a) Điều kiện xác định: x > 0, x ≠ 1.

Ta có:

$$\begin{gathered} A=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right) \\ =\left[\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right] \\ =\left[\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}-\frac{\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right] \\ =\frac{x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}:\frac{x+\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)} \\ =\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\frac{x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)} \\ =2.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+1} \\ =\frac{{\displaystyle 2\text{x}-2}}{{\displaystyle x+1}} \end{gathered}$$

Vậy với x > 0, x ≠ 1 thì $A=\frac{2\text{x}-2}{x+1}$.

b) Với x > 0, x ≠ 1 ta có:

Để A đạt giá trị nguyên thì $\frac{4}{x+1}$ đạt giá trị nguyên

Suy ra x + 1 ∈ Ư(4) = {1; 2; 4; –1; –2; –4}

Mà x > 0, x ≠ 1 nên x + 1 > 1 và x + 1 ≠ 2

Do đó x + 1 = 3

Suy ra x = 3

Vậy x = 3 thì A đạt giá trị nguyên.

a) 182 – (96 – 54) = 182 – 42 = 140.

Ta có:

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x

(x + y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên phương trình $\left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x-2\right)}^2=0\\ {\left(x+y-1\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2=0\\ x+y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$

Vậy x = 2, y = –1.

Số lượng nước trong cơ thể người đó là:

     70 × 65 : 100 = 45,5 (kg)

Vậy một người 70 kg có khoảng 45,5 kg nước trong cơ thể.

Ta có: 962 : 58 = 16 (dư 34).

a) Ta có:

M = (x – 3)³ – (x + 1)³ + 12x(x – 1)

M = x³ – 9x² + 27x – 27 – x³ – 3x² – 3x – 1 + 12x² – 12x

M = 12x – 28.

b) Thay $\text{x}=\frac{-2}{3}$ vào biểu thức M ta có $M=12.\left(-\frac{2}{3}\right)-28=-8-28=-36$

c) Để M = –16 thì 12x – 28 = –16

                            ⇔ 12x = 12

                            ⇔ x = 1

Vậy x = 1 thì M = –16.

Ta có:

A = 5x(4x² – 2x + 1) – 2x(10x² – 5x – 2)

A = 20x³ – 10x² + 5x – 20x³ + 10x² + 4x

A = 9x

Thay x = 15 vào A ta có

A = 9 . 15 = 135

Vậy A = 135 với x = 15.

Ta có: $\text{S}\le x^2+y^2+z^2+6\text{x}yz$

Ta chứng minh x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9 = (x + y + z)²

⇔ 3(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ 3(x + y + z)²

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ (x + y + z)³

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 18xyz ≤ (x + y + z)³

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 18xyz ≤ x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3xy² + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz

⇔ 12xyz ≤ 2x²y + 2x²z + 2xy² + 2xz² + 2y²z + 2yz²

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx²) – 12xyz ≥ 0

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx² – 6xyz) ≥ 0

⇔ 2(xy² – 2xyz + xz² + yz² – 2xyz + yx² + zy² – 2xyz + zx²) ≥ 0

⇔ 2[x(y² – 2yz + z²) + y(z² – 2xz + x²) + z(y² – 2xy + x²)] ≥ 0

⇔ 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Vì x, y, z ≥ 0

Nên x(y – z)² ≥ 0, y(z – x)² ≥ 0, z(y – x)² ≥ 0

Suy ra 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Do đó x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9

Hay S ≤ 9

Dấu “ = ” xảy ra khi (x; y; z) = (0; 0; 3) và các hoán vị

Ta có $\text{S}\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz$

Ta sẽ chứng minh $x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge \frac{9}{2}=\frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{2}$

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ (x + y + z)²

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz

⇔ x² + y² + z² + 3xyz ≥ 2(xy + yz + xz)

⇔ 3(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 3 . 2(xy + yz + xz)

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 2(xy + yz + xz)(x + y + z)

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 9xyz ≥ 2x²y + 2xy² + 2xyz + 2xyz + 2y²z + 2yz² + 2x²z + 2xyz + 2xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ x²y + xy² + y²z + yz² + x²z + xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ (x²y + xy²) + (y²z + yz²) + (x²z + xz²)

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) (luôn đúng theo bất đẳng thức Schur)

Do đó $x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge \frac{9}{2}$

Hay $S\ge \frac{9}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của S là 9 và giá trị nhỏ nhất là $\frac{9}{2}$.

Bước 1: Đổ đầy bình 5 lít

Bước 2: Đổ từ bình 5 lít sang bình 3 lít sao cho đầy bình 3 lít, số lít còn lại ở bình 5 lít là 2 lít

Bước 3: Đổ hết rượu từ bình 3 lít trở lại bình 8 lít ban đầu, số lít trong bình ban đầu lúc này là 6 lít

Bước 4: Đổ 2 lít còn lại ở bình 2 lít sang bình 3 lít

Bước 5: Đổ đầy bình 5 lít từ bình ban đầu

Bước 6: Đổ đầy bình 3 lít từ bình 5 lít, số lít còn lại ở bình 5 lít là 4 lít (vì bình 3 lít đã có 2 lít ở bước 4 nên chỉ có thể đổ thêm 1 lít nữa từ bình 5 lít)

Vậy ta lấy được 4 lít rượu.

Gọi cạnh của vườn rau là a

Suy ra cạnh thửa ruộng hình vuông là 2a

Diện tích vườn rau là: a²

Diện tích thửa ruông hình vuông là: (2a)² = 4a²

Suy ra diện tích thửa ruộng gấp 4 lần diện tích vườn rau.

Hai lần xay tất cả số kg thóc là:

165,5 + 134,5 = 300 (kg)

Đổi 300 kg = 3 tạ

Cả hai lần xay được kg gạo là:

67,5 × 3 = 202,5 (kg) 

Vậy cả hai lần say được 202,5 kg gạo.

Diện tích phần tăng lên là:

29,44 – 23,92 = 5,52 (dm)

Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là:

5,52 : 1,2 = 4,6 (dm)

Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là:

23,92:  4,6 = 5,2 (dm)

Vậy ban đầu chiều rộng là 4,6 dm và chiều dài là 5,2 dm.

a) Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó nên:

S = a × a.

Chiều rộng của thửa ruộng đó là:

$60:\frac{3}{2}=40$ (m)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

60 × 40 = 2 400 (m²)

1 m² thu hoạch được số thóc là:

50 : 100 = 0,5 (kg)

Thửa ruộng đó thu hoạch được số kg thóc là:

2 400 × 0,5 = 1 200 (kg)

Đổi 1 200 kg = 12 tạ

Vậy trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được 12 tạ thóc.

Vì $\frac{-3}{4}=\frac{x}{20}=\frac{21}{y}$

Nên $\frac{-3}{4}=\frac{x}{20}$ và $\frac{-3}{4}=\frac{21}{y}$

Ta có $\frac{-3}{4}=\frac{x}{20}$

Suy ra (–3) . 20 = 4 . x

⇔ – 60 = 4 . x

⇔ x = –15

Ta có $\frac{-3}{4}=\frac{21}{y}$

Suy ra (–3) . y = 4 . 21

⇔ –3 . y = 84

⇔ y = –28

Vậy x = –15, y = –28.

Ta có: 23 – 9 – 9 – 5 = 0

Suy ra số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 23 là 599.

Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Trong tập hợp {0; 1; 3; 6; 9} có duy nhất số 1 không chia hết cho 3

Vậy số đó chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập hợp {0; 3; 6; 9}

Có 4! số có 4 chữ số khác nhau từ {0; 3; 6; 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0)

Có 3! số có 4 chữ số khác nhau từ {0; 3; 6; 9} bắt đầu với chữ số 0

Vậy kết quả là có 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số.

Ta có:

Vậy (62007 – 62006) : 62006 = 5.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{10}{27}=\frac{1}{27}+\frac{2}{27}+\frac{7}{27} \\ \frac{13}{12}=\frac{1}{12}+\frac{5}{12}+\frac{7}{12} \\ \frac{15}{8}=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}+\frac{7}{8}. \end{gathered}$$

(x – 5,6) – 3,2 = 4,5

x – 5,6 = 4,5 + 3,2

x – 5,6 = 7,7

x = 7,7 + 5,6

x = 13,3

Vậy x = 13,3.

Một năm có 12 tháng

Ta có 37 : 12 = 3 dư 1

Suy ra có chắc chắn 3 bé sinh cùng tháng.

Do trong cà phê tươi, nước chiếm 22% khối lượng nên cà phê nguyên chất chiếm: 

100% – 22% = 78%

Đổi 1 tấn = 1000 kg

Khối lượng cà phê nguyên chất có trong 1 tấn cà phê tươi là:

78% × 1000 = 780 (kg)

Trong cà phê khô, nước chiếm 4% khối lượng nên cà phê nguyên chất chiếm 

100% − 4% = 96%

Khối lượng cà phê khô (có tỉ lệ nước 4%) là:

780 : 96% = 812,5 (kg)

Khối lượng nước đã bay hơi đi là:

1000 – 812,5 = 187,5 (kg)

Vậy khối lượng nước cần bay hơi đi là 187,5kg  để lượng cà phê khô thu được có tỉ lệ nước là 4%.

Số thuần hạt chiếm số phần trăm trong hạt khô là:

100% – 10 %= 90%

Số thuần hạt chiếm số phần trăm trong hạt tươi là:

100% – 20% = 80%

Số thuần hạt trong hạt khô là:

450 : 100 × 90 =  405 (kg)

Cần phải đem phơi số ki - lô - gam hạt tươi là:

405 : 80 × 100 = 506,25 (kg)

Vậy phơi 506,25 kg hạt tươi được 450 kg hạt khô.

Số táo của Amy sau khi cho Andy và Johnny giảm là

10 + 7 = 17 (quả)

Số táo của Johnny sau khi nhận thêm táo Amy cho tăng 7 quả

Vì hai bạn có số táo bằng nhau, nên ban đầu Johhny có ít hơn Amy số táo là

17 + 7 = 24 (quả)

Vậy ban đầu Johnny có ít hơn Amy 24 quả táo.

Đặt A = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 + 27

Ta có:

A = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 + 27

A = 2 × 3 × 4 × 5 × 2 × 3 + 9 × 3

A = 2 × 4 × 5 × 2 × 9 + 9 × 3

Suy ra A chia hết cho 9, mà số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3

Vậy tổng trên cũng chia hết cho 3 và 9.

Ta có : A = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … + n(n + 1)

3A = 1 . 2 . (3 – 0) + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)]

3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + .... + n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

3A = (1.2.3 –1.2.3) + (2.3.4 – 2.3.4) + ... + [(n – 1)n(n + 1) – (n – 1) n(n + 1)] + n(n + 1)(n + 2)

3A = n(n + 1)(n + 2)

$\text{A}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$.

Gọi A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) sao cho hoành độ bằng hai lần tung độ.

Suy ra x₀ = 2y₀.

Mà A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) nên $y_0=2x_0^2$

Do đó $x_0=2.2x_0^2$

$\iff 4x_0^2-x_0=0$

Û x₀(4x₀ – 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Với x₀ = 0 ta có y₀ = 0;

Với $x_0=\frac{1}{4}$ ta có $y_0=\frac{1}{8}$.

Vậy các điểm thỏa mãn yêu cầu là O(0; 0) và $A\left(\frac{1}{4};\frac{1}{8}\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

(1 + 1 + 1)(a⁴ + b⁴ + c⁴) ≥ (a² + b² + c²)²

Mà a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca = 4

Suy ra ${\text{a}}^4+b^4+c^4\ge \frac{4^2}{3}=\frac{16}{3}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $\text{a}=b=c=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

Vậy ${\text{a}}^4+b^4+c^4\ge \frac{16}{3}$.

Ta có:

Suy ra ƯCLN(693, 495, 117) = 3² = 9

Vậy các số 693, 495 và 117 có ước chung lớn nhất là 9.

Khối lượng dung dịch muối sai khi pha là:

     3 : 15% = 20 (kg).

Số ki – lô – gam nước cần dùng là:

     20 – 3 = 17 (kg)

Vậy cần 17 kg nước để được bình nước muối chứa 15% muối.

Gọi m (m ∈ ℕ và 200 < m < 400) là số học sinh khối 6 cần tìm.

Vì khi xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều dư 5 nên ta có:

m – 5 ⋮ 12; m – 5 ⋮ 15 và m – 5 ⋮ 18

Suy ra m – 5 là bội chung của 12, 15 và 18

Ta có: 12 = 2² . 3; 15 = 3 . 5; 18 = 2 . 3²

Suy ra BCNN(12, 15, 18) = 2² . 3² . 5 = 180

Do đó BC(12, 15, 18) = {0; 180; 360; 540; ...}

Suy ra (m – 5) ∈ {0; 180; 360; 540; ...}

Suy ra m ∈ {5; 185; 365; 545; ...}

Mà 200 < m < 400 suy ra m = 365

Vậy số học sinh khối 6 là 365 học sinh.

Chọn A

Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử

Vậy có ${\text{A}}_7^3=210$ cách chọn.

a) 72,64 – (18,35 + 9,29)

= 72,64 – 18,35 – 9,29

= 54,29 – 9,29

= 45.

b) 45,83 – 8,46 – 7,37

= 37,37 – 7,37

= 30.

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Tổng A có 50 số hạng nên có 25 nhóm 2 số hạng

A = (1 + 50) + (2 + 49) + ... + (25 + 26)

A = 51 + 51 + ... + 51

A = 51 . 25 = 1 275.

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100

Số số hạng của tổng B là: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 (số)

Do đó B có 25 nhóm 2 số hạng

B = (2 + 100) + (4 + 98) + ... + (50 + 52)

B = 102 + 102 + ... + 102

B = 102 . 25 = 2 550.

c) C = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 99

Số số hạng của tổng C là: (99 – 1) : 2 + 1 = 50 (số)

Do đó C có 25 nhóm 2 số hạng

C = (1 + 99) + (3 + 97) +... + (49 + 51)

C = 100 + 100 + ... + 100

C = 100 . 25 = 2 500.

d) D = 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 98

Số số hạng của tổng D là: (98 – 2) : 3 + 1 = 33 (số)

Do đó D có 16 nhóm 2 số hạng và lẻ 1 số hạng

D = (2 + 98) + (5 + 95) + ... + (47 + 53) + 50

D = 100 + 100 + ... + 100 + 50

D = 100 . 16 + 50 = 1 650.

Ta đặt phép tính chia như sau:

Vậy số dư của phép chia 201 : 14 là 5.

Số thuần hạt chiếm số phần trăm trong hạt khô là:

100% – 10% = 90%

Số thuần hạt chiếm số phần trăm trong hạt tươi là:

100% – 15% = 85%

Số thuần hạt trong hạt khô là:

340 : 100 × 90 =  306 (kg)

Cần phải đem phơi số ki - lô - gam hạt tươi là:

306 : 85 × 100 = 360 (kg)

Vậy phơi 360 kg hạt tươi được 340 kg hạt khô.

Ta buộc 4 quyển toán với nhau – coi như 1 phần tử, số cách xếp 4 quyển toán này là 4! cách.

Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là 3! cách.

Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:

+ 1 buộc Toán

+ 1 buộc  Lý

+ 5 quyển Hóa

Thì sẽ có 7! cách xếp

Do đó theo quy tắc nhân ta có 7! × 4! × 3! = 725 760 cách xếp

2 lần số bé là:

32 – 2 × 10 = 12

Số bé là:

12 : 2 = 6

Số lớn là:

6 + 20 = 26

Vậy hai số cần tìm là 6 và 26.

Gọi số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai lần lược là a, b

Ta có: a + b = 32

Suy ra a + (b + 7) = 32 + 7 = 39

Vậy tổng mới là 39.

Gọi A(x₀; y₀) là điểm nằm trên đường thẳng y = 3x – 7 có hoành độ gấp đôi tung độ

Nên x₀ = 2y₀

Mà A(x₀; y₀) nằm trên đường thẳng y = 3x – 7 nên ta có:

y₀ = 3 . 2y₀ – 7, suy ra 5y₀ = 7

Do đó $y_0=\frac{7}{5}$

Suy ra $x_0=2.\frac{7}{5}=\frac{14}{5}$.

Vậy hoành độ của điểm đó là $\frac{14}{5}$.