Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AN} \). Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.
Giải bởi Vietjack
Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.
Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)
Với \(\overrightarrow {BE} = x\overrightarrow {BN} + y\overrightarrow {BC} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + 3y\overrightarrow {BM} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + y\overrightarrow {BC} \)
Vì E thuộc AM nên \(\frac{{2x}}{3} + 3y = 1\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(x = \frac{6}{7};y = \frac{1}{7}\)
Vậy \(\overrightarrow {BE} = \frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \)
Khi đó:
\(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CN} = \left( {\frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{8}{{21}}.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{4}{{21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CB} + \frac{2}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CB} \)
= \({a^2}\left[ {\frac{8}{{21}}.\frac{1}{2} + \frac{4}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{2}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{{21}}} \right] = 0\)
Vậy BE vuông góc CN hay EB vuông góc với EC.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
