Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.
a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
b, Chứng minh \(\widehat {BEG} = 90^\circ \).
c, Cho biết BH = 4 cm, \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính SABCD; SEFCG.
Giải bởi Vietjack
a) Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của AH, BH nên EF là đường trung bình trong tam giác ABH
⇒ EF // AB và EF = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC = DG\)
Vì AB // DG nên EF // DG
Xét tứ giác EFCG có: EF // DG và EF = DG
Nên EFCG là hình bình hành
b) Lại có: AB ⊥ BC mà EF // AB nên EF ⊥ BC
Mà BF ⊥ AC
Xét trong tam giác BEC có: EF ⊥ BC; BF ⊥ EC nên F là trực tâm của tam giác BEC
Suy ra: CF ⊥ BE (1)
Mà theo phần a có EFCG là hình bình hành nên: EG // CF (2)
Từ (1) và (2): EG ⊥ BE hay \(\widehat {BEG} = 90^\circ \)
c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB ta có:
\(\sin \widehat A = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{4}{{\sin 30^\circ }} = 8cm\)
\(\tan \widehat A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)⇒ \(BC = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\)
AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}\)
Lại có: AB2 = AH.AC ⇒ AH = AB2 : AC = 4\(\sqrt 3 \)
HC = AC – AH = \(\frac{{16\sqrt 3 }}{3} - 4\sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Mà AE = EH = \(\frac{1}{2}AH = 2\sqrt 3 \)
Suy ra: EC = HC + EH = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2\sqrt 3 = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)
Kẻ EM vuông góc với CD tại M
Có \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = 30^\circ \)(2 góc so le trong)
Ta có: sin\(\widehat {ACD} = \sin 30^\circ = \frac{{EM}}{{EC}}\)
⇒ EM = \(\sin 30^\circ .\frac{{10\sqrt 3 }}{3} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)
SABCD = AB.BC = \(8.\frac{{8\sqrt 3 }}{3} = \frac{{64\sqrt 3 }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\)
SEFCG = EM.EF = EM . \(\frac{1}{2}AB = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{2}.8 = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\).
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
