Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là một điểm cố định trên đoạn thẳng AB. Gọi DE là dây cung thay đổi của (O) luôn đi qua I. Gọi BD, BE cắt d lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh rằng tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng tích AM. AN không đổi.
3) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM thuộc một đường thẳng cố định.
Giải bởi Vietjack
1) Ta có: AB là đường kính của (O) nên AD ⊥ BM, AE ⊥ EB
Mà AB ⊥ MN
Nên BD.BM = BA2 = BE. BN
⇒ \(\frac{{BD}}{{BN}} = \frac{{BE}}{{BM}}\)
Mà \(\widehat {DBE} = \widehat {MBN}\)
⇒ ∆BDE ∽ ∆BNM (c.g.c.)
⇒ \(\widehat {BDE} = \widehat {BNM}\)
⇒ MNED nội tiếp
2) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ΔBMN, (BMN) ∩ AB = P
⇒ ΔBEI ∽ ΔBPN(g.g)
⇒ \(\frac{{BE}}{{BP}} = \frac{{BI}}{{BN}}\)
⇒ BI.BP = BE.BN = BA2
⇒ BP = \(\frac{{B{A^2}}}{{BI}}\)⇒ P cố định
Mà \(\widehat {PAN} = \widehat {MAB},\widehat {APN} = \widehat {BPN} = \widehat {BMN} = \widehat {BMA}\)
⇒ ΔABM ∽ ΔANP(g.g)
⇒ \(\frac{{AM}}{{AP}} = \frac{{AB}}{{AN}}\)
⇒ AM.AN = AB. AP không đổi
3.Vẽ đường tròn ngoại tiếp DMNE, (DMNE) ∩ AB = C, F (như hình vẽ)
Chứng minh tương tự câu 2 có AF.AC = AM.AN ⇒ AF.AC = AP.AB
Lại có BCF, BDM là cát tuyến tại B với (DMNE)
⇒ BC.BF = BD.BM = BA2
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}BC.BF = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB - AC} \right)\left( {AB + AF} \right) = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + AB\left( {AF - AC} \right) - AF.AC = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AF.AC\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AP.AB\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF - AC = AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒\(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\A{C^2} + AC.AP - AP.AB = 0\end{array} \right.\) ⇒ C cố định
⇒ C, F cố định
⇒ Tâm (DENM) thuộc trung trực của CF cố định.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh DE = \(\frac{1}{2}BC\).
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
