Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bởi Vietjack
a) Xét (O) có ΔBMC nội tiếp và BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
⇒ BM ⊥ MC tại M
⇒ CM ⊥AB tại M
Xét (O) có ΔBNC nội tiếp và BC là đường kính
Do đó: ΔBNC vuông tại N
⇒ BN ⊥ NC tại N
⇒ BN ⊥ AC tại N
Xét ΔABC có BN, CM là đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
b) Xét tứ giác AMHN có: \(\widehat {AMH} + \widehat {ANH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
⇒A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
Gọi giao điểm của AH với BC là F
Xét ΔABC có: H là trực tâm của ΔABC
F là giao điểm của AH với BC
Do đó: AH ⊥ BC tại F
⇒ ΔAFB vuông tại F
⇒ \(\widehat {ABF} + \widehat {BAF} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {ABF} + \widehat {MCB} = 90^\circ \)(do ΔCMB vuông tại M)
Nên: \(\widehat {MCB} = \widehat {BAF}\)
Lại có: \[\widehat {EMO} = \widehat {EMH} + \widehat {OMH} = \widehat {EMH} + \widehat {OCM} = 90^\circ - \widehat {MAH} + \widehat {MCB} = 90^\circ \]
Vậy EM là tiếp tuyến của (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
Điền số thích hợp vào chỗ chấm
a) 2,5 tấn = …kg
5,4 tấn = …kg
1,2 kg = …g
3,2 yến = ...kg
0,96 tấn = ...kg
3,72 tấn = ...tạ
0,12 kg = …g
2,2 hg = ...dag
5,4 tạ = …yến
3,39 tấn = …yến
0,5 yến = ....kg
2,2 hg = …g
b) 4 987m2 = …dam2...m2
320 060 dam2 = ...km2…m2
125 600 m2 = ...hm2…dam2
9 028 007 m2 = …km2… m2
c) 5m2 16dm2 = ….m2
7m2 5cm2 = ...m2
68m2 = …m2
693000 m2 = …ha
0,235 km2 = …ha
25m2 7dm2 = ….m2
15km2 68hm2 = ….km2
2002cm2 = ….m2
500 m2 = …ha
0,058 km2 = …ha
9km2 6dam2 = …km2
75m2 7dm2 = …m2
68063 m2 = … ha
400 ha = ….km2
