88 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 61)

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. (1 − 2x)⁵;

B. (1 + 2x)⁵;

C. (2x − 1)⁵;

D. (x − 1)⁵.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1

= 2⁵.x⁵ − 2⁴.5.x⁴ + 2⁴.5.x³ − 2³.5.x² + 2.5x − 1

= (2x)⁵ − 5.(2x)⁴ + 10.(2x)³ − 10.(2x)² + 5.2x − 1

$= {(2 x)}^{5} + C_{5}^{1} . {(- 1)}^{1} . {(2 x)}^{4} + C_{5}^{2} . {(- 1)}^{2} . {(2 x)}^{3} + C_{5}^{3} . {(- 1)}^{3} . {(2 x)}^{2}$

$+ C_{5}^{4} . {(- 1)}^{4} . {(2 x)}^{3} + {(- 1)}^{5}$

= (2x − 1)⁵

Vậy đa thức trên là khai triển của nhị thức (2x − 1)⁵.

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

A. $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B}$

B. $\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B}$

C. $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$

D. $\vec{A M} = \frac{4}{5} \vec{A B}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A M} = 3 \vec{M B}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A M} + 3 \vec{A M} = 3 \vec{M B} + 3 \vec{A M}$

$\Leftrightarrow 5 \vec{A M} = 3 (\vec{A M} + \vec{M B})$

$\Leftrightarrow 5 \vec{A M} = 3 \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$ .

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

A. M nằm trên tia AB và AM = 4AB;

B. M nằm trên tia AB và AM = AB;

C. M nằm trên tia AB và AM = 3AB;

D. M nằm trên tia AB và AM = 2AB.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} - 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} - 3 \vec{M A} - 3 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow - \vec{M A} - 3 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = 3 \vec{A B}$

Vậy M nằm trên tia AB và AB = 3AB.

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem đáp án

Đặt: $\{\begin{cases} x = b + c - a \\ y = a + c - b \\ z = a + b - c \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (b + c - a) + (a + c - b) = 2 c \\ y + z = (a + c - b) + (a + b - c) = 2 a \\ x + z = (b + c - a) + (a + b - c) = 2 b \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c}$

$\Rightarrow 2 A = \frac{2 a}{b + c - a} + \frac{2 b}{a + c - b} + \frac{2 c}{a + b - c}$

$= \frac{y + z}{x} + \frac{x + z}{y} + \frac{x + y}{z}$

$= \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}$

$= (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z})$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ z > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho $\frac{y}{x}, \frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{x}{y}} = 2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2; \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$

Do đó:

$2 A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$

$\Rightarrow A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ khi a = b = c.

Câu 5:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b} \geq a + b + c$ .

Xem đáp án

Đặt: $\{\begin{cases} x = a + b - c \\ y = b + c - a \\ z = c + a - b \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (a + b - c) + (b + c - a) = 2 b \\ y + z = (b + c - a) + (c + a - b) = 2 c \\ x + z = (a + b - c) + (c + a - b) = 2 a \end{cases}$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y > 0 \\ z > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b}$

$\Rightarrow 4 A = \frac{2 a . 2 b}{a + b - c} + \frac{2 b . 2 c}{b + c - a} + \frac{2 c . 2 a}{c + a - b}$

$= \frac{(x + z) (x + y)}{x} + \frac{(x + y) (y + z)}{y} + \frac{(y + z) (x + z)}{z}$

$= \frac{x^{2} + x (y + z) + y z}{x} + \frac{y^{2} + y (z + x) + z x}{y} + \frac{z^{2} + z (x + y) + x y}{z}$

$= \frac{x (x + y + z) + y z}{x} + \frac{y (x + y + z) + z x}{y} + \frac{z (x + y + z) + x y}{z}$

$= 3 (x + y + z) + \frac{y z}{x} + \frac{z x}{y} + \frac{x y}{z}$

$= 3 (x + y + z) + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(y z)}^{2} . {(z x)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{z . x y z}{x y z} = 2 z$

$\frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(z x)}^{2} . {(x y)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{x . x y z}{x y z} = 2 x$

$\frac{{(x y)}^{2}}{x y z} + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(x y)}^{2} . {(y z)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{y . x y z}{x y z} = 2 y$

Suy ra $\frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq \frac{2 z + 2 x + 2 y}{2} = x + y + z$

Khi đó:

$4 A = 3 (x + y + z) + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq 3 (x + y + z) + (x + y + z)$

Þ 4A ≥ 4(x + y + z)

Þ A ≥ (x + y + z) = a + b + c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

Vậy $\frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b} \geq a + b + c$ khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 6:

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(5; 2), phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC' lần lượt là d: x + y − 6 = 0 và d': 2x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của ∆ABC.

Xem đáp án

Vì C, C' thuộc đường thẳng CC' nên ta có: C(c; 2c + 3) và C'(c'; 2c' + 3)

Vì B đối xứng với A qua C' nên B(2c' − 5; 4c' + 4)

Do đó $\vec{B C} = (c - 2 c' + 5; 2 c - 4 c' - 1)$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{d} = (1; - 1)$

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: $M (\frac{c + 2 c' - 5}{2}; \frac{2 c + 4 c' + 4}{2})$

Từ giả thiết ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} M \in d \\ \vec{B C} . {\vec{u}}_{d} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{c + 2 c' - 5}{2} + \frac{2 c + 4 c' + 7}{2} - 6 = 0 \\ (c - 2 c' + 5) - (2 c - 4 c' - 1) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 c + 6 c' + 2 - 12 = 0 \\ - c + 2 c' + 6 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 c + 6 c' = 10 \\ c - 2 c' = 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} c = \frac{14}{3} \\ c' = - \frac{2}{3} \end{cases}$

Từ đó suy ra $B (- \frac{19}{3}; \frac{4}{3}), C (\frac{14}{3}; \frac{37}{3})$ .

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có $M (- \frac{5}{2}; - 1), N (- \frac{3}{2}; - \frac{7}{2}), P (0; \frac{1}{2})$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Xem đáp án

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \\ x_{N} = \frac{x_{C} + x_{A}}{2} \\ y_{N} = \frac{y_{C} + y_{A}}{2} \\ x_{P} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{P} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{B} + x_{C} = - 5 \\ y_{B} + y_{C} = - 2 \\ x_{C} + x_{A} = - 3 \\ y_{C} + y_{A} = - 7 \\ x_{A} + x_{B} = 0 \\ y_{A} + y_{B} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} + x_{C} = \frac{(- 5) + (- 3) + 0}{2} \\ y_{A} + y_{B} + y_{C} = \frac{(- 2) + (- 7) + 1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} + x_{C} = - 4 \\ y_{A} + y_{B} + y_{C} = - 4 \end{cases}$

Từ đó, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = - \frac{4}{3} \\ y_{G} = - \frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy $G (- \frac{4}{3}; - \frac{4}{3})$ .

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án

Kẻ MJ // AB, M Î AC và NI // AB, N Î BD.

Suy ra M, N, I, J đồng phẳng và (MINJ) º (P)

Thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD là tứ giác MINJ, có:

Do $\frac{M J}{A B} = \frac{J C}{B C} = \frac{1}{3}; \frac{I N}{A B} = \frac{N D}{B D} = \frac{1}{3}$ nên suy ra MJ = IN.

Lại có MJ // NI nên suy ra tứ giác MINJ là hình bình hành.

Câu 9:

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID, JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Khẳng định nào đúng?

A. CD cắt (P);

B. (P) // CD;

C. IJ // CD;

D. IJ // AB.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Kẻ MJ // AB, M Î AC và NI // AB, N Î BD.

Suy ra M, N, I, J đồng phẳng và (MINJ) º (P)

Thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD là tứ giác MINJ, có:

Do $\frac{A M}{A C} = \frac{A I}{A D} = \frac{2}{3}$ nên suy ra MI // CD

Mà MI Ì (P) nên suy ra (P) // CD.

Do đó CD không thể cắt (P).

Ta có MI // CD mà IJ cắt MI tại I và MI, IJ Ì (P) nên suy ra IJ không song song với CD.

Lại có: $\frac{D I}{D A} = \frac{D N}{D B} = \frac{1}{3}$ nên suy ra IN // AB

Mà IJ cắt IN tại I và IN, IJ Ì (P) nên suy ra IJ không song song với AB.

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xem đáp án

Xét ∆SAB là tam giác đều:

Gọi H là trung điểm AB suy ra SH ^ (ABC) và $S H = \frac{\sqrt{3}}{2} . 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Gọi G là trọng tâm ∆SAB suy ra:

$G S = G A = G B = \frac{2}{3} S H = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

G' là trọng tâm ∆ABC suy ra:

$G' A = G' B = G' C = \frac{2}{3} C H = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Suy ra bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

$R = \sqrt{G S^{2} + G' B^{2} - \frac{A B^{2}}{4}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - \frac{1^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π . {(\frac{\sqrt{15}}{6})}^{3} = \frac{5 π \sqrt{15}}{54}$ .

Câu 11:

Một hộp đựng tám thẻ được ghi từ 1 đến 8. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11.

Xem đáp án

Lấy ngẫu nhiên 3 thẻ từ một hộp 8 thẻ suy ra:

$n (Ω) = C_{8}^{3} = 56$ (cách)

Gọi A là biến cố: “Tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11”.

Ta có: A = {(1; 2; 8), (1; 3; 7), (1; 4; 6), (2; 3; 6), (2; 4; 5)}

Þ n(A) = 5

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{5}{56}$ .

Câu 12:

Một hộp đựng 8 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 8, 6 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 6. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 viên bi từ hộp đó sao cho 2 viên bi khác màu và khác số.

Xem đáp án

Bước 1: Chọn một viên bi xanh có 6 cách chọn.

Bước 2: Chọn một viên bi đỏ, được đánh số khác với viên bi xanh nên có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 6.7 = 42 (cách chọn).

Câu 13:

Đồ thị hàm số y = x³ − 4x + 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = x³ − 4x + 3 cắt trục hoành nên y = 0

Suy ra x³ − 4x + 3 = 0

Û x³ − x² + x² − x − 3x + 3 = 0

Û x(x² − 1) + x(x − 1) − 3(x − 1) = 0

Û x(x − 1)(x + 1) + x(x − 1) − 3(x − 1) = 0

Û (x − 1)[x(x + 1) + x − 3] = 0

Û (x − 1)(x² + x − 3) = 0

$\Leftrightarrow (x - 1) [(x^{2} + 2 x . \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{13}{4}] = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) [{(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{13}{4}] = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}) (x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \\ x = \frac{- \sqrt{13} - 1}{2} \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số y = x³ − 4x + 3 cắt trục hoành tại các điểm $(1; 0), (\frac{\sqrt{13} - 1}{2}; 0), (\frac{- \sqrt{13} - 1}{2}; 0)$ .

Câu 14:

Đồ thị hàm số y = x⁴ − x³ − 2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = x⁴ − x³ − 2 cắt trục hoành nên y = 0

Suy ra x⁴ − x³ − 2 = 0

Þ y¢ = 4x³ − 3x² = 0

Û x²(4x − 3) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{3}{4} \end{array}$

Xét bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số y = x⁴ − x³ − 2 với trục hoành là 2.

Câu 15:

Nghiệm của phương trình log₃ (2x − 1) = 2 là:

Xem đáp án

Điều kiện: $2 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$

Ta có: log₃ (2x − 1) = 2

Û 2x − 1 = 3² = 9

Û 2x = 10

Û x = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình.

Câu 16:

Tìm tập nghiệm S của phương trình log₃ (2x + 1) − log₃ (x − 1) = 1

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} 2 x + 1 \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - \frac{1}{2} \\ x \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 1$

Ta có: log₃ (2x + 1) − log₃ (x − 1) = 1

Û log₃ (2x + 1) = 1 + log₃ (x − 1)

Û log₃ (2x + 1) = log₃ 3(x − 1)

Û 2x + 1 = 3(x − 1)

Û 2x + 1 = 3x − 3

Û 3x − 2x = 1 + 3

Û x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy S = {4} là tập nghiệm của phương trình.

Câu 17:

Tìm tập xác định D của hàm số y = log₂ (x³ − 8)¹⁰⁰⁰

Xem đáp án

Điều kiện: (x³ − 8)¹⁰⁰⁰ > 0

Mà (x³ − 8)¹⁰⁰⁰ ≥ 0, "x

Suy ra x³ − 8 ¹ 0 Û x³ ¹ 8 Û x ¹ 2

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {2}.

Câu 18:

Tập nghiệm của bất phương trình $9^{\log_{9}^{2} x} + x^{\log_{9} x} \leq 18$ là:

Xem đáp án

ĐKXĐ: x > 0.

Ta có: $9^{\log_{9}^{2} x} + x^{\log_{9} x} \leq 18$

$\Leftrightarrow 9^{\log_{9} x . \log_{9} x} + x^{\log_{9} x} \leq 18$

$\Leftrightarrow {(9^{\log_{9} x})}^{\log_{9} x} + x^{\log_{9} x} \leq 18$

$\Leftrightarrow x^{\log_{9} x} + x^{\log_{9} x} \leq 18$

$\Leftrightarrow 2 x^{\log_{9} x} \leq 18$

$\Leftrightarrow x^{\log_{9} x} \leq 9$

Lấy logarit cơ số 9 cả 2 vế bất phương trình ta được:

$\log_{9} (x^{\log_{9} x}) \leq \log_{9} 9$

$\Leftrightarrow \log_{9} x . \log_{9} x \leq 1$

$\Leftrightarrow \log_{9}^{2} x \leq 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leq \log_{9} x \leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{9} \leq x \leq 9$

Kết hợp điều kiện xác định ta có $x \in [\frac{1}{9}; 9]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = [\frac{1}{9}; 9]$ .

Câu 19:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₁ − z₂| = 1. Tính giá trị của biểu thức $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2}$ .

Xem đáp án

Ta có: $|z_{1} - z_{2}| = 1 \Rightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1} - z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

Khi đó $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} = {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 \frac{z_{1}}{z_{2}} . \frac{z_{2}}{z_{1}}$

$= {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 = {(\frac{z_{1} . \bar{z_{2}}}{{|z_{2}|}^{2}} + \frac{\bar{z_{1}} . z_{2}}{{|z_{1}|}^{2}})}^{2} - 2$

$= {(z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2})}^{2} - 2 = 1^{2} - 2 = - 1$

Câu 20:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 21:

Cho hàm số f (x) = x²ln x. Tính f ¢(e).

Xem đáp án

Ta có: f (x) = x²ln x

$\Rightarrow f^{'} (x) = 2 x . \ln x + x^{2} . \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x$

Suy ra $f^{'} (e) = 2 e . \ln e + e^{2} . \frac{1}{e} = 2 e + e = 3 e$ .

Câu 22:

F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ln x và F (1) = 3. Khi đó giá trị của F (e) là:

Xem đáp án

Theo đề bài ta có: $F (x) = \int f (x) d x = \int \ln x d x$

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{cases}$

$\Rightarrow F (x) = \int \ln x d x = x \ln x - \int x . \frac{1}{x} d x$

$= x \ln x - \int d x = x \ln x - x + C$

Theo đề bài ta có: F (1) = 3 Þ 1.ln1 − 1 + C = 3 Û C = 4

Þ F (x) = xln x − x + 4

Þ F (e) = eln e − e + 4 = 4.

Câu 23:

Cho hàm số $y = \ln \frac{7}{x + 7}$ . Hệ thức nào sau đây là hệ thức đúng?

A. xy¢ + 7 = −e^y;

B. xy¢ − 1 = e^y;

C. xy¢ + 1 = e^y;

D. xy¢ − 7 = e^y.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = \ln \frac{7}{x + 7}$

Û y = ln 7 − ln (x + 7)

$\Rightarrow y^{'} = - \frac{1}{x + 7}$

Và $e^{y} = \frac{7}{x + y}$

Khi đó $x y^{'} + 1 = x . (- \frac{1}{x + 7}) + 1$

$= \frac{- x}{x + 7} + 1 = \frac{- x + x + 7}{x + 7} = \frac{7}{x + 7} = e^{y}$

Vậy xy¢ + 1 = e^y.

Câu 24:

Giải phương trình ln (7x) = 7.

Xem đáp án

Ta có: ln (7x) = 7

Û ln 7 + ln x = 7

Û ln x = 7 − ln 7

$\Leftrightarrow x = e^{7 - \ln 7}$

$\Leftrightarrow x = \frac{e^{7}}{e^{\ln 7}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{e^{7}}{7}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{e^{7}}{7}$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = \frac{5 x + 9}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) È (1; +∞);

B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞);

C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) È (1; +∞);

D. Hàm số nghịch biến trên ℝ \ {1}.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ \ {1}

Ta có: $y = \frac{5 x + 9}{x - 1}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in D$

Do đó hàm số nghịch biến trên hai khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Câu 26:

Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f ¢(x) = x² − 5x + 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 3);

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞);

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3);

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 4).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: f ¢(x) = x² − 5x + 4 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 4 \end{array}$

Suy ra $[\begin{array}{l} x \in (1; 4) \Rightarrow f^{'} (x) < 0 \\ x \in (- \infty; 1) \cup (4; + \infty) \Rightarrow f^{'} (x) > 0 \end{array}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in D$ .

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 4) và đồng biến trên hai khoảng (−∞; 1) và (4; +∞).

Vì (2; 3) Ì (1; 4) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3).

Câu 27:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hỏi góc giữa hai đường thẳng BA' và CD bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Vì AB // CD nên $(\hat{B A'; C D}) = (\hat{B A'; A B}) = \hat{A' B A} = 45 °$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng BA' và CD bằng: 45°.

Câu 28:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Do BD // B'D' nên góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng góc giữa hai đường thẳng BA' và BD.

Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên ∆A'BC là tam giác đều.

Khi đó $\hat{A' B D} = 60 °$

Vậy góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng: 60°.

Câu 29:

Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của modun của số phức z.

Xem đáp án

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ).

Ta có: |z + i + 1| = |z − 2i|

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y − 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² − 4y + 4

Û 2x + 6y = 2

Û x + 3y = 1

Û x = 1 − 3y

Khi đó, mô đun của số phức z là:

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(1 - 3 y)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 - 6 y + 9 y^{2} + y^{2}}$

$= \sqrt{10 y^{2} - 6 y + 1} = \sqrt{(10 y^{2} - 2 . \sqrt{10} y . \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{9}{10}) + \frac{1}{10}}$

$= \sqrt{{(y \sqrt{10} - \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2} + \frac{1}{10}} \geq \frac{\sqrt{10}}{10}$

Dấu “=” xảy ra . $\Leftrightarrow y \sqrt{10} = \frac{3}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow y = \frac{3}{10} \Rightarrow x = \frac{1}{10}$

Vậy GTNN của mô đun z là $\frac{\sqrt{10}}{10}$ khi $x = \frac{1}{10}, y = \frac{3}{10}$ .

Câu 30:

Cho số phức z thỏa mãn $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Xem đáp án

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ)

$\Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Ta có: $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(- y - 2)}^{2}}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² + 4y + 4

Û 2x − 2y = 2

Û x − y = 1

Û x = y + 1

Khi đó, mô đun của số phức z là:

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(y + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{y^{2} + 2 y + 1 + y^{2}}$

$= \sqrt{2 y^{2} + 2 y + 1} = \sqrt{(2 y^{2} + 2 . \sqrt{2} y . \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}}$

$= \sqrt{{(y \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + \frac{1}{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow y \sqrt{2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy GTNN của |z| là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi $x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

Câu 31:

Cho số phức z thỏa mãn |z − 4 − i| = |z + i|. Gọi z = a + bi (a; b Î ℝ) là số phức thỏa mãn |z − 1 + 3i| nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T = 2a + 3b là:

Xem đáp án

Đặt M (z); A(4; 1), B(0; −1) là các điểm biểu diễn số phức z; 4 + i và −i.

Khi đó từ giả thiết suy ra MA = MB, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I(2; 0) và có VTPT là $\vec{n} = \vec{A B} = (- 4; - 2)$

Þ ∆: −4(x − 2) − 2y = 0

Þ ∆: 2x + y − 4 = 0

Gọi N(1; −3) là điểm biểu diễn số phức 1 − 3i

Ta có |z − 1 + 3i| nhỏ nhất khi MN_min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra MN: x − 2y + 1 = 0

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + y - 4 = 0 \\ x - 2 y - 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 2 \end{cases}$

Þ M(3; −2)

Þ z = 3 − 2i

Khi đó T = 2a + 3b = 2.3 + 3.(−2) = 0.

Câu 32:

Cho các số phức z thỏa mãn |z − 2i| = |z + 2|. Gọi z là số phức thỏa mãn |(2 − i)z + 5| nhỏ nhất. Khi đó:

A. 0 < |z| < 1;

B. 1 < |z| < 2;

C. 2 < |z| < 3;

D. |z| > 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi M(x; y), A(0; 2), B(−2; 0) là các điểm biểu diễn số phức z; 2i và −2.

Từ giả thiết suy ra MA = MB

Suy ra M thuộc đường trung trực của AB có phương trình Δ: x + y = 0

Lại có: $P = |(2 - i) z + 5| = |2 - i| |z + \frac{5}{2 - i}| = \sqrt{5} |z + 2 + i|$

Gọi N(−2; −1) là điểm biểu diễn số phức −2 − i suy ra $P = \sqrt{5} M N$

Ta có P nhỏ nhất khi MN_min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆.

Khi đó phương trình MN: x − y + 1 = 0.

Giải hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{- 1}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow M (\frac{- 1}{2}; \frac{1}{2}) \Rightarrow z = \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2} i$

$\Rightarrow |z| = \sqrt{{(\frac{- 1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 33:

Hàm số y = cos 2x nghịch biến trên khoảng nào?

Xem đáp án

Để hàm số y = cos 2x nghịch biến thì

2x Î (k2p; p + k2p)

$\Rightarrow x \in (k π; \frac{π}{2} + k π), k \in ℤ$

Vậy hàm số cos 2x đồng biến trên các khoảng $(k π; \frac{π}{2} + k π), k \in ℤ$ .

Câu 34:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(4; 0), B(1; 4) và C(1; −1). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh dề nào sau đây là đúng?

A. $z = 3 - \frac{3}{2} i$

B. $z = 3 + \frac{3}{2} i$

C. z = 2 − i;

D. z = 2 + i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{4 + 1 + 1}{3} \\ y_{G} = \frac{0 + 4 + (- 1)}{3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = 2 \\ y_{G} = 1 \end{cases} \Rightarrow G (2; 1)$

Điểm G(2; 1) là điểm biểu diễn cho số phức z = 2 + i.

Câu 35:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; 3), B(2; −4), C(3; −2) và điểm G và trọng tâm tam giác ABC. Ảnh G' của G qua phép đối xứng trục Ox có tọa độ là:

Xem đáp án

Ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{1 + 2 + 3}{3} \\ y_{G} = \frac{3 + (- 4) + (- 2)}{3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = 2 \\ y_{G} = - 1 \end{cases} \Rightarrow G (2; - 1)$

Vậy ảnh G' của G qua phép đối xứng trục Ox có tọa độ là: G'(2; 1).

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án

Ta có: y = −x³ + 2x² − mx + 1

Þ y¢ = −3x² + 4x − m

và y¢¢ = −6x + 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 + 4 - m = 0 \\ - 6 + 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ - 2 > 0 \end{cases}$ (Vô nghiệm)

Vậy không có giá trị của tham số m nào thỏa mãn.

Câu 37:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án

Ta có: y = −x³ + 2x² − mx + 1

Þ y¢ = 3x² − 4mx + m

và y¢¢ = 6x − 4m

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - 4 m + m = 0 \\ 6 - 4 m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 (T M) \\ m < \frac{3}{2} \end{cases}$

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 1.

Câu 38:

Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Xem đáp án

+) TH1: 4 học sinh được trọn thuộc một lớp:

Thuộc lớp A: Có $C_{5}^{4}$ (cách chọn)

Thuộc lớp B: Có $C_{4}^{4}$ (cách chọn)

Trong trường hợp này có: $C_{5}^{4} + C_{4}^{4} = 6$ (cách chọn).

TH2: 4 học sinh thuộc hai lớp:

Thuộc lớp A và B: có $C_{9}^{4} - (C_{5}^{4} + C_{4}^{4}) = 120$ (cách chọn)

Thuộc lớp B và C: có $C_{7}^{4} - C_{4}^{4} = 34$ (cách chọn)

Thuộc lớp A và C: có $C_{8}^{4} - C_{5}^{4} = 65$ (cách chọn)

Trong trường hợp này có: 120 + 34 + 65 = 219 (cách chọn)

Vậy có 219 + 6 = 225 cách chọn đội thanh niên xung kích thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Câu 39:

Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

A. Hình vuông;

B. Hình tròn;

C. Hình tam giác đều;

D. Hình thoi.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Hình tròn có tâm đối xứng là tâm của nó.

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Tam giác đều không có tâm đối xứng.

Câu 40:

Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

A. Hình thoi;

B. Hình hình bình hành;

C. Hình thang cân;

D. Hình chữ nhật.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

- Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là đường nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện và tâm đối xứng là giao của hai đường chéo.

- Hình thang không có trục đối xứng, cũng ko có tâm đối xứng.

- Hình hình hành không có trục đối xứng và có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình thoi là hình có hai trục đối xứng là hai đường chéo và tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Vậy hình không có tâm đối xứng là hình thang cân.

Câu 41:

Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

Xem đáp án

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ, theo giả tiết, ta có: h = 2r

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, O là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Ta có bán kính mặt cầu

$R = \frac{A C}{2} = A O = \sqrt{{(\frac{h}{2})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{r^{2} + r^{2}} = r \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}} \Rightarrow h = R \sqrt{2}$

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{x q} = 2 π r h = 2 π . \frac{R}{\sqrt{2}} . R \sqrt{2} = 2 π R^{2}$

Câu 42:

Một khối trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R thì thể tích của khối trụ là:

Xem đáp án

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ, theo giả tiết, ta có: h = 2r

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, O là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Ta có bán kính mặt cầu

$R = \frac{A C}{2} = A O = \sqrt{{(\frac{h}{2})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{r^{2} + r^{2}} = r \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}} \Rightarrow h = R \sqrt{2}$

Thể tích của hình trụ là:

$V = π r^{2} h = π . {(\frac{R}{\sqrt{2}})}^{2} . R \sqrt{2} = \frac{π R^{3} \sqrt{2}}{2}$

Câu 43:

Giải phương trình: $1 + \sin x + \cos x = 2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

Xem đáp án

$1 + \sin x + \cos x = 2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} . \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} = 2 (\cos \frac{x}{2} . \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{x}{2} . \sin \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} . \cos \frac{x}{2} = 2 (\cos \frac{x}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin \frac{x}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2})$

$\Leftrightarrow 2 \cos \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = \sqrt{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) (\sqrt{2} \cos \frac{x}{2} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0 \\ \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0 \\ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0 \\ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} + \frac{π}{4} = k π \\ \frac{x}{2} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k π \\ \frac{x}{2} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 4 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 4 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của hệ phương trình là: $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

Câu 44:

Giải phương trình: $\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = 2 \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4})$ .

Xem đáp án

$\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = 2 \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \frac{\sin x - \cos x}{\sin x . \cos x} = 2 \sqrt{2} (\cos x . \cos \frac{π}{4} - \sin x . \sin \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \frac{\sin x - \cos x}{2 \sin x . \cos x} = \sqrt{2} (\cos x . \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x . \frac{\sqrt{2}}{2})$

$\Leftrightarrow \frac{\sin x - \cos x}{\sin 2 x} = \cos x - \sin x$

$\Leftrightarrow (\sin x - \cos x) (\frac{1}{\sin 2 x} + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \cos x \\ \frac{1}{\sin 2 x} = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \sin 2 x = - 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ 2 x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = - \frac{π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của hệ phương trình là: $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ .

Câu 45:

Biến đổi $\int_{0}^{3} \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}} d x$ thành $\int_{1}^{2} f (t) d t$ , với $t = \sqrt{1 + x}$ . Khi đó f (t) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. f (t) = 2t² − 2t;

B. f (t) = t² + t;

C. f (t) = t² − t;

D. f (t) = 2t² + 2t.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = \sqrt{1 + x}$ suy ra t² = 1 + x

Þ 2t dt = dx

Và x = t² − 1

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 3 \Rightarrow t = 2 \end{cases}$ , khi đó ta có:

$I = \int_{1}^{2} \frac{t^{2} - 1}{1 + t} . 2 t d t = \int_{1}^{2} \frac{(t - 1) (t + 1)}{1 + t} . 2 t d t$

$= \int_{1}^{2} 2 t (t - 1) d t = \int_{1}^{2} (2 t^{2} - 2 t) d t$

Þ f (t) = 2t² − 2t.

Câu 46:

Tính nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x + 2)³.

Xem đáp án

Ta có nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x + 2)³ là:

$\int f (x) d x = \int {(3 x + 2)}^{3} d x = \frac{1}{3} \int {(3 x + 2)}^{3} d (3 x + 2)$

Đặt t = 3x + 2, khi đó ta có:

$\int f (x) d x = \frac{1}{3} \int t^{3} d t = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} t^{4} + C = \frac{t^{4}}{12} + C$

$= \frac{{(3 x + 2)}^{4}}{12} + C$

Câu 47:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1} = \int \frac{d x}{2 \frac{\sin x}{\cos x} + 1}$

$= \int \frac{\cos x}{2 \sin x + \cos x} d x = \int (\frac{2}{5} . \frac{2 \cos x - \sin x}{2 \sin x + \cos x} + \frac{1}{5}) d x$

$= \frac{2}{5} \ln |2 \sin x + \cos x| + \frac{x}{5} + C$

Câu 48:

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = 2$ và $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = 2$ . Tính $\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x$ .

Xem đáp án

Ta có: $A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} . f (\cos^{2} x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x . \cos x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x$

Đặt cos² x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt

Þ sin 2x dx = −dt

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Khi đó $A = - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f (t)}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Lại có: $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{\ln^{2} x} . \frac{2 \ln x}{x} d x$

Đặt ln² x = t

$\Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} d x = d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = e \Rightarrow t = 1 \\ x = e^{2} \Rightarrow t = 4 \end{cases}$

Khi đó $B = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Tính $I = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} . 2 d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} d (2 x)$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t + \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t$

= 4 + 4 = 8.

Câu 49:

Tính giá trị của biểu thức:

$P = C_{2017}^{0} C_{2018}^{1} + C_{2017}^{1} C_{2018}^{2} + ... + C_{2017}^{2016} C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017} C_{2018}^{2018}$ .

Xem đáp án

Ta có: $P = C_{2017}^{0} C_{2018}^{1} + C_{2017}^{1} C_{2018}^{2} + ... + C_{2017}^{2016} C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017} C_{2018}^{2018}$

$= C_{2017}^{0} C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{1} C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016} C_{2018}^{1} + C_{2017}^{2017} C_{2018}^{0}$

Xét khai triển:

(1 + x)²⁰¹⁷.(1 + x)²⁰¹⁸

$= (C_{2017}^{0} + x C_{2017}^{1} + ... + x^{2016} C_{2017}^{2016} + x^{2017} C_{2017}^{2017}) (C_{2018}^{0} + x C_{2018}^{1} + ... + x^{2017} C_{2018}^{2017} + x^{2018} C_{2018}^{2018})$

Hệ số khai triển của x²⁰¹⁷ trong khai triển trên chính là:

$P = C_{2017}^{0} C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{1} C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016} C_{2018}^{1} + C_{2017}^{2017} C_{2018}^{0}$

Mặt khác ta cũng có:

(1 + x)²⁰¹⁷.(1 + x)²⁰¹⁸ = (1 + x)⁴⁰³⁵

$= C_{4035}^{0} + x C_{4035}^{1} + ... + x^{4034} C_{4035}^{4034} + x^{4035} C_{4035}^{4035}$

Và trong khai triển này thì hệ số của x²⁰¹⁷ là: $C_{4035}^{2017}$ .

Do vậy, ta có: $P = C_{4035}^{2017}$ .

Câu 50:

Tính tổng: $S = 1 . C_{2018}^{1} + 2 . C_{2018}^{2} + ... + 2018 . C_{2018}^{2018}$ .

Xem đáp án

Xét số hạng tổng quát:

$k . C_{2018}^{k} = k . \frac{2018!}{k! (2018 - k)!}$

$= k . \frac{2018 . 2017!}{k (k - 1)! [2017 - (k - 1)]!} = 2018 . C_{2017}^{k - 1}$

Cho k chạy từ 1 đến 2018 ta được:

$S = 2018 . C_{2017}^{0} + 2018 . C_{2017}^{1} + ... + 2018 . C_{2017}^{2017}$

$= 2018 . (C_{2017}^{0} + C_{2017}^{1} + ... + C_{2017}^{2017})$

= 2018.2²⁰¹⁷

Vậy S = 2018.2²⁰¹⁷.

Câu 51:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(2; 5); B(1; 7); C(1; 5); D(0; 9). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng.

A. Ba điểm A, B, D;

B. Ba điểm A, B, C;

C. Ba điểm B, C, D;

D. Ba điểm A, C, D.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\vec{A B} = (- 1; 2), \vec{A C} = (- 1; 0), \vec{A D} = (- 2; 4), \vec{B C} = (0; - 2), \vec{B D} = (- 1; 2)$

Khi đó:

• Do $\frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ nên suy ra ba điểm A, B, D thẳng hàng.

• Do $\frac{- 1}{- 1} = 1 \neq 0 = \frac{0}{2}$ nên suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

• Do $\frac{0}{- 1} = 0 \neq - 1 = \frac{- 2}{2}$ nên suy ra ba điểm B, C, D không thẳng hàng.

• Do $\frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} \neq 0 = \frac{0}{4}$ nên suy ra ba điểm A, C, D không thẳng hàng.

Câu 52:

Cho 4 điểm A(1; −2); B(0; 3); C(−3; 4); D(−1; 8). Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?

A. A, B, C;

B. B, C, D;

C. A, B, D;

D. A, C, D.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\vec{A B} = (- 1; 5), \vec{A C} = (- 4; 6), \vec{A D} = (- 2; 10), \vec{B C} = (- 3; 1), \vec{B D} = (- 1; 5)$

Khi đó:

• Do $\frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ nên suy ra ba điểm A, B, D thẳng hàng.

• Do $\frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4} \neq \frac{5}{6}$ nên suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

• Do $\frac{- 3}{- 1} = 3 \neq \frac{1}{5}$ nên suy ra ba điểm B, C, D không thẳng hàng.

• Do $\frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{3} = \frac{10}{6}$ nên suy ra ba điểm A, C, D không thẳng hàng.

Câu 53:

Cho $\vec{A B} \neq \vec{0}$ và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn $|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$ ?

Xem đáp án

Ta có:

$|\vec{A B}| = |\vec{C D}| \Leftrightarrow A B = C D$

Nghĩa là ta cần đi tìm các điểm D thỏa mãn cách D một khoảng bằng độ dài đoạn AB.

Suy ra tập hợp điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB.

Vậy có vô số điểm D thỏa mãn.

Câu 54:

Cho $\vec{A B}$ và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn $\vec{A B} = \vec{C D}$ ?

Xem đáp án

Có một và chỉ một điểm D thỏa mãn

\vec{A B} = \vec{C D}

Câu 55:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết tập hợp biểu diễn các số phức w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tìm bán kính R của đường tròn đó.

Xem đáp án

Giả sử w = a + bi. Ta có

w = (3 + 4i)z + i

Û a + bi = (3 + 4i)z + i

Û a + (b − 1)i = (3 + 4i)z

$\Leftrightarrow z = \frac{a + (b - 1) i}{3 + 4 i}$

$\Leftrightarrow z = \frac{[a + (b - 1) i] (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)} = \frac{[a + (b - 1) i] (3 - 4 i)}{25}$

$\Leftrightarrow z = \frac{1}{25} [3 a + 4 b - 4 + (- 4 a + 3 b - 3) i]$

Theo giả thiết cho |z| = 4 nên ta có:

$\frac{1}{25^{2}} [{(3 a + 4 b - 4)}^{2} + {(- 4 a + 3 b - 3)}^{2}] = 4^{2}$

Û (3a + 4b − 4)² + (−4a + 3b − 3)² = 100²

Û 25a² + 25b² + 25 − 50b = 100²

Û a² + b² − 2b + 1 = 20²

Û a² + (b − 1)² = 20²

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 20.

Câu 56:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = 3 − 2i + (2 − i)z là một đường tròn, bán kính R của đường tròn đó bằng:

Xem đáp án

Giả sử w = a + bi. Ta có

w = 3 − 2i + (2 − i)z

Û a + bi = 3 − 2i + (2 − i)z

Û a − 3 + (b + 2)i = (2 − i)z

$\Leftrightarrow z = \frac{a - 3 + (b + 2) i}{2 - i}$

Theo giả thiết cho |z| = 2 nên ta có:

$|\frac{a - 3 + (b + 2) i}{2 - i}| = 2$

$\Leftrightarrow |\frac{w - 3 + 2 i}{2 - i}| = 2$

$\Leftrightarrow |w - 3 + 2 i| = 2 \sqrt{5}$

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm (3; −2) có bán kính bằng $2 \sqrt{5}$ .

Câu 57:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn

$f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}, \forall x \in ℝ$ . Tính $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ .

Xem đáp án

Ta có: $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$

$= \sqrt{2 + 2 (2 \cos^{2} x - 1)} = 2 \sqrt{\cos^{2} x} = 2 |\cos x|$

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{3 π}{2}}^{- \frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} 2 |\cos x| d x = - 2 \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x$

$= {- 2 \sin x|}_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \sin (- \frac{3 π}{2})$

= (−2).(−1) + 2.1 = 4

Vậy $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 2$ .

Câu 58:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn f (x) + f (−x) = 2cos 2x, "x Î ℝ. Khi đó $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng:

Xem đáp án

Ta có: f (x) + f (−x) = 2cos 2x

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos 2 x d x = 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x d x$

$= {\sin 2 x|}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = \sin (π) - \sin (- π)$ = 0

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = 0$ .

Câu 59:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ. Biết rằng $\int_{0}^{\ln 2} f (e^{x} + 1) d x = 5$ và $\int_{2}^{3} \frac{(2 x - 3) f (x)}{x - 1} d x = 3$ . Tính $I = \int_{2}^{3} f (x) d x$ .

Xem đáp án

Đặt t = e^x + 1 Þ dt = e^x dx

$\Rightarrow \frac{d t}{t - 1} = d x$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = \ln 2 \Rightarrow t = 3 \end{cases}$

Khi đó: $\int_{0}^{\ln 2} f (e^{x} + 1) d x = \int_{2}^{3} \frac{f (t)}{t - 1} d t = 5 \Rightarrow \int_{2}^{3} \frac{f (x)}{x - 1} d x = 5$

Suy ra $\int_{2}^{3} \frac{(2 x - 3) f (x)}{x - 1} d x + \int_{2}^{3} \frac{f (x)}{x - 1} d x = 3 + 5$

$\Leftrightarrow \int_{2}^{3} \frac{(2 x - 2) f (x)}{x - 1} d x = 8$

$\Leftrightarrow \int_{2}^{3} 2 f (x) d x = 8$

$\Leftrightarrow \int_{2}^{3} f (x) d x = 4$

Vậy $I = \int_{2}^{3} f (x) d x = 4$ .

Câu 60:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và có $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ . Tính $\int_{- 1}^{1} f (|2 x|) d x$ .

Xem đáp án

Ta có:

$\int_{- 1}^{1} f (|2 x|) d x = \int_{- 1}^{0} f (|2 x|) d x + \int_{0}^{1} f (|2 x|) d x$

$= \int_{- 1}^{0} f (- 2 x) d x + \int_{0}^{1} f (2 x) d x$

Đặt t = −2x Þ dt = −2 dx $\Rightarrow d x = \frac{- 1}{2} d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{cases}$

Đặt u = 2x Þ du = 2 dx $\Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow u = 2 \\ x = 0 \Rightarrow u = 0 \end{cases}$

Khi đó $\int_{- 1}^{1} f (|2 x|) d x = \int_{- 1}^{0} f (- 2 x) d x + \int_{0}^{1} f (2 x) d x$

$= \int_{2}^{0} \frac{- f (t)}{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{f (u)}{2} d u$

$= \int_{0}^{2} \frac{f (t)}{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{f (u)}{2} d u$

$= \int_{0}^{2} \frac{f (x)}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{f (x)}{2} d x$

$= \int_{0}^{2} f (x) d x = 3$

Vậy $\int_{- 1}^{1} f (|2 x|) d x = 3$ .

Câu 61:

Cho hàm số f (x) = x²ln x. Tính f ¢(e).

Xem đáp án

Ta có: f (x) = x²ln x

$\Rightarrow f^{'} (x) = 2 x . \ln x + x^{2} . \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x$

Suy ra $f^{'} (e) = 2 e . \ln e + e^{2} . \frac{1}{e} = 2 e + e = 3 e$ .

Câu 62:

Biết hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x \sqrt{\ln^{2} x + 3}}$ có đồ thị đi qua điểm (e; 2016). Khi đó hàm số F (1) là:

Xem đáp án

Nguyên hàm của hàm số f (x) là:

$F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{\ln x}{x \sqrt{\ln^{2} x + 3}} d x$

Đặt $t = \sqrt{\ln^{2} x + 3} \Rightarrow d t = \frac{2 \ln x}{x . 2 \sqrt{\ln^{2} x + 3}} d x = \frac{\ln x}{x \sqrt{\ln^{2} x + 3}} d x$

Khi đó $F (x) = \int d t = t + C = \sqrt{\ln^{2} x + 3} + C$

Mà đồ thị đi qua điểm (e; 2016) nên ta có:

$F (e) = 2016 \Rightarrow \sqrt{\ln^{2} e + 3} + C = 2016$

Þ 2 + C = 2016 Û C = 2014

Suy ra $F (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 3} + 2014$

Khi đó $F (1) = \sqrt{\ln^{2} 1 + 3} + 2014 = \sqrt{3} + 2014$ .

Câu 63:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a ; b) khi và chỉ khi f ′(x) ≥ 0 "x Î (a; b) và f ′(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x Î (a; b);

B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a ; b) khi và chỉ khi f ′(x) < 0 "x Î (a; b);

C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a ; b) khi và chỉ khi f ′(x) £ 0 "x Î (a; b);

D. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a ; b) khi và chỉ khi f ′(x) ≥ 0 "x Î (a; b);

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a ; b) khi và chỉ khi f ′(x) ≥ 0 "x Î (a; b) và f ′(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x Î (a; b).

Câu 64:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu f ′(x) < 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b);

B. Nếu f ′(x) > 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b);

C. Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì f ′(x) £ 0 với mọi x Î (a; b);

D. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ′(x) > 0 với mọi x Î (a; b).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

+) Nếu f ′(x) < 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b)

+) Nếu f ′(x) > 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b)

+) Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì f ′(x) £ 0 với mọi x Î (a; b) và f ′(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x Î (a; b)

+) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì f ′(x) ≥ 0 với mọi x Î (a; b) và f ′(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x Î (a; b).

Câu 65:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình

Gọi m là số nghiệm của phương trình f (f (x)) = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m = 6;

B. m = 7;

C. m = 5;

D. m = 9.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt f (x) = u khi đó nghiệm của phương trình f (f (x)) = 1 chính là hoành độ giao điểm của đồ thị f (u) với đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta có ba nghiệm:

$[\begin{array}{l} f (x) = u_{1}, u_{1} \in (- 1; 0) \\ f (x) = u_{2}, u_{2} \in (0; 1) \\ f (x) = u_{3}, u_{3} \in (\frac{5}{2}; 3) \end{array}$

Tiếp tục xét số giao điểm của đồ thị hàm số f (x) với từng đường thẳng y = u₁, y = u₂, y = u₃.

Dựa vào đồ thị ta có được 7 giao điểm

Suy ra phương trình ban đầu f (f (x)) = 1 có 7 nghiệm.

Câu 66:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f (x + 2019) = 1 là:

Media VietJack

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f (x + 2019) = 1 có 3 nghiệm phân biệt.

$[\begin{array}{l} x + 2019 = a \\ x + 2019 = b \\ x + 2019 = c \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a - 2019 \\ x = b - 2019 \\ x = c - 2019 \end{array}$

Vậy số nghiệm thực của phương trình f (x + 2019) = 1 là: 3 nghiệm.

Câu 67:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn f (x) + f (−x) = 3 − 2cos x, với mọi x Î ℝ. Tính tích phân $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ ?

Xem đáp án

Ta có: f (x) + f (−x) = 3 − 2cos x

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 3 - 2 \cos x d x = {(3 x - 2 \sin x)|}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

$= 3 . \frac{π}{2} - 2 \sin (\frac{π}{2}) - 3 . (- \frac{π}{2}) + 2 \sin (- \frac{π}{2})$

= 3p − 4

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{3 π}{2} - 2$ .

Câu 68:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn

$f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}, \forall x \in ℝ$ . Tính $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ .

Xem đáp án

Ta có: $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$

$= \sqrt{2 + 2 (2 \cos^{2} x - 1)} = 2 \sqrt{\cos^{2} x} = 2 |\cos x|$

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{3 π}{2}}^{- \frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} 2 |\cos x| d x = - 2 \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x$

$= {- 2 \sin x|}_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \sin (- \frac{3 π}{2})$

= (−2).(−1) + 2.1 = 4

Vậy $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 2$ .

Câu 69:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 8$ . Tính $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} x . f (x^{2}) d x$ .

Xem đáp án

Đặt x² = 2t Þ 2x dx = 2dt Þ x dx = dt

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \sqrt{2} \Rightarrow t = 1 \end{cases}$

Khi đó $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} x . f (x^{2}) d x = \int_{0}^{1} f (2 t) d t = \int_{0}^{1} f (2 x) d x = 8$

Vậy $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} x . f (x^{2}) d x = 8$ .

Câu 70:

Cho f (x) liên tục trên ℝ và f (2) = 16, $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x$ bằng:

Xem đáp án

Xét $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$

Đặt $2 x = t \Leftrightarrow 2 d x = d t \Leftrightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \end{cases}$

$\int_{0}^{1} f (2 x) d x = \int_{0}^{2} \frac{f (t)}{2} d t = 2 \Rightarrow \int_{0}^{2} f (t) d t = \int_{0}^{2} f (x) d x = 4$

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases}$

$\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x = {x . f (x)|}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f (x) d x$

= 2f (2) − 4 = 2.16 − 4 = 28

Vậy $\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x = 28$ .

Câu 71:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có SH ^ (ABCD) $\Rightarrow (\hat{S D; (A B C D)}) = (\hat{S D; H D}) = \hat{S D H} = 60 °$

ABCD là hình vuông cạnh a nên

• $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

• $H O = \frac{1}{3} A O = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{6}$

Tam giác HDO vuông tại O, có:

$H D = \sqrt{O D^{2} + O H^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Tam giác SHD vuông tại H, có:

$\tan \hat{S D H} = \frac{S H}{H D} \Rightarrow S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{a \sqrt{5}}{3} . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{15}}{3}$ .

Vậy thể tích cần tính là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{15}}{3} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{9}$ .

Câu 72:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng A B C D trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Xem đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN.

Tam giác SGD vuông tại G nên $\hat{S D G}$ nhọn.

Do SG ^ (ABCD) nên $(\hat{S D; (A B C D)}) = (\hat{S D; D G}) = \hat{S D G} = 60 °$

Tam giác NAD vuông tại A nên $D N = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Suy ra $G D = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Do đó $S G = G D . \tan \hat{S D G} = \frac{a \sqrt{15}}{3}$

Ta có CD // AB mà CD Ì (SCD) nên AB // (SCD).

Ta có: $A C = \frac{3}{2} G C$

Suy ra $d (A B; S C) = d (A B; (S C D)) = d (A; (S C D)) = \frac{3}{2} d (G; (S C D))$

Từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại M thì CD ^ (SGM)

Suy ra (SCD) ^ (SGM).

Hai mặt phẳng (SCD) và (SGM) cắt nhau theo giao tuyến SM.

Từ G kẻ GH ^ SM, H Î SM thì GH ^ (SCD).

Do đó d(G; (SCD)) = GH

Ta có: $G M = \frac{2 a}{3}$ và tam giác SGM vuông tại G có đường cao GH nên

$G H = \frac{S G . G M}{\sqrt{S G^{2} + G M^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{15}}{3} . \frac{2 a}{3}}{\sqrt{{(\frac{a \sqrt{15}}{3})}^{2} + {(\frac{2 a}{3})}^{2}}} = \frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{15}{19}}$ .

Vậy $d (A B; S C) = \frac{3}{2} . \frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{15}{19}} = a \sqrt{\frac{15}{19}}$ .

Câu 73:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = \sqrt{2} a$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Ta có: S_ABCD = a.a = a².

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Câu 74:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và $S A = a \sqrt{6}$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Ta có: S_ABCD = a.a = a².

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{6} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Câu 75:

Hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó.

Xem đáp án

Do thiết diện tạo thành là một hình vuông nên độ dài đường cao h của hình trụ bằng 2 bán kính r của đáy.

Do đó h = 2r = 2a.

Khi đó thể tích hình trụ là:

V = pr²h = p.a².(2a) = 2pa³.

Câu 76:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án

Do thiết diện tạo thành là một hình vuông nên độ dài đường cao h của hình trụ bằng 2 bán kính r của đáy.

Do đó h = 2r = 2a.

Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2prh = 2p.a.(2a) = 4pa².

Câu 77:

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x² + y² = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x³ + y³) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

Xem đáp án

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\Leftrightarrow x y = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P = 2 t (2 - \frac{t^{2} - 2}{2}) - 3 . \frac{t^{2} - 2}{2}, (t \in [- 2; 2])$

$= 4 t - t^{3} + 2 t - \frac{3}{2} t^{2} + 3$

$= - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3 = f (t)$

Xét hàm số $f (t) = - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 3 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in [- 2; 2] \\ t = - 2 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta tính được: $f (- 2) = - 7; f (1) = \frac{13}{2}; f (2) = 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 2]} f (t) = f (1) = \frac{13}{2} = \max P$ và $\min_{[- 2; 2]} f (t) = f (- 2) = - 7 = \min P$

Vậy $M + m = \frac{13}{2} + (- 7) = \frac{- 1}{2}$ .

Câu 78:

Cho x, y là những số thực thoả mãn x² − xy + y² = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

Tính giá trị của A = M + 15m.

Xem đáp án

Ta có:

+) 1 + xy = x² + y² ≥ 2xy Û xy £ 1 (Vì (x − y)² = x² + y² − 2xy ≥ 0)

+) x² − xy + y² = 1

Û (x + y)² − 3xy = 1

Û (x + y)² = 1 + 3xy ≥ 0

$\Leftrightarrow x y \geq - \frac{1}{3}$

Khi đó: $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$

$= \frac{{(1 + x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2}$

$= \frac{1 + 2 x y + {(x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2} = \frac{- {(x y)}^{2} + 2 x y + 2}{x y + 2}$

Đặt $t = x y, t \in [- \frac{1}{3}; 1]$ , xét hàm số $P = \frac{- t^{2} + 2 t + 2}{t + 2}$

$P^{'} = \frac{- t^{2} - 4 t + 2}{{(t + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt{6}$

Ta tính được: $P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; P (1) = 1; P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Khi đó $m = P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; M = P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Vậy $A = M + 15 m = (6 - 2 \sqrt{6}) + 15 . \frac{11}{15} = 17 - 2 \sqrt{6}$ .

Câu 79:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$ .

Xem đáp án

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{x y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

$= \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

Xét $3 x + 2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} = 2 \sqrt{6 . 6} = 12$ (với x, y > 0)

Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có:

$Q = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{24}{3 x + 2 y} - \frac{18}{3 x + 2 y}$

$\geq 2 \sqrt{\frac{3 x + 2 y}{6} . \frac{24}{3 x + 2 y}} - \frac{18}{12} = 2 \sqrt{4} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} 3 x = 2 y \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ \frac{2 y^{2}}{3} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ y^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 (d o y > 0) \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{5}{2}$ đạt được khi x = 2, y = 3.

Câu 80:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$ .

Xem đáp án

Ta có: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

$= (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + (\frac{3 x}{2} + \frac{3 y}{2})$

$= (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + \frac{3}{2} (x + y)$

Áp dụng BĐT AM - GM với x, y > 0 ta có:

$\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{3 x}{2} . \frac{6}{x}} = 2 \sqrt{9} = 6$

$\frac{y}{2} + \frac{8}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{2} . \frac{8}{y}} = 2 \sqrt{4} = 4$

Khi đó: $M = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + \frac{3}{2} (x + y)$

$\geq 6 + 4 + \frac{3}{2} . 6 = 19$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2, y = 4.

Vậy GTNN của biểu thức M là 19 khi x = 2, y = 4.

Câu 81:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tìm k trong $\vec{M A} = k \vec{M B}$ .

Xem đáp án

Với M là điểm nằm trên đoạn AB sao và $A M = \frac{1}{5} A B$ nên suy ra:

$\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{5} (\vec{A M} + \vec{M B})$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A M} + \frac{1}{5} \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} - \frac{1}{5} \vec{M A} = - \frac{1}{5} \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5} \vec{M A} = - \frac{1}{5} \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} = - \frac{1}{4} \vec{M B}$

Vậy $k = - \frac{1}{4}$ .

Câu 82:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tính giá trị của k để có đẳng thức $\vec{A M} = k . \vec{A B}$ .

Xem đáp án

Với M là điểm nằm trên đoạn AB sao và $A M = \frac{1}{5} A B$ nên suy ra: $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B}$

Vậy $k = \frac{1}{5}$ .

Câu 83:

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4

. Kết quả

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đặt t = −x Þ dt = − dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ , khi đó:

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = - \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{1 + \frac{1}{e^{t}}} d t$

$= \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{\frac{e^{t} + 1}{e^{t}}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (- t)}{e^{t} + 1} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x$

Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1]

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow I + I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$

Vậy $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$ .

Câu 84:

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x = 3; \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$ . Tính $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$ .

Xem đáp án

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì:

$\{\begin{cases} \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{- b}^{- a} f (x) d x \end{cases}$

Xét $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$

Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx $\Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Suy ra $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{2} d t = 10 \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = 20$

Xét $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$

Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = - 1 \end{cases}$

Ta có: $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = \int_{- 1}^{0} f (t) d t$

$= \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (t) d t + \int_{- \frac{1}{2}}^{0} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x$

= 20 + 3 = 23

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = 23$ .

Câu 85:

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Xem đáp án

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: $\bar{a b c d}$ và a, b, c, d Î A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ¹ 0, a ¹ b ¹ c ¹ d.

Để $\bar{a b c d}$ chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.

+ Trường hợp 1: d = 0.

Chọn a Î A \ {0}, a có 9 cách chọn.

Chọn 2 số b, c Î A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_{8}^{2} = 56$ cách chọn.

Do đó có: 9.56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.

+ Trường hợp 2: d = 5.

Chọn a Î A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.

Chọn 2 số b, c Î A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_{8}^{2} = 56$ (cách chọn).

Do đó có: 8.56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.

Câu 86:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5?

Xem đáp án

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: $\bar{a b c d}$ và a, b, c, d Î A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ¹ 0.

Để $\bar{a b c d}$ chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.

+ Trường hợp 1: d = 0.

Chọn a Î A \ {0} có 9 cách chọn

Chọn 2 số b, c Î A có 10.10 = 100 (cách chọn).

Do đó có: 9.100 = 900 số tự nhiên có 4 chữ số có chữ số tận cùng là 0.

+ Trường hợp 2: d = 5.

Chọn a Î A \ {0} có 9 cách chọn

Chọn 2 số b, c Î A có 10.10 = 100 (cách chọn).

Do đó có: 9.100 = 900 số tự nhiên có 4 chữ số có chữ số tận cùng là 0.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 900 + 900 = 1800 số tự nhiên chia hết cho 5.

Câu 87:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x + 1$ lần lượt là M, m. Tính tổng M + m.

Xem đáp án

Ta có: $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x + 1$

$= 2 (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2})$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} + \cos x . \sin \frac{π}{3} + \frac{1}{2})$

$= 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x + \frac{π}{3}) \leq 2$

$\Leftrightarrow - 1 \leq 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1 \leq 3$

Þ m = min y = −1; M = max y = 3

Þ M + m = 3 + (−1) = 2

Khi đó tổng M + m bằng: 2.

Câu 88:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = \sin x - \sqrt{3} \cos x

Xem đáp án

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .