Cho số tự nhiên \(\overline {ab} \) bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng b chia hết cho a.
b) Gỉa sử b = ka (k thuộc ℕ) chứng minh rằng k là ước của 10.
c) Tìm các số \(\overline {ab} \) nói trên.
Giải bởi Vietjack
a) Theo đề bài có: \(\overline {ab} = 3ab\)
⇔ 10a + b = 3ab (1)
Vì 3ab ⋮ a nên (10a + b) ⋮ a
Mà 10a ⋮ a nên b ⋮ a.
b) Do b = ka mà b < 10 nên ka < 10
Thay b = ka vào (1) ta được:
10a + ka = 3a.ka
⇔ a(10 + k) = 3a2.k
⇔ 10 + k = 3ak (*)
Vì 3ak ⋮ k nên 10 + k ⋮ k
Mà k ⋮ k nên 10 ⋮ k
Vậy k là ước của 10.
c) Theo phần b có k là ước của 10 nên k ∈ {1; 2; 5}
Với k = 1 thay vào (*) có: 11 = 3a (loại vì a là số tự nhiên)
Với k = 2 thay vào (*) có: 12 = 6a ⇒ a = 2
b = ka = 2a = 2.2 = 4
Với k = 5 thay vào (*) có: 15 = 15a ⇒ a = 1
b = ka = 5a = 5
Vậy số cần tìm là 24 và 15.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
