²

500m² = 0,05ha

0,058km² = 5,8ha

9km² 6dam² = 9,0006km²

75m² 7dam² = 75,07m²

68063m² = 0,68063ha

400ha = 4km²

Có 7 quả cam chia cho 10 người thì mỗi người sẽ được \(\frac{7}{{10}}\) quả cam.

Mà: \(\frac{7}{{10}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\)

Nên mỗi người sẽ được \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{5}\) quả cam.

Vì vậy để không phải cắt bất kì quả cam nào thành phần bằng nhau thì ta phải:

+ Lấy 5 quả, mỗi quả chia thành 2 phần bằng nhau thì ta có được 10 phần.

+ Lấy 2 quả, mỗi quả chia thành 5 phần thì cũng đủ 10 phần cho mọi người.

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + … + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2¹⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + 2⁵ + … + 2¹⁷)

A = 15.(2 + 2⁵ + … + 2¹⁷)

Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 2⁵ + … + 2¹⁷) chia hết cho 5.

Vậy A chia hết cho 5.

Đổi 150km = 15 000 000 cm

A và B cách nhau 150 km thì trên bản đồ sẽ là số cm là:

15 000 000 : 1 000 000 = 15 (cm)

Đáp số: 15cm.

Vì đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 4a + 2b + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - b = 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 2b + c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + 1 = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)

Khi đó T = a³ + b² – 2c = 2³ + (–4)² – 2.1 = 8 + 16 – 2 = 22.

M = sin(x – y)cosy + cos(x – y)siny

M = sin[(x – y) + y)]

M = sinx.

Gọi số học sinh cần tìm là x (x ∈ ℕ^*) (học sinh) (350 ≤ x ≤ 400)

Vì số học sinh cần tìm khi xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh

⇒ x – 3 chia hết cho 10

⇒ x – 3 chia hết cho 12

⇒ x – 3 chia hết cho 15

⇒ x – 3 ∈ BC(10, 12, 15)​

Ta có: 10 = 2.5

          12 = 2².3

           15 = 3.5

⇒ BCNN(10;12;15)​ = 2².3.5 = 60

⇒ BC(10;12;15)​ = B(60) ​ = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420;...}

⇒ x = 3; 63; 123; 183; 243; 303; 363; 423;...

Mà 350 ≤ x ≤ 400

⇒x = 363

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 363 học sinh.

a) Theo hình vẽ ta có: OA = OB = OC = OD

AC cắt BD tại trung điểm O

Suy ra: ABCD là hình bình hành

Xét ∆AOD và ∆COB có:

AO = BO = \(\left( {\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD} \right)\)

OD = OC

AD = BC (theo hình)

Suy ra: ∆AOD = ∆COB (c.c.c)

b) Theo phần a có: ∆AOD = ∆COB nên \(\widehat {ADO} = \widehat {OBC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Ta có: –1 ≤ sin2x ≤ 1

Suy ra –1 ≤ y ≤ 1.

Do đó T = [–1; 1].

Số trang của 1 quyển sách thực tế luôn phải là số chẵn: số trang = số tờ × 2

Vì quyển sách đánh số từ 3 đến 139 nên thực tế quyển sách có 1 trang không được số. Do đó số trang thực tế của quyển sách ban đầu là: 139 – 3 +1 + 1 = 138 trang.

Quay lại bài toán:

Khi đó quyển sách ban đầu có số tờ là: 138 : 2 = 69 tờ

Số tờ bị mất đi do sách cũ là: 2 + 5 = 7 tờ

Vậy sách còn lại số tờ là: 69 – 7 = 62 tờ.

Gọi F là trung điểm của AB.

Ta có: \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IC} \)

⇔ \(2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = 0\)

⇔ \(2\left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {CB} = 0\)

⇔ \(2.2.\overrightarrow {IF} = \overrightarrow {BC} \)

⇔ \(4\overrightarrow {IF} = \overrightarrow {BC} \)

⇔ \(\overrightarrow {IF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

Vậy điểm I là điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {IF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \).

a)  Để (d₁) cắt (d₂) tại một điểm trên trục tung thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 \ne \frac{4}{3}\\m - 1 = 15 - 3m\end{array} \right.\)

⇒ 4m = 16

⇒ m = 4.

b) Với m = 4 ta được (d₁): y = 4x + 3

(d₂): y = \(\frac{4}{3}\)x + 3

Giao điểm của d₁ với Ox là A(x_A; y_A)

Vì A thuộc Ox nên y_A = 0

⇒ 4x_A + 3 = 0 ⇒ x_A = \(\frac{{ - 3}}{4}\)

Vậy giao điểm của d₁ với Ox là \(A\left( {\frac{{ - 3}}{4};0} \right)\)

Tương tự, ta tìm được giao điểm của d₂ với Ox là \(B\left( {\frac{{ - 9}}{4};0} \right)\).

Gọi 4 số ấy là a, b, c, d

Tổng 2 số bất kì chia hết cho 2 nên a, b, c, d đồng dư với nhau mod 2

Tổng 3 số bất kì chia hết cho 3 nên a, b, c, d đồng dư với nhau mod 3

⇒ a, b, c, d đồng dư với nhau mod 6

Vì a, b, c, d nguyên dương nên giá trị nhỏ nhất mà a, b, c, d có thể nhận là 1

⇒ Các số tiếp theo là 1 + 6 = 7, 7 + 6 = 13, 13 + 6 = 19

⇒ Tổng của a, b, c, d là 1 + 7 + 13 + 19 = 40.

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: \(\frac{a}{{b + c - a}};\frac{b}{{a + c - b}};\frac{c}{{a + b - c}} > 0\)

A = \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}}\)

⇔ \(A + \frac{3}{2} = \frac{a}{{b + c - a}} + \frac{1}{2} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{1}{2} + \frac{c}{{a + b - c}} + \frac{1}{2}\)

⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {b + c - a} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + c - b} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b - c} \right)}}\)

⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} + \frac{1}{{a + b - c}}} \right)\)

⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{{a + b + c}}{2}.\frac{9}{{b + c - a + a + c - b + a + b - c}}\)

⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{9}{2}\)

⇔ A ≥ 3 (đpcm).

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.

Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z

⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z

⇒ xy ≤ 3

⇒ xy thuộc {1; 2; 3}.

Nếu xy = 1 ⇒ x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.

Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), ⇒ z = 3.

Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), ⇒ z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1; 2; 3).

Ta có: x² + mx + m – 1 = 0

⇔ (x² – 1) + m(x + 1) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1) + m(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x – 1 + m) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 + m = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1 - m\end{array} \right.\)

Để phương trình có hai nghiệm lớn hơn m thì: –1 > m và 1 – m > m

Suy ra: m < –1 và m < \(\frac{1}{2}\)

Vậy m < –1.

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

\[\left\{ \begin{array}{l}m \bot AB\\n \bot AB\end{array} \right.\] suy ra: m // n

(Lý thuyết: Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

1) Vì ABCD là hình thang có AD // BC nên \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ \)(2 góc trong cùng phía)

2) Lại có: \(\widehat D + \widehat C = 180^\circ \)(2 góc trong cùng phía)

Nên: \(\widehat A + \widehat B = \widehat D + \widehat C = 180^\circ \)

3) Ta có: \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ \)

\[\widehat A - \widehat B = 20^\circ \]

⇒ \[\widehat A = \left( {180^\circ + 20^\circ } \right):2 = 100^\circ \]

⇒ \[\widehat B = 100^\circ - 20^\circ = 80^\circ \]

Lại có: \(\widehat D + \widehat C = 180^\circ \) và \(\widehat D = 2\widehat C\)

⇒ \(2\widehat C + \widehat C = 180^\circ \) ⇒ \(3\widehat C = 180^\circ \)⇒ \(\widehat C = 60^\circ \)

⇒ \(\widehat D = 2\widehat C = 2.60^\circ = 120^\circ \)

Vậy \[\widehat A = 100^\circ ,\widehat B = 80^\circ ,\widehat C = 60^\circ ,\widehat D = 120^\circ \].

Giả sử p là số nguyên tố thỏa mãn 2^p + 1 chia hết cho p.

Theo định lý Fermat, ta có: 2^p ≡ 2 (mod p)

Suy ra: (2^p – 2) ⋮ p

⇒ 3 = (2^p + 1) – (2^p – 2) ⋮ p

⇒ p = 3 (thỏa mãn)

Vậy số nguyên tố p cần tìm là 3.

Δ = (–m + 3)² – 4.(–5) = m² – 6m + 9 + 20 = m² – 6m + 29 = (m – 3)² + 20 > 0

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên thì trước hết Δ phải là một số chính phương.

Giả sử (m – 3)² + 20 = k² với k nguyên

⇒ k² – (m – 3)² = 20

⇔ (k – m – 3)(k – m + 3) = 20

Do (k – m – 3) + (k – m + 3) = 2k chẵn nên chúng cùng tính chẵn lẻ.

Mà 20 là số chẵn nên (k – m – 3) + (k – m + 3) cùng là số chẵn

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}k - m + 3 = 10\\k + m - 3 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}k - m + 3 = 2\\k + m - 3 = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 7\end{array} \right.\).

Ta có: 14 ⋮ (2x + 1) nên (2x + 1) là ước của 14

Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

Suy ra: 2x + 1 ∈ {1; 2; 7; 14}

⇒ x ∈ {0; 0,5; 3; 6,5}

Mà x là số tự nhiên nên x = 0 hoặc x = 3.

Vậy x = 0 hoặc x = 3.

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

2A = 2² + 2³ + …. + 2⁶¹

2A – A = (2² + 2³ + …. + 2⁶¹) – (2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰)

A = 2⁶¹ – 2.

Điều kiện tồn tại nửa đoạn và đoạn:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 5\\ - 3 \le 2m + 1\end{array} \right.\) ⇒ –2 ≤ m < 6.

A ⊂ B thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > - 3\\2m + 1 \ge 5\end{array} \right.\) ⇒ m > 2

Kết hợp điều kiện ta được: 2 < m < 6.

Ta có: A = 8 + 12 + x = 20 + x

a) Để A chia hết cho 2 thì 20 + x chia hết cho 2

Mà 20 luôn chia hết cho 2 nên x chia hết cho 2

Suy ra: x = 2k (k ∈ ℕ).

b) Để A không chia hết cho 2, thì (20 + x) không chia hết 2

Mà 20 luôn chia hết cho 2 nên để 20 + x \(\not \vdots \)2 thì x \(\not \vdots \) 2

Suy ra: x = 2k + 1 (k ∈ ℕ).

a) Để M chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của M chia hết cho 3

⇒ (3 + 7 + *) ⋮ 3 hay (10 + *) ⋮ 3

Vì * < 10 nên * ∈ {2; 5; 8}

b) Để M chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của M chia hết cho 9

⇒ (3 + 7 + *) ⋮ 9 hay (10 + *) ⋮ 9

Vì * < 10 nên * ∈ {8}

c) Để M chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của M chia hết cho 3

⇒ (3 + 7 + *) ⋮ 3 hay (10 + *) ⋮ 3

Vì * < 10 nên * ∈ {2; 5; 8}

Ta loại * = 8 vì khi * = 8 ta được số 378 là số chia hết cho 9.

Vậy * ∈ {2; 5}.

Ta xét tổng quát:

\(1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3 + ... + n}} = 1 - \frac{1}{{\frac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}}} = 1 - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Khi đó ta có:

\(\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3 + ... + 2006}}} \right)\)

\( = \frac{{1.4}}{{2.3}}.\frac{{2.5}}{{3.4}}....\frac{{2005.2008}}{{2006.2007}}\)

\( = \frac{{\left( {1.2.3...2005} \right).\left( {4.5.6....2008} \right)}}{{\left( {2.3.4....2006} \right).\left( {3.4.5....2007} \right)}} = \frac{{1.2008}}{{2006.3}} = \frac{{2008}}{{6018}}\).

a) x² – 2mx + m² – 4 = 0

∆' = m² – m² + 4 = 4 > 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(\left[ \begin{array}{l}x = m + 2\\x = m - 2\end{array} \right.\)

TH1: x₁ = m + 2; x₂ = m – 2

Khi đó: 3x₁ + 2x₂ = 7

⇔ 3(m + 2) + 2(m – 2) = 7

⇔ 5m + 6 – 4 – 7 = 0

⇔ 5m – 5 = 0

⇔ m = 1.

TH2: x₂ = m + 2; x₁ = m – 2

Khi đó: 3x₁ + 2x₂ = 7

⇔ 3(m – 2) + 2(m + 2) = 7

⇔ 3m – 6 + 2m + 4 – 7 = 0

⇔ 5m – 9 = 0

⇔ m = \(\frac{9}{5}\)

Vậy m = 1 hoặc m = \(\frac{9}{5}\).

A = sina + sinb + sin(a + b)

\(A = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2} + 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a + b}}{2}\)

\(A = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\left( {\cos \frac{{a - b}}{2} + \cos \frac{{a + b}}{2}} \right)\)

\(A = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.2\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}\)

\(A = 4\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{a}{2}.\cos \frac{b}{2}\).

a) Theo đề bài có: \(\overline {ab} = 3ab\)

⇔ 10a + b = 3ab (1)

Vì 3ab ⋮ a nên (10a + b) ⋮ a

Mà 10a ⋮ a nên b ⋮ a.

b) Do b = ka mà b < 10 nên ka < 10

Thay b = ka vào (1) ta được:

10a + ka = 3a.ka

⇔ a(10 + k) = 3a².k

⇔ 10 + k = 3ak (*)

Vì 3ak ⋮ k nên 10 + k ⋮ k

Mà k ⋮ k nên 10 ⋮ k

Vậy k là ước của 10.

c) Theo phần b có k là ước của 10 nên k ∈ {1; 2; 5}

Với k = 1 thay vào (*) có: 11 = 3a (loại vì a là số tự nhiên)

Với k = 2 thay vào (*) có: 12 = 6a ⇒ a = 2

b = ka = 2a = 2.2 = 4

Với k = 5 thay vào (*) có: 15 = 15a ⇒ a = 1

b = ka = 5a = 5

Vậy số cần tìm là 24 và 15.

Chu vi phần có dạng hình thang cân:

40 + 50 + 2.15 = 120(cm)

Số mét dây thép cần dùng là:

120 + 10 = 130 (cm) = 1,3 (m)

Vậy cần dùng 1,3m dây thép.

Ta có: 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ = 10⁷(10² + 10 + 1) = 10⁷ . 111

= 10⁶.10.111

= 10⁶.5.2.111

= 10⁶.5.222

Ta thấy 222 chia hết cho 222 nên 10⁶.5.222 chia hết cho 222

Vậy 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ chia hết cho 222.

Số xe trường cần là:

1055 : 30 = 35 ( chiếc ) dư 5 học sinh

Vì thế nên cần thêm 1 xe để chở 5 học sinh còn lại.

Vậy cần ít nhất 36 xe để chở hết học sinh của trường đi dã ngoại.

P = \[\left( {\frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }}} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = \[\left( {\frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 - 2} \right)\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}} + \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\left( {\sqrt 6 - 3} \right)\left( {\sqrt 6 + 3} \right)}}} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = \[\left( {\frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{5} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{2} + \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{ - 3}}} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = \[\left( {\frac{{15\sqrt 6 - 15}}{5} + \frac{{4\sqrt 6 + 8}}{2} + \frac{{12\sqrt 6 + 36}}{{ - 3}}} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = \[\left( {3\sqrt 6 - 3 + 2\sqrt 6 + 4 - 4\sqrt 6 - 12} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = \[\left( {\sqrt 6 - 11} \right)\left( {\sqrt 6 + 11} \right)\]

P = 6 – 11²

P = 6 – 121

P = –115.

Diện tích hình vuông được ghép là:

722.1.2 = 1444 (cm²)

Mà 1444 = 38.38 nên cạnh của hình vuông được ghép là 38cm.

Chu vi hình vuông được ghép là:

38.4 = 152 (cm)

Chu vi của 722 hình chữ nhật là:

722.(1 + 2).2 = 4332 (cm)

Chu vi của hình đã bị giảm:

4332 – 152 = 4180 (cm).

Gọi số thứ nhất và số thứ hai là x (vì số thứ nhất = số thứ hai)

Ta có: x – 28 + x + 35 = 357

⇔ 2x = 357 – 35 + 28

⇔ 2x = 350

⇔ x = 350 : 2

⇔ x = 175

Vậy số thứ nhất và số thứ hai là 175.

Số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 là 12.

Số lớn nhất có 2 chữ số chia hêt cho 2 là 98. 

Nên số lớn là:

(98 + 12) : 2 = 55.

Số bé là:

98 – 55 = 43.

Đáp số: số lớn: 55; số bé: 43.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 \ge 0\\ - 2{x^2} - 3x + 12 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 4\end{array} \right.\\\frac{{ - 3 - \sqrt {105} }}{4} \le x \le \frac{{ - 3 + \sqrt {105} }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - \sqrt {105} }}{4} \le x \le 1\)

Phương trình ⇔\(\sqrt {{x^2} - 5x + 4} = \sqrt { - 2{x^2} - 3x + 12} \)

Bình phương 2 vế ta được:

x² – 5x + 4 = – 2x² – 3x + 12

⇔ 3x² + 2x – 8 = 0

⇔ 3x² + 6x – 4x – 8 = 0

⇔ 3x(x + 2) – 4(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(3x – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = \frac{4}{3}\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy x = –2.

(x + 7) – 25 = 13

⇔ x + 7 = 13 + 25

⇔ x + 7 = 38

⇔ x = 38 – 7

⇔ x = 31

Vậy x = 31.

Chu vi của bánh xe đạp là:

2π . 50 = 100π (cm)

Quãng đường đi được là:

100π . 5 = 500π (cm)

Đáp số: 500π (cm).

ĐKXĐ: cosx ≠ 0; sinx ≠ 0

Xét VT = tan²x + cot²x = (tanx – cotx)² + 2 ≥ 2

Lại có \({\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x\)

⇒ \(1 + {\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 2,\forall x\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \cot x\\{\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = k\pi \end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\)⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

C = 5 + 5² + … + 5²⁰

C = 5(1 + 5 + 5² + … + 5¹⁹) ⋮ 5

Vậy C chia hết cho 5.

* C = 5 + 5² + … + 5²⁰

C = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + … + (5¹⁹ + 5²⁰)

C = 5(1 + 5) + 5³(1 + 5) + …. + 5¹⁹(1 + 5)

C = 5.6 + 5³.6 +… + 5¹⁹.6

C = 6(5 + 5³ + …. + 5¹⁹)

Vì 6 ⋮ 6 nên 6(5 + 5³ + …. + 5¹⁹) ⋮ 6

Vậy C chia hết cho 6.

* C = 5 + 5² + … + 5²⁰

C = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + … + (5¹⁷ + 5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

C = 5.(1 + 5 + 5² + 5³) + … + 5¹⁷(1 + 5 + 5² + 5³)

C = 5.156 + 5⁵.156 + … + 5¹⁷.156

C = 156.(5 + 5⁵ + … + 5¹⁷)

Vì 156 ⋮ 13 nên 156.(5 + 5⁵ + … + 5¹⁷) ⋮ 13

Vậy C chia hết cho 13.

Cạnh hình vuông:

20 : 4 = 5 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

26 : 2 – 5 = 8 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

8 . 5 = 40 (cm²)

Đáp số: 40cm².

Phân số chỉ 11 quyển sách là:

\(\frac{5}{6} - \frac{4}{7} = \frac{{11}}{{42}}\) (số sách ngăn trên)

Ngăn trên có số sách là:

11 : \(\frac{{11}}{{42}}\) = 42 (quyển)

Trên giá có số sách là:

42 : 6 . (5 + 6) = 77 (quyển)

Đáp số: 77 quyển sách.

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) +…. + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁵⁹(1 + 2)

A = 2.3 + 2³.3 + … + 2⁵⁹.3

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) chia hết cho 3.

Vậy A chia hết cho 3.

* Xét: A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) +…. + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = 2.15 + 2⁵.15 + …. + 2⁵⁷.15

A = 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷)

Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷) chia hết cho 5.

Vậy A chia hết cho 5.

* Lại có: A = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) +…. + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

A = 2.7 + 2⁴.7 + … + 2⁵⁸.7

A = 7(2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸)

Vì 7 chia hết cho 3 nên 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) chia hết cho 7.

Vậy A chia hết cho 7.

Ta có: 3n – 1 = 3(n – 2) + 5

Để 3n – 1 chia hết cho n – 2 thì 3(n – 2) + 5 chia hết cho n – 2 

Mà 3(n – 2) ⋮ (n – 2) nên 5 chia hết cho (n – 2) 

⇒ n – 2 ∈ Ư(5)

⇒ n – 2 ∈ {–5; –1; 1; 5}

⇒ n ∈ {–3; 1; 3; 7}

Vậy n ∈ {–3; 1; 3; 7}.

Cách 1: Coi giá mua là 100% thì giá bán để lãi 20% so với giá mua tức là em bán 120% giá mua. Còn lãi 20% giá bán thì em lấy vốn mua vào

100 : (100 – 20) . 100 = 125% (giá mua)

40 000 đồng chính là:

125% – 100% = 5% (giá mua)

Anh tính ra giá mua giúp cô ấy được:

 40 000 : 5 . 100 = 800 000 (đồng).

Và tính luôn giá chém khách tới bến:

 800 000 : 4 . 5 = 1 000 000 (đồng).

Cách 2: Khi bán lãi 20% giá bán tức là giá mua so với giá bán chiếm số % là: 
100% – 20% = 80% (giá bán)

Khi đó lãi so với giá mua chiếm số phần trăm 
20% : 80% = 0,25 = 25% (giá mua)
So với lúc trước lãi tăng thêm số % so với giá mua 
25% – 20% = 5%
Giá tiền mua tấm vải 
40 000 : 5 . 100 = 800 000 (đồng) 
Giá bán tấm vải ( trước khi tăng giá ) 
800 000 : 100 . (100 + 20) = 960 000 (đồng) 
Giá bán tấm vải sau khi tăng giá 
800 000 : 100 . (100 + 25) = 1 000 000 (đồng).

C = 1 + 4 + 4² + 4³ +… + 4²⁰²¹

C = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + … + (4²⁰¹⁹ + 4²⁰²⁰ + 4²⁰²¹)

C = (1 + 4 + 4²) + 4³(1 + 4 + 4²) + … + 4²⁰¹⁹(1 + 4 + 4²)

C = 21 + 4³.21 +… + 4²⁰¹⁹.21

C = 21(1 + 4³ +… + 4²⁰¹⁹)

Vì 21 chia hết cho 21 nên 21(1 + 4³ +… + 4²⁰¹⁹) chia hết cho 21

Vậy C chia hết cho 21.

Nếu 3a + b ⋮ 7 thì (3a + b)² ⋮ 49

Tức là A = 9a² + 6ab + b² ⋮ 49

Đặt B = 5a² + 15ab – b²

Ta có: A + B = 14a² + 21ab = 7(2a + 3b) = 7(9a – 7a + 3b) = 7.3.(3a + b) – 49a ⋮ 49

Từ đó ta được A + B ⋮ 49

Mà A ⋮ 49 nên B ⋮ 49

Ngược lại, nếu B ⋮ 49 ⇒ B = 5a² + 15ab – b² ⋮ 7

⇒ (14a² + 21ab) – (5a² +15ab – b²) ⋮ 7

⇒ (3a + b)² ⋮ 7

⇒ (3a + b) ⋮ 7.

B = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰¹

B = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + … + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

B = (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + … + 3⁹⁹(1 + 3 + 3²)

B = (1 + 3 + 3²)(1 + 3³ +… + 3⁹⁹)

B = 13.(1 + 3³ +… + 3⁹⁹)

Vì 13 chia hết cho 13 nên 13.(1 + 3³ +… + 3⁹⁹) chia hết cho 13

Vậy B chia hết cho 13.

Để A ⊂ B thì phải đồng thời xảy ra 2 bất đẳng thức:

2m – 1 ≥ – 1 (hay m ≥ 0) và 2m + 3 ≤ 1 (hay m ≤ – 1)

Nhưng 2 bất đẳng thức trên không thể xảy ra đồng thời nên không có giá trị nào của m để A là tập con của B.

Vậy không tồn tại m.

Ta có: 3x² – 4xy + 2y² = 3

⇔ x² = 3 – 2y² + 4xy – 2x²

⇔ x² = 3 – 2(x – y)²

Thấy (x – y)² ≥ 0 nên 3 – 2(x – y)² ≤ 3 với mọi x, y

Suy ra: x² ≤ 3 ⇒ x = 0 hoặc x = 1.

Vì x là số nguyên dương nên x = 1.

Thay vào 3x² – 4xy + 2y² = 3 ta được:

3 – 4y + 2y² = 3

⇔ 2y(y – 2) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\left( L \right)\\y = 2\end{array} \right.\)

M = x²⁰²² + (y – 3)²⁰²² = 1²⁰²² + (2 – 3)²⁰²² = 1 + 1 = 2.

Vậy M = 2.

Để quy đồng ta sẽ chọn mẫu chung tích các thừa số nguyên tố chung và riêng (hay ta tìm BCNN của mẫu)

Ta chọn mẫu chung là 2⁶.3.5.7.9.99

Gọi k₁; k₂; …; k₁₀₀ là các thừa số phụ tương ứng, do đó A có dạng:

A = \(\frac{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_{100}}}}{{{2^6}.3.5.7.9....99}}\)

Trong 100 phân số của tổng A chỉ có phân số duy nhất \(\frac{1}{{64}}\) chứa 2⁶ nên trong các thừa số phụ chỉ có k₆₄ là số lẻ, còn lại các thừa số phụ đều là số chẵn.

Nên tử số không chia hết cho 2, trong khi mẫu số chia hết cho 2.

Do đó phân số A không phải là số tự nhiên.

Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng

Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được: 40 : 3 ≈ 13 ngàn đồng

Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.

Làm 4 vòng đeo cổ hết 4.6 = 24 giờ, bán được 4.80 = 320 ngàn đồng.

Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay 

⇒ Cần thêm 2.4 = 8 giờ

Vậy cần tối thiểu: 24 + 8 = 32 giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng.

Xét x² + x + 1 = x² + \(2.\frac{1}{2}x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Ta thấy \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\forall x\)

Vậy x² + x + 1 luôn dương với mọi giá trị của x.

Khi đó ta có: VP = \(\frac{{\sin A + \sin B}}{{\cos A + \cos B}}\)

\( = \frac{{2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}} = \frac{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}{{\cos \frac{{A + B}}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \cot \frac{C}{2}\)

VT =\(\frac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos A.\cos B}} = \frac{{\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)}}\)

\( \ge \frac{{\sin C}}{{1 - \cos C}} = \frac{{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = \cot \frac{C}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi cos(A – B) = 1 hay \[\widehat A = \widehat B\], tức tam giác ABC cân tại C.

Theo bài ra ta có: a = 4b + 35

Suy ra: b = \(\frac{{a - 35}}{4} \le \frac{{200 - 35}}{4} = \frac{{165}}{4} < \frac{{168}}{4} = 42\)

Mặt khác: số dư là 35 ⇒ số chia b > 35

Vậy 35 < b < 42 ⇒ b có thể là 36; 37; 38; 39; 40; 41

Khi đó a sẽ lần lượt là (a = b.4 + 35) = 179; 183; 187; 191; 195; 199.

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.

Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)

Với \(\overrightarrow {BE} = x\overrightarrow {BN} + y\overrightarrow {BC} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + 3y\overrightarrow {BM} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + y\overrightarrow {BC} \)

Vì E thuộc AM nên \(\frac{{2x}}{3} + 3y = 1\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(x = \frac{6}{7};y = \frac{1}{7}\)

Vậy \(\overrightarrow {BE} = \frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \)

Khi đó:

\(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CN} = \left( {\frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{8}{{21}}.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{4}{{21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CB} + \frac{2}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CB} \)

= \({a^2}\left[ {\frac{8}{{21}}.\frac{1}{2} + \frac{4}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{2}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{{21}}} \right] = 0\)

Vậy BE vuông góc CN hay EB vuông góc với EC.