Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho là: \(C_{15}^3\).

sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0

⇔ 2sinxcosx – (1 – 2sin²x) + 3sinx – cosx – 1 = 0

⇔ 2sin²x + 2sinxcosx + 3sinx – cosx – 2 = 0

⇔ (2sin²x + 3sinx – 2) + cosx(2sinx – 1) = 0

⇔ (2sinx – 1)(sinx + 2) + cosx(2sinx – 1) = 0

⇔ (2sinx – 1)(sinx + 2 + cosx) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x + \cos x + 2 = 0\end{array} \right.\)

+) Nếu sinx = \(\frac{1}{2}\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) Nếu sinx + cosx + 2 = 0 thì phương trình vô nghiệm vì sinx + cosx + 2 = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2 > 0\)

Vậy \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\frac{{126}}{{100}} = 1;\frac{{26}}{{100}} = 0,26\)

\(\frac{{1246}}{{10}} = 124;\frac{6}{{10}} = 0,6\)

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

log_x(125x) . (log₂₅x)² = 1

⇔ (log_x5³ + 1)(log₂₅x)² = 1

⇔ \[\frac{1}{{{{\log }_{{5^3}}}x}}.{\left( {{{\log }_{{5^2}}}x} \right)^2} + {\left( {{{\log }_{{5^2}}}x} \right)^2} = 1\]

⇔ \(\frac{3}{{{{\log }_5}x}}.\frac{1}{4}{\left( {{{\log }_5}x} \right)^2} + {\left( {{{\log }_5}x} \right)^2} = 1\)

⇔ 3log₅x + (log₅x)² = 4

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\log _5}x = 1\\{\log _5}x = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{1}{{625}}\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 hoặc x = \(\frac{1}{{625}}.\)

Giả sử giá của loại hàng thứ nhất và thứ hai không tính VAT lần lượt là x, y

(x, y > 0, triệu đồng; x < 2,17, y < 2,17)

Nếu áp dụng mức thuế VAT 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai thì :

   + Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là: x + 10%.x = x + 0,1x = 1,1x

   + Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là: y + 8%.y = y + 0,08y = 1,08y.

Số tiền người đó phải trả là 2,17 triệu đồng nên ta có phương trình: 1,1x + 1,08y = 2,17 (1)

Nếu áp dụng mức thuế VAT 9% đối với cả hai loại hàng thì :

   + Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là : x + 9%.x = x + 0,09x = 1,09x

   + Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là : y + 9%.y = y + 0,09y = 1,09y.

Số tiền người đó phải trả là 2,18 triệu đồng nên ta có phương trình:

1,09x + 1,09y = 2,18  ⇔ x+ y = 2   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 2,17\\1,09x + 1,09y = 2,18\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 2,17\\x + y = 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0,5\\y = 1,5\end{array} \right.\)

Vậy: nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả : 0,5 triệu cho loại thứ nhất và 1,5 triệu cho loại thứ hai.

sinx + cosx = m

⇔ (sinx + cosx)² = m²

⇔ sin²x + 2sinxcosx + cos²x = m²

⇔ 1 + 2sinxcosx = m²

⇔ sinxcosx = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\)

Vậy M = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).

\(x\sqrt x - 1 + \sqrt x - x\)

\( = \left( {x\sqrt x - x} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

\( = x\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

\( = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Gọi x, y lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ mộng sản xuất trong một tuần, (x, y ≥ 0)

Số tiền lãi mà người thợ thu được trong một tuần là: 

150x + 50y (nghìn đồng)

Theo bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\x + \frac{y}{4} \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\4x + y \le 16\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\left( I \right)\)

Vẽ miền nghiệm của (I) ta có miền nghiệm đó là miền tứ giác ABCO trong đó:

\(A\left( {0;\frac{{40}}{3}} \right),B\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{3}} \right),C\left( {\frac{{16}}{7};\frac{{48}}{7}} \right),O\left( {0;0} \right)\)

Đặt F(x; y) = 150x + 50y

Suy ra: \(F\left( A \right) = \frac{{2000}}{3};F\left( B \right) = \frac{{2200}}{3};F\left( C \right) = \frac{{4800}}{7};F\left( O \right) = 0\)

Vậy F(x; y)_max = F(B) = \(\frac{{2200}}{3}\)khi \(x = \frac{4}{3};y = \frac{{32}}{3}\).

Ta thấy đây là phát biểu sai

Vì: x² ≥ 0 với mọi x nên x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x

Suy ra: x² + 1 luôn khác 0 với mọi x.

A = x² + 4y² – 2x + 10 + 4xy – 4y

A = x² + (2y)² – 2x + 10 + 4xy – 4y

A = x² + (2y)² + 4xy – 2x + 10 – 4y

A = (x + 2y)² – 2(x + 2y) + 10

A = 5² – 2.5 + 10

A = 25 – 10 + 10

A = 25.

Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x² – x + 1 < 0” là mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x² – x + 1 ≥ 0”.

Ta có:

|x−a| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x − a ≤ 2

⇔ −a – 2 ≤ x ≤ a + 2

Ta được:

A = [a − 2; a + 2]

Xét A ∩ B = ∅

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a + 2 \le - 2\\a - 2 > 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a \le - 4\\a > 7\end{array} \right.\)

Do đó:

A ∩ B ≠ ∅ ⇔ −4 < a ≤ 7

Hay a ∈ (−4; 7]

⇒ m = – 4; n = 7

⇒ S = n + 2m = −1.

a) Chị Hoa phải trả số tiền là:

1050000.(1 − 30%) = 735000(đồng)

b) Giá chiếc túi đã giảm khi có thẻ khách hàng thân thiết là:

91000 : 10% = 910000 (đồng)

Giá chiếc túi ban đầu là:

910000 : (1 − 30%) = 1300000(đồng).

–87 + (–12) – (–487) + 512

= –87 – 12 + 487 + 512

= –99 + 999

= 900.

\(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\[y' = \frac{{\left( {x - 1} \right)'.\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}\]

\[y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}\]

\[y' = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} + x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\].

Phần trăm số học sinh không đạt là:

52% + 42% − 17% = 77%

Coi số học sinh là 100%

Phần trăm số học sinh đạt là:

100% − 77% = 23%.

Chữ "H" có 2 trục đối xứng.

\({\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)

⇔ \({\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}.{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)

⇔ \(1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}.{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)

⇔ \(\frac{1}{2}{\sin ^2}x - 2\sin x = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 4\left( L \right)\end{array} \right.\)(phương trình sinx = 4 vô nghiệm vì –1 ≤ sinx ≤ 1)

Với sinx = 0, suy ra: x = kπ (k ∈ ℤ)

0 < x < 2018 ⇔ 0 < kπ < 2018 ⇔ 0 < k < \(\frac{{2018}}{\pi }\)

⇔ k ∈ {1;2;3;…;642}

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:

S = π + 2π + 3π + … +642π = π(1 + 2 + 3 + … + 642)

= \(\frac{{642.\left( {642 + 1} \right)}}{2}\pi = 206403\pi \).

P = x² + 5y² + 4xy + 6x + 16y + 32

⇔ P = x² + (4xy + 6x) + 5y² + 16y + 32

⇔ P = x² + 2x(2y + 3) + (2y + 3)² – (2y + 3)² + 5y² + 16y + 32

⇔ P = [x + (2y + 3)]² – 4y² – 12y – 9 + 5y² + 16y + 32

⇔ P = (x + 2y + 3)² + y² + 4y + 23

⇔ P = (x + 2y + 3)² + (y + 2)² + 19

Vì (x + 2y + 3)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(y + 2)² ≥ 0 với mọi y ∈ R

⇒ P = (x + 2y + 3)² + (y + 2)² + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0

Suy ra, x = 1 và y = –2

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = –2.

Xếp 5 học sinh lớp 11C thành một hàng có 5! cách

∗TH1: Không có học sinh lớp 11A, 11B đứng cạnh nhau

 Giữa 5 học sinh lớp 11C tạo ra 5 khoảng trống

C__C__C__C__C__

Số cách chọn 5 vị trí trống có 2 cách

(C__C__C__C__C__ hoặc __C__C__C__C__C)

Xếp 5 học sinh lớp 11A và 11B vào 5 khoảng trống có 5! cách

Có 2 cách chọn 5 vị trí trống

Trường hợp này có 5!.5!.2 = 28800

∗TH2: Có 1 cặp gồm 2 học sinh lớp 11A,11B đứng cạnh nhau

(C A B C A C B C B C)

Giữa 5 học sinh lớp 11C tạo ra 4 khoảng trống

C__C__C__C__C

Chọn 1 cặp A,B có: 2.3 cách

Đổi chỗ vị trí cho A,B trong cặp có 2 cách

Xếp cặp A,B và học sinh lớp 11A, 11B còn lại 4! cách

Thường hợp này có 5!.2.3.4!.2 = 34560

Vây số cách sắp xếp học sinh = 28800 + 34560 = 63630.

Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng:

\(\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.2}^k}.{x^{10 - k}}} \) (0 ≤ k ≤ 10; k ∈ ℕ)

Số hạng thứ 7 tức k = 6.

Số hạng thứ 7 là: \(C_{10}^6{.2^6}.{x^{10 - 6}} = 13440{x^4}\).

–x² – 2xy – y²

= –(x² + 2xy + y²)

= –(x + y)².

1 lít dầu cân nặng là:

36 : 48 = 0,75 (kg).

Số dầu chứa trong can là:

(30 − 1,5) : 0,75 = 38 (lít).

Vì số học sinh xếp đủ nên số hàng dọc là ước chung của số học sinh ba lớp  Số hàng dọc nhiều nhất cũng là ước chung lớn nhất của số học sinh ba lớp .   

Ta có:  

54 = 2.3³                 

42 = 2.3.7                 

48 = 2⁴ .3            

ƯCLN (54; 42; 48) = 2.3 = 6. 

Vậy số hàng dọc nhiều nhất xếp được là 6 hàng.

76,22 – y . 3 = 30,61 . 2

⇔ 76,22 – 3y = 61,22

⇔ 3y = 76,22 – 61,22

⇔ 3y = 15

⇔ y = 15 : 3

⇔ y = 5.

Vậy y = 5.

P = \(\frac{{2\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{2}{{\sqrt x + 2}}\)

Với x > 3 và x là số tự nhiên tức x ≥ 4

Suy ra: \(\sqrt x + 2 \ge \sqrt 4 + 2 = 4\)

⇒ \(2 + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} \le 2 + \frac{2}{4} = \frac{5}{2}\)

Vậy P max = \(\frac{5}{2}\) khi x = 4.

x(x – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).

x + (–10) = –28 + –10 = –38

Nửa chu vi thửa ruộng là:

96 : 2 = 48 (m)

Chiều dài thửa ruộng là:

48 : (5 + 3) . 5 =30 (m)

Chiều rộng thửa ruộng là:

48 – 30 = 18 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

30 . 18 = 540 (m²)

Diện tích ăn quả là:

540 : 2 = 270 (m²).

a) S (100cm = 1m nên 418cm = 4,18m)

b) Đ (100cm = 1m nên 53cm = 0,53m)

c) Đ (100cm = 1m nên 105cm = 1,05m) 

d) S (10dm = 1m nên 908dm = 90,8m).

Ta có số phần tử của không gian mẫu khi dán 3 con tem vào 3 bức thư là hoán vị của 3 phần tử tức là: n(Ω) = 3! = 6

Gọi A là biến cố:"  hai bì thư trong ba bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào"

Ta có lấy 1 bì thư có sao cho có số thứ tự giống với con tem đã dán vào nó có 1 cách, và bì thư còn lại cũng có một cách. Từ đó ta có số phần tử cho biến cố A là 1.

n(A) = 1

Xác suất để được biến cố trên là:

\[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}\].

x – y và y – x không giống nhau

Đây là 2 số đối nhau vì x – y + y – x = 0.

S = 750m

V₁ = 3m/s

V₂ = 6m/s

V₃ = 18m/s

V = ƯC (3; 6; 18)

Mà: 3 = 3; 6 = 2.3; 18 = 2.3²

Thời gian họ gặp nhau lần đầu tiên là:

t = S : V = 750 : 3 = 250 (giây).

Diện tích hình thoi ABCD được tính như sau: 

S_ABCD = \(\frac{1}{2}\)AC.BD.

Độ dài đường chéo BD là: 20 . 2 : 10 = 4 (cm).

Giá vốn 50 chiếc túi xách:

50.150000 = 7500000 (đồng)

Giá bán để cửa hàng lãi 30% so với giá gốc là:

150000.(100% + 30%) = 150000.130% = 195000 (đồng)

Số tiền thu được khi bán với giá lãi 30%:

30.195000 = 5850000 (đồng)

Giá bán làm cửa hàng lỗ 5% so với giá gốc là:

150000.(100% − 5%) = 150000.95% = 142500 (đồng)

Số tiền thu được khi bán với giá lỗ 5%:

20.142500 = 2850000 (đồng)

Tổng tiền thu được:

5850000 + 2850000 = 8700000 > 7500000

Vậy cửa hàng lãi và lãi: 8700000 − 7500000 = 1200000 (đồng).

1km thì ô tô đó tiêu thụ hết số lít xăng là:

12,5 : 100 = 0,125 (lít).

60km thì ô tô tiêu thụ hết số lít xăng là:

60 . 0,125 = 7,5 (lít).

Đáp số: 7,5 lít.

Chiều cao của cây là: h = 1,7 + 20. tan35^o ≈ 15,7 m.

Đặt t = sinx + cos x

Khi đó: t = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vậy t ∈ \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Và t² = sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1 + 2sinxcosx

Suy ra: 2sinxcosx = sin2x = t² – 1

Phương trình đã cho trở thành: y = t + 1 – t² – 1 = –t² + t

Hàm số bậc 2 này có đồ thị là 1 Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\), đây cũng điểm cao nhất của đồ thị, tức là khi hàm số đạt giá trị lớn nhất

Suy ra: GTLN của hàm số tại t = \(\frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)

⇔ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

Do đó: \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} - \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\].

+) Vẽ đồ thị hàm số (d₁): y = \(\frac{{ - 1}}{2}x\)

Với x = 0 ⇒ y = 0 ta có điểm (0;0)(

Với x = 2 ⇒ y = \(\frac{{ - 1}}{2}\).2 = −1 ta có điểm (2;−1)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0;0);(2;−1) ta được (d₁)

+) Vẽ đồ thị hàm số (d₂):y =\(\frac{1}{2}x\)+ 3

Với x = 0 ⇒ y = 3 ta có điểm (0;3)

Với y = 0 ⇒\(\frac{1}{2}x\)+ 3 = 0 ⇒ x = −6 ta có điểm (−6;0)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0;3);(−6;0) ta được (d₂)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₃): y = 2x + b và (d₂): y =\(\frac{1}{2}x\)+ 3

2x + b = \(\frac{1}{2}x\)+ 3

⇔ \(\frac{3}{2}x = 3 - b\)

⇔ x = \(2 - \frac{2}{3}b\)

Thay x = \(2 - \frac{2}{3}b\) vào (d₂) ta được: y = \(\frac{1}{2}\left( {2 - \frac{2}{3}b} \right) + 3 = 4 - \frac{1}{3}b\)

Vì giao điểm của (d₂); (d₃) có tung độ và hoành độ đối nhau

⇒ x + y = 0

⇔ \(2 - \frac{2}{3}b + 4 - \frac{1}{3}b = 0\)

⇔ –b = – 6

⇔ b = 6

Vậy b = 6.

(n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + .... + 10 + 11 = 11

⇔ (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + .... + 10 = 0

Gọi số các số hạng từ n – 3 đến 10 là x

Ta có: [10 + (n – 3)].x : 2 = 0

⇔ (n + 7)x = 0

Vì x khác 0 do x là số các số hạng

Nên n + 7 = 0

Suy ra: n = – 7

Vậy n = –7.

\(\frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + ... + \frac{1}{{49.50}}\)

\( = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\)

\( = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{50}}\)

\( = \frac{4}{{50}} = \frac{2}{{25}}\).

Vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} \)

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} = 2\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} } \right) = 2\overrightarrow {CM} + 2\overrightarrow {AC} \)(*)

N là trung điểm AC nên: \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AN} \) suy ra: \(2\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AN} \)

(*) ⇒ \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {CM} + 2\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} + 4\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {CM} + 4\overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {BN} \)

⇒ \(3\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {CM} - 4\overrightarrow {BN} \)

⇒ \(\overrightarrow {AB} = \frac{{ - 2}}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \) (đpcm).

Đây là phát biểu đúng

Vì 45 phút = \(\frac{{45}}{{60}} = 0,75\)giờ

Nên 2 giờ 45 phút = 2 giờ + 0,75 giờ = 2,75 giờ.

99 + (–5) + (–104) + 11

= (99 + 11) + [(–5) + (–104)]

= 110 + (–109)

= 110 – 109

= 1.

[(–59) + 71] – [–83 – (–95)]

= (71 – 59) – (–83 + 95)

= 12 – 12

= 0.

a) a + a + 12 – b = 2a + 12 – b = 2.(–13) + 12 – 25 = –26 + 12 – 25 = –29.

b) a + b – (c + b) = a + b – c – b = a – c = –13 – (–30) = 30 – 13 = 17.

c) 25 + a – (b + c) – a = 25 – b – c = 25 – 25 – (–30) = 30.

Điều kiện: n ≥ 2 và n ∈ ℕ

Ta có: \(C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\)

⇔ \(\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!.n!}} + 3\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\)

⇔ \(n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{6}\)

Vì n + 1 > 0 nên chia cả 2 vế cho n + 1 ta có:

⇔ 1 + \(3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{6}\)

⇔ 6 + 3.3(n+2) = (n – 1)n

⇔ n² – 10n – 24 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n = - 2\left( L \right)\\n = 12\end{array} \right.\)

Vậy n = 12.

Cạnh của hình vuông đó là:

20 : 4 = 5 (cm)

Nếu kéo dài mỗi cạnh hình vuông 3cm thì độ dài cạnh hình vuông mới là:

5 + 3 = 8 (cm)

Chu vi hình vuông mới là:

8 . 4 = 32 (cm).

1) Vì m // n và x ⊥ m nên x ⊥ n (quan hệ từ vuông góc đến song song)

2) Vì m // n nên: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {A{}_2} = 60^\circ \)(2 góc đồng vị)

Mà \(\widehat {{A_1}},\widehat {{A_2}}\) là 2 góc đối đỉnh nên: \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = 60^\circ \].

Mỗi cách chọn 2 đỉnh trong 6 đỉnh để sắp xếp thành một vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Vậy có \(A_6^2\) vectơ khác \(\overrightarrow 0 \), có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của lục giác ABCDEF.

Bước 1: Tính tổng các chữ số từ 0 đến 999:

Thêm các chữ số 0 vào trước các số có 1 và 2 chữ số để ta được dãy số gồm toàn các số có 3 chữ số: 000; 001; 002; 003; 004; ...; 999 (Tổng các chữ số vẫn không thay đổi)

Khi này, dãy số trên có 1000 số

Số các chữ số là: 1000 × 3 = 3 000 (chữ số)

Mỗi chữ số 0; 1; 2; ...; 9 xuất hiện số lần là: 3000 : 10 = 300 (lần)

Vậy, tổng các chữ số từ 0 đến 999 là:

(0 + 1 + 2 + ... + 9) . 300 = 45 . 300 = 13 500

Bước 2: Tính tổng các chữ số từ 1000 đến 1999:

So với dãy số 000 đến 999 thì mỗi số tăng thêm 1 ở hàng nghìn

Vậy tổng các chữ số từ 1000 đến 1999 là:

13500 + 1 . 1000 = 13500 + 1000 = 14500

Bước 3: Tính tổng các chữ số từ 2000 đến 2021:

Ta có tổng các chữ số từ 2000 đến 2021 là:

(2 . 21 + 1 . 10 + 2 + 2 . 45) + (2 + 0 + 2 + 1)

= (42 + 10 + 2 + 90) + 5

= 144 + 5

= 149

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau thì:

2m + 1 ≠ m – 1

⇔ m ≠ −2

Để (d₁) và (d₂) cắt được trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 và m – 1 ≠ 0

⇔ m ≠ \(\frac{{ - 1}}{2}\)và m ≠ 1.

Ta tìm được giao điểm của d₁ và d₂ với Ox lần lượt là hai điểm:

\(A\left( {\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}};0} \right),B\left( {\frac{{ - m}}{{m - 1}};0} \right)\)

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành thì A trùng với B

Suy ra: \(\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\)

⇔ (2m + 3)(m – 1) = –m(2m + 1)

⇔ 2m² + m – 3 = –2m² – m

⇔ 4m² + 2m – 3 = 0

⇔ \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\).

Điểm có tung độ bằng 5 là A(0,5)

⇒ 5 = −3x + 2

⇒ x = −1

Thay x, y vào y = (k − 3)x − 4

⇔ 5 = (k − 3)⋅(−1) – 4

⇔ k = −6

Vậy k = –6.

Nếu trong 1 hình chữ nhật, có chiều dài và chiều rộng cùng tăng lên 4 lần thì diện tích tăng:

4 . 4 = 16 (lần).

Giả sử tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\)

Đặt \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = L\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x + 2} \right) = L\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x + 2} \right) = 1 - 2{L^2}\)

Ta có: sin2 = sin(2x + 2 – 2x)

sin2 = sin(2x + 2)cos(2x) – cos(2x + 2)sin(2x)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sin \left( {2x + 2} \right)\cos \left( {2x} \right) - \cos \left( {2x + 2} \right)\sin \left( {2x} \right)} \right]\)

⇒ sin2 = L(1 – 2L²) – (1 – 2L²)L

 ⇒ sin2 = 0 (vô lí)

Điều giả sử ban đầu sai.

Vậy không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).

Vì số học sinh nam là lẻ nên bạn nam phải đứng đầu hàng.

Khi đó xếp 21 bạn nam vào 21 vị trí cố định có: 21! = P₂₁  (cách).

Sau đó ta xếp 20 bạn nữ vào 20 vị trí trống xen kẽ với các bạn nam thì sẽ có: 

20! = P₂₀ (cách).

Ta có diện tích của hình bình hành là:

S_ABCD = AH.AB

 35.AB = 350

⇔ AB = 350 : 35 = 10 (cm)

Vậy AB = 10 cm.

y = (m − 1)x + 2m − 5

Với m=1,5 ta được:

y = (1,5 − 1)x + 2.1,5 – 5 = \(\frac{1}{2}x - 2\)
Gọi α là góc tạo bởi đồ thị hàm số tại x = 1,5 và trục hoành

tan α = \(\frac{1}{2}\). Suy ra: α ≈ 26°34’

(–167) . (67 – 34)

= (–167) . 33

= –5511.

(123 − 27) + (27 + 13 − 123)

= 123 – 27 + 27 + 13 − 123

= 13(123 − 27) + (27 + 13 − 123)

= 123 – 27 + 27 + 13 – 123

= 13.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4 \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = 16\)

⇒ \({\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b = 16\)

⇒ \[2\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 16 = {4^2} + {3^2} - 16 = 9\]

⇒ \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{9}{2}\]

Suy ra: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{3.4}} = \frac{3}{8}\].

Độ dài đường chéo còn lại là:

20 . 2 : 20 = 2 (cm)

Đáp số : 2cm.

f(x) = x²⁰²⁰ – 1 = (x²⁰²⁰ – x) + x – 1 = x(x²⁰¹⁹ – 1) + (x – 2)

= x[(x³)⁶⁷³ – 1⁶⁷³] + x – 1

Do (x³)⁶⁷³ – 1⁶⁷³ chia hết cho x³ – 1

Suy ra: x[(x³)⁶⁷³ – 1⁶⁷³] chia hết cho x³ – 1 mà cho x³ – 1 chia hết cho x² + x + 1

Do đó f(x) chia g(x) có số dư là x – 1.

(x – 12) – 15 = 20 – (17 + x)

⇔ x – 12 – 15 = 20 – 17 – x

⇔ x – 27 = 3 – x

⇔ 2x = 3 + 27

⇔ 2x = 30

⇔ x = 30 : 2

⇔ x = 15

Vậy x = 15.

720 : [41 – (2x – 5)] = 2³.5

⇔ 720 : [41 – (2x – 5)] = 8.5

⇔ 720 : [41 – (2x – 5)] = 40

⇔ 41 – (2x – 5) = 720 : 40

⇔ 41 – (2x – 5) = 18

⇔ 46 – 2x = 18

⇔ 2x = 46 – 18

⇔ 2x = 28

⇔ x = 28 : 2

⇔ x = 14

Vậy x = 14.

Áp dụng định lý cosin ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA = 7² + 5² – 2.7.5.\(\frac{3}{5}\)= 32

Suy ra: a = \(\sqrt {32} = 4\sqrt 2 \)

Ta có: sin A > 0, suy ra: sinA = \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \frac{4}{5}\)

Áp dụng công thức: S = \(\frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14\)

\[\frac{a}{{\sin A}} = 2R\]

Suy ra: R = \[\frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2.\frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\]

+) \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \)

S = p.r ⇒ r = \(\frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {6 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{28\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{28}} = 3 - \sqrt 2 \)

Vậy S = 14 (đvdt), R = \[\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\](đvđd), r = \(3 - \sqrt 2 \)(đvđd)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\end{array} \right.\]

⇒ \[\left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\]

⇒ \(\int {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - x\cot x + \int {\cot xdx} = - x\cot x + \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} = - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C\).

a) Khoảng cách từ O đến d là:

\({d_{\left( {O;d} \right)}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

b) Khoảng cách từ I đến d là:

\({d_{\left( {I;d} \right)}} = \frac{{\left| {2.3 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

1 hm² = 10000 m²

90000m² = 9 hm²

a) Lớp 4A có 16 học sinh tập bơi

b) Lớp 4B có 10 học sinh tập bơi

c) Lớp 4C có nhiều học sinh tập bơi nhất

d) Số học sinh tập bơi của lớp 4B ít hơn lớp 4A là 6 học sinh

e) Trung bình mỗi lớp có 15 học sinh tập bơi.

1ha = 1000 m²

\[\frac{3}{5}\]ha = 1000m². \[\frac{3}{5}\]= 600 m²

a) 320 = 2⁶ . 5

Số ước của 320 = (6 + 1)(1 + 1) = 14

b) 625 = 5⁴.

Suy ra 625 có 4 + 1 = 5 ước.

c) 504 = 2³.3².7.

Suy ra 504 có (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước.

d) 900 = 2².3².5².

Suy ra 900 có (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) =27 ước.

e) 3675 = 3.5².7².

Suy ra 3675 có (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 ước.

P = \(\frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }}\)

\[ = \frac{{\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + 3{{\sin }^2}\alpha }}{{2{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + 3.\frac{5}{9}}}{{2.{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + \frac{5}{9}}} = \frac{{19}}{{13}}\].

Ngũ giác là hình có 5 cạnh với tất cả các cạnh đều nằm trên cùng 1 mặt phẳng. Người ta phân chia ngũ giác thành 2 loại là ngũ giác không đều và ngũ giác đều.

–x – 14 + 32 = –26

⇔ –x = –26 – 32 + 14

⇔ –x = –44

⇔ x = 44

Vậy x = 44.

2x(3x + 5) – x(6x – 1) = 33

⇔ 6x² + 10x – 6x² + x – 33 = 0

⇔ 11x = 33

⇔ x = 33 : 11

⇔ x = 3

Vậy x = 3.

2|x – m| + x² + 2 > 2mx

⇔ 2|x – m| + x² + 2 – 2mx > 0

⇔ 2|x – m| + (x – m)² – m² + 2 > 0

⇔ |x – m|² + 2|x – m| + 1 > m² – 1

⇔ (|x – m| + 1)² > m² – 1

Để bất phương trình đúng với mọi x

Do (|x – m| + 1)² ≥ 1² = 1 nên m² – 1 < 1

Hay m² < 2

Suy ra: \( - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \).

\[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} =  - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

Suy ra: \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = - \frac{1}{2}{.6^2} - \frac{1}{3}{.6^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat A = 6.6.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = - 18\]

Suy ra: \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - 30 + \frac{7}{6}.\left( { - 18} \right) = - 51\].

Diện tích hình thang cân là:

\(\frac{1}{2}.25.\left( {40 + 30} \right) = 875\left( {{m^2}} \right).\)

Ta có: \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\)

⇔ m + \(3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}\)= sin³x

Đặt \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = u\) thì m + 3sinx = u³ thì phương trình trên trở thành:

m + 3u = sin³x

Đặt sinx = v thì ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 3v = {u^3}\\m + 3u = {v^3}\end{array} \right.\)

Suy ra: 3(v – u) + (v – u)(v² + uv + u² ) = 0

⇔ (v – u)(3 + v² + uv + u² ) = 0

Do 3 + v² + uv + u² > 0, ∀ u,v nên phương trình trên tương đương u = v

Suy ra: \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x\) hay m = sin³x – 3sinx

Đặt sinx = t (−1 ≤ t ≤ 1) và xét hàm f(t) = t³ − 3t trên [−1;1] có:

f′(t) = 3t² – 3 ≤ 0, ∀t ∈ [−1;1]

Nên hàm số nghịch biến trên [−1;1]

⇒ −1 = f (1) ≤ f(t) ≤ f(−1) = 2

⇒ −2 ≤ m ≤ 2

Vậy m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}.

Đổi 2 phút 30 giây = 2,5 phút

Vận tốc đoàn tàu đó là:

1200 : 2,5 = 480 (m/phút)

Đổi 159,84 km = 159840 m

Với vận tốc đó tàu chạy quãng đường 159,84 km trong số thời gian là:

159 840 : 480 = 333 (phút).

(3x + 2)(3x – 5)(x – 1)(9x + 10) + 24x²

= (9x² – 9x – 10)(9x² + x – 10) + 24x²

Đặt 9x² – 10 = a

Ta có: (a – 9x)(a + x) + 24x²

= a² – 9xa + ax – 9x² + 24x²

= a² – 8ax + 15x²

= a² – 5ax – 3ax + 15x²

= a(a – 5x) – 3x(a – 5x)

= (a – 5x)(a – 3x)

= (9x² –5x – 10)(9x² – 3x – 10)

S = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)

\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \]

\[ \le \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{{\frac{{a + b + c}}{3} + b + c - a + c + a - b + a + b - c}}{4}} \right)^2}\]

\[ \le \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^2} = \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }}\]

Vậy GTLN của S = \[\frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }}\] khi \(\frac{{a + b + c}}{3} = a + b - c = b + c - a = c + a - b\)

Hay a = b = c, tức tam giác đó là tam giác đều.

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

Gọi 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng đó lần lượt là a, a+d và a+2d ( d là công sai)

Vì tổng của chúng bằng 15 , ta có:

a + a + d + a + 2d = 15

⇒ 3a + 3d = 15

⇒ 3.(a + d) = 15

⇒ a + d = 5

Vậy số hạng thứ 2 là 5 và d = 5–a

Vì tích của chúng bằng 105

⇒ a.(a + d).(a + 2d) = 105

⇔ 5a.(a + 2d) = 105

⇔ a.(a + 2d) = 21

⇔ a² + 2ad = 21

⇔ a² + 2.a.(5 − a) = 21

⇔ a² + 10a−2a² = 21

⇔ −a² + 10a – 21 = 0

⇔ a² − 10a + 21 = 0

⇔ a = 7 hoặc a = 3

⇒ d = –2 hoặc d = 2

Vậy 3 số đó lần lượt là 7, 5, 3 hoặc 3, 5, 7.

Chiều dài mảnh đất là:

8,5 . 2 = 17(m)

Chu vi mảnh đất là:

(17 + 8,5) . 2 = 51 (m)

Diện tích mảnh đất là:

17 . 8,5 = 144,5 (m²).

Gọi số trên tờ vé số là \(\overline {abcdef} \)

mỗi chữ số có 10 cách chọn nên n(Ω) = 10⁶

a) Để trúng giải 8

Suy ra: \(\overline {ef} \) trùng với 2 chữ số quay được nên có 1 cách

4 số còn lại mỗi số có 10 cách chọn, nên 4 số có 10⁴ cách chọn

Vậy xác suất là: P = \(\frac{{{{10}^4}}}{{{{10}^6}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} = \frac{1}{{100}} = 0,01\)

b) Để trúng giải khuyến khích

Suy ra: \(\overline {bcdef} \) trùng với 5 chữ số quay được nên có 1 cách

Số còn lại có 10 cách chọn.

Vậy xác suất là: P = \(\frac{{10}}{{{{10}^6}}} = \frac{1}{{{{10}^5}}}\).

(2x + 3)² – 4x(x + 4) = 25

⇔ 4x² + 12x + 9 – 4x² – 16x – 25 = 0

⇔ –4x = 16

⇔ x = –4

Vậy x = –4.

Lấy 245 : 24 = 10 dư 5

Suy ra: 245 phút = 10 giờ 5 phút.

25 − ( − 17 ) + 24 – 12

= 25 + 17 + 24 – 12

= 54.

3x² – 2xy + y – 5x + 2 = 0

⇔ 12x² –8xy + 4y – 20x + 8 = 0

⇔ (4y − 8xy) − (6x − 12x²) + (7 − 14x) + 1 = 0

⇔ 4y.(1−2x) − 6x.(1 − 2x) + 7.(1 − 2x) = −1

⇔ (1 − 2x).(4y − 6x + 7) = −1

Do x, y nguyên nên 1 – 2x và 4y – 6x + 7 nguyên

Do đó: 1 – 2x và 4y – 6x + 7 là cặp ước của – 1

Ta có bảng:

Lấy 435 : 24 = 18 dư 3

Suy ra: 435 phút = 18 giờ 3 phút.

Đặt x + y = a; x – y = b

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {a^2} - {b^2} + \frac{5}{{{a^2}}} = 13\\a + b + \frac{1}{a} = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}5{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + 3{b^2} = 23\\a + \frac{1}{a} = 1 - b\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}5{\left( {1 - b} \right)^2} + 3{b^2} = 23\\a + \frac{1}{a} = 1 - b\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}8{b^2} - 10b - 18 = 0\\a + \frac{1}{a} = 1 - b\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = - 1\\b = \frac{9}{4}\end{array} \right.\\a + \frac{1}{a} = 1 - b\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\a + \frac{1}{a} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{9}{4}\\a + \frac{1}{a} = \frac{{ - 5}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\a = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{9}{4}\\{a^2} + \frac{5}{4}a + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy a = b = –1.

9x² – 36xy + 36y²

= (3x)² – 2.3x.6y + (6y)²

= (3x – 6y)².

Theo bài ra ta có:

A : B = 8 : 3 ⇔ \(\frac{A}{8} = \frac{B}{3} \Rightarrow \frac{A}{{24}} = \frac{B}{9}\)

A : C = 6 : 5 ⇔ \(\frac{A}{6} = \frac{C}{5} \Rightarrow \frac{A}{{24}} = \frac{C}{{20}}\)

Suy ra: \[\frac{A}{{24}} = \frac{B}{9} = \frac{C}{{20}} = \frac{{A + B + C}}{{24 + 9 + 20}} = \frac{{106}}{{53}} = 2\]

⇒ B = 2.9 = 18

Vậy B = 18.

1 + 2 + 3 + ... + n = 210

Dãy trên có số số hạng là:

(n − 1) : 1 + 1 = n (số hạng)

Tổng của dãy trên là:

(n + 1) . n : 2 = 210

⇔ (n+1)n = 420

⇔ (n + 1) n = 21.20

⇔ n = 20

Vậy n = 20.

\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2}\)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}AB.AC.\cos \widehat A + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2}\)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}.4.6.\cos 60^\circ + \frac{7}{{24}}{.6^2} - \frac{1}{2}{.4^2}\)

= 0

Vậy AM vuông góc BN.

M = \(4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2021\)

M = \(\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020\)

M = \({\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020\)

Có: (2x – 1)² ≥ 0 với mọi x, dấu “=” khi x = \(\frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x và \(\frac{1}{{4x}}\):

\(x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 2.\frac{1}{2} = 1\)

Dấu ‘=” khi x = \(\frac{1}{{4x}}\)hay 4x² = 1, tức x² = \(\frac{1}{4}\), mà x > 0 nên x = \(\frac{1}{2}\)

Vậy M ≥ 0 + 1 + 2020 = 2021

Dấu “=” khi x = \(\frac{1}{2}\).

MA² + MB² + MC² = \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

= \({\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

= \[3\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\]

Ta có tính chất trọng tâm tam giác: \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra: \[\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \]

Suy ra: MA² + MB² + MC² = \[3\overrightarrow {MG} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\]

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

252 = 2².3².7

Số 252 có số ước là:

(2 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 18

Ư(252) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 12; 14; 18; 21; 28; 36; 42; 63; 84; 126; 252}.

Diện tích toàn phần của hình trụ:

S_tp = S_xq + 2S_đ = 2πrh + 2πr²

Theo bài ra, ta có:

2πrh + 2πr² = 292,5π

⇔ rh + r² = 146,25

⇔ h = \(\frac{{146,25 - {r^2}}}{r} = \frac{{146,25 - 6,{5^2}}}{{6,5}} = 16\left( {cm} \right)\)

Thể tích hộp sữa là:

V = πr²h = π.6,5².16 = 676π (cm³).

a) Chiều rộng mảnh đất là:

40 : 2 = 20 (m)

Diện tích mảnh đất là:

20 . 40 = 800 (m²)

b) Diện tích đất làm nhà:

800 . 30% = 240 (m²).

Số tiền nhận được sau 1 tháng chiếm  là :

100% + 0.6% = 100,6% (số tiền)

Số tiền nhận được sau 1 tháng là :

50000000 : 100 . 100,6 = 50300000 (đồng).

Đáp số : 50300000 đồng .

Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

\(C_n^2 = \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

\(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right) - 2n}}{2} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Giá tiền xăng giảm giá lúc đầu là:

18000 . (100% – 20%) =14400 (đồng)

Giá tiền xăng sau 2 lần giảm là :

14400 . (100% – 10%) = 12960 (đồng)

Vậy sau 2 lần điều chỉnh giá xăng là 12960 đồng.

a) 2075 : 5 = x . 75 : 5 + 40

⇔ 415 = 15x + 40

⇔ 15x = 375

⇔ x = 375 : 15

⇔ x = 25

Vậy x = 25.

b) x + x : 5 . 7,5 + x : 2 . 9 = 315

⇔ x + x . 1,5 + x . 4,5 = 315

⇔ x(1 + 1,5 + 4,5) = 315

⇔ 7x = 315

⇔ x = 315 : 7

⇔ x = 45.

Vậy x = 45.

46 : 24 + 8 : 24

= (46 + 8) : 24

= 54 : 24

= 2,25

x² + x + 2009 = y²

⇔ 4x² + 4x + 8036 = 4y²

⇔ (2x + 1)² + 8035 = (2y)²

⇔ (2y)² – (2x + 1)² = 8035

⇒ (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) = 8035
⇒ (2y − 2x − 1, 2y + 2x + 1) là cặp nghiệm của 8035
Mà 2y − 2x – 1 + 2y + 2x + 1 = 4y ⋮ 4
⇒ (2y − 2x − 1, 2y + 2x + 1) ∈ {(1, 8035); (8035, 1); (5, 1607); (1607, 5); (−1, −8035); (−8035, −1); (−5, −1607); (−1607, −5)}

⇒(2y − 2x, 2y + 2x) ∈ {(2, 8034); (8036, 0); (6, 1606); (1608, 4); (0, −8036); (−8034, −2); (−4, −1608); (−1606, −6)}

⇒(y − x, y + x) ∈ {(1, 4017); (4017, 0); (3, 803); (803, 2); (0, −4017); (−4017, −1); (−2, −8004); (−8004, −3)}.

Vì y – x ; y + x chẵn

⇒ (y − x, y + x) ∈ {(1, 4017); (3, 803); (−4017, −1); (−2, −8004)}

⇒ (2y, 2x) ∈ {(4018, 4016); (806, 800); (−4018, 4016); (−8006, −8002)}

⇒ (y, x) ∈ {(2009, 2008); (403, 400); (−2009, 2008); (−4003, −4001)}.

A = x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 10

A = x⁴ – x³ – 2x³ + 2x² + 2x² – 2x – x + 10

A = x³(x – 1) – 2x²(x – 1) + 2x(x – 1) – (x – 1) + 9

A = (x – 1)(x³ – 2x² + 2x – 1) + 9

A = (x – 1)²(x² – x + 1) + 9

A = (x – 1)²\(\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]\) + 9

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x và \(\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]\) > 0 với mọi x nên

(x – 1)² \(\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]\)≥ 0 với mọi x.

Suy ra: A ≥ 0 + 9 = 9

Dấu “=” xảy ra khi x = 1

Vậy min A = 9 khi x = 1.

Không gian mẫu là việc sắp xếp 6 bạn vào 6 ghế tùy ý

⇒ n(Ω) = P6 = 6! = 720.

a) Gọi A: “ Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

+ Chọn chỗ ngồi cho 3 bạn nữ: Có 2 cách (Vị trí 1,3,5 hoặc 2,4,6).

+ Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách

+ Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách

⇒ Theo quy tắc nhân: n(A) = 2.6.6 = 72 (cách).

⇒ n(A) = 2.3!.3! = 72

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{72}}{{720}} = 0,1\)

b) B: “Ban bạn nam ngồi cạnh nhau”

+ Chọn 3 chỗ ngồi cạnh nhau cho 3 bạn nam: Có 4 cách.

+ Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách.

+ Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách

⇒ Theo quy tắc nhân: n(B) = 4.6.6 = 144 (cách)

\(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{144}}{{720}} = 0,2\)

Xác suất để ba bạn nam ngồi cạnh nhau là:

\(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{144}}{{720}} = 0,2\).

6xy − 9x − 4y + 5 = 0

⇒ 3x(2y − 3) − 4y + 6 = 1

⇒ 3x(2y − 3) − 2(2y − 3) = 1

⇒ (3x − 2)(2y − 3) = 1

Ta có bảng:

Vì x, y là số tự nhiên nên x = 1; y = 2.

Khi cắt đi \(\frac{1}{9}\) mảnh vải thứ nhất thì mảnh vải đó còn lại \(\frac{8}{9}\) phần.

Khi cắt đi \(\frac{3}{7}\) tấm vải thứ hai thì mảnh vải đó còn lại \(\frac{4}{7}\) phần.

Khi cắt đi \(\frac{1}{3}\) tấm vải thứ ba thì mảnh vải đó còn lại \(\frac{2}{3}\) phần.

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, do phần còn lại của ba tấm vải bằng nhau nên coi mảnh vải thứ nhất là 9 phần bằng nhau thì mảnh vải thứ hai bằng 14 phần như thế; mảnh vải thứ ba bằng 12 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là :

9 + 14 + 12 = 35 (phần)

Giá trị của một phần là :

105 : 35 = 3 (m)

Mảnh vải thứ nhất dài là :

3 . 9 = 27 (m)

Mảnh vải thứ hai dài là :

3 . 14 = 42 (m)

Mảnh vải thứ ba dài là :

3 . 12 = 36 (m)

Đáp số : mảnh vải 1 : 27m; mảnh vải 2 : 42m; mảnh vải 3 : 36m.