Giá tiền hạ là:

400 000 × 15% = 60 000 (đồng)

Giá tiền chiếc xe đạp bây giờ là:

400 000 – 60 000 = 340 000 (đồng)

Đáp số: 340 000 đồng.

Tỉ số giữa vận tốc 25 km/giờ và vận tốc 30 km/giờ là: $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$

Vậy thời gian đi với vận tốc 25 km/giờ = $\frac{6}{5}$  thời gian đi với vận tốc 30 km/giờ (vì trên cùng quãng đường, thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch).

Hiệu thời gian đi với vận tốc 25 km/giờ và thời gian đi với vận tốc 30 km/giờ là:

2 – 1 = 1 (giờ)

Thời gian đi với vận tốc 25 km/giờ là:

1 : (6 – 5) × 6 = 6 (giờ)

Quãng đường từ thành phố về quê dài:

6 × 25 = 150 (km)

Đáp số: 150 km.

Số người ăn tỉ lệ nghịch với số ngày vì số gạo không thay đổi nên số người ăn tăng lên bao nhiêu lần thì số ngày ăn sẽ giảm đi bấy nhiêu lần (và ngược lại).

Số gạo đó đủ cho 1 người ăn trong :

120 × 50 = 6000 (ngày)

 Số gạo đó đủ cho 200 người ăn trong:

 6000 : 200 = 30 (ngày)

 Đáp số: 30 ngày.

Số công nhân và số ngày làm tỉ lệ nghịch với nhau vì cùng một khối lượng công việc, số công nhân tăng lên bao nhiêu lần thì số ngày làm giảm đi bấy nhiêu lần (và ngược lại).

Số ngày còn lại phải làm theo dự định là

7 – 3 = 4 (ngày)

Số người sau khi được bổ sung là:  

       240 + 80 = 320 (người)

Ta có:                    

          240 công nhân –––––––––  4 ngày

          320 công nhân ––––––––– … ngày ?

Nếu 1 công nhân làm thì cần số ngày là:

         240 × 4 = 960 (ngày)

Vậy 320 công nhân làm trong số ngày là:

         960 : 320 = 3 (ngày)

           Đáp số: 3 ngày.

Lời giải:

$A=\frac{75}{100}+\frac{18}{21}+\frac{19}{32}+\frac{1}{4}+\frac{3}{21}+\frac{13}{32}$

$=\frac{3}{4}+\frac{18}{21}+\frac{19}{32}+\frac{1}{4}+\frac{3}{21}+\frac{13}{32}$

$=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{18}{21}+\frac{3}{21}\right)+\left(\frac{19}{32}+\frac{13}{32}\right)$

B = (27,5 × 0,1 + 2,5 × 0,1) x 2

= [(27,5 + 2,5) × 0,1] × 2

= (30 × 0,1) × 2

= 6

Suy ra A < B (vì 3 < 6).

Gọi phân số cần tìm là $\frac{a}{b}$ .

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{41}{20}$

Ta thấy $\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1$

Đặt $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=k$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\frac{41}{20}+k}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\frac{41}{20}-k}{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{b}.\frac{b}{a}=\frac{\frac{41}{20}+k}{2}.\frac{\frac{41}{20}-k}{2}=1$

$\Rightarrow \frac{\left(\frac{41}{20}+k\right).\left(\frac{41}{20}-k\right)}{4}=1$

$\Rightarrow {\left(\frac{41}{20}\right)}^2-k^2=4$

$\Rightarrow \frac{1681}{400}-k^2=\frac{1600}{400}$

$\Rightarrow k^2=\frac{81}{400}$

$\Rightarrow k=\frac{9}{20}$

Vậy phân số cần tìm là: $\frac{a}{b}=\frac{\frac{41}{20}+\frac{9}{20}}{2}=\frac{5}{4}$  .

Ta thấy:

4 = 1 + 3

7 = 4 + 3

10 = 7 + 3

13 = 10 + 3

…

55 = 52 + 3

58 = 55 + 3

Vậy quy luật của dãy số này là: mỗi số kể từ số thứ hai bằng số liền trước cộng thêm 3 đơn vị.

Số các số hạng trong dãy số trên là:

(58 – 1) : 3 + 1 = 20 (số)

Tổng các số hạng của dãy số trên là:

(58 + 1) × 20 : 2 = 590

Đáp số: 590.

Vì thương của số bé và số lớn là 0,6 nên số bé bằng $0,6=\frac{3}{5}$  số lớn.

Ta coi số bé là 3 phần bằng nhau thì số lớn là 5 phần bằng nhau.

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 phần

Giá trị 1 phần là: 0,6 : 8 = 0,075

Số bé: 0,075 × 3 = 0,225

Số lớn: 0,6 – 0,225 = 0,375.

Số tấn gạo người ta đã lấy ra là:

$537,25\times \frac{1}{10}=53,725$ (tấn)

Trong kho còn lại số gạo là:

537,25 – 53,725 = 483, 525 (tấn)

Đáp số: 483, 525 tấn gạo.

Lời giải:

         $\begin{array}{r}\times \begin{array}{r}372\\ \underset{¯}{0,2}\end{array}\\ 744\\ \underset{¯}{000}\\ \text{74,4}\end{array}$                   $\begin{array}{l}\begin{array}{l}74,4\\ \underset{¯}{49}\end{array}\begin{array}{l}49\\ 1,5\end{array}\\ 254\\ \underset{¯}{245}\\ \text{ 9}\end{array}$                      

Vậy 372 × 0,2 : 49 = 1,5 (dư 9).

Ta có:

$\Delta ={\left(3m+2\right)}^2-4.m.1=9m^2+12m+4-4m$

$=9m^2+8m+4$

Xét $f\left(x\right)=9m^2+8m+4$  có: $\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=4^2-9.4=-20<0\\ a=9>0\end{array}\right.$

$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall m$

$\Rightarrow \Delta >0\forall m$

Vậy phương trình $m{x}^2-\left(3m+2\right)x+1=0$  luôn có nghiệm với mọi m.

May 1 bộ quần áo hết số vải là:

1,55 + 2,05 = 3,6 (m)

202 m vải may được số bộ quần áo là:

202 : 3,6 = 56 (bộ) và còn thừa 0,4 m vải.

Đáp số: 56 bộ và 0,4 m vải.

Hiệu số phần là:

3 – 1 = 2 phần

Tuổi con là:

24 : 2 × 1 = 12 (tuổi)

Tuổi mẹ là:

24 + 12 = 36 (tuổi)

Đáp số: Con: 12 tuổi, mẹ 36 tuổi.

8,5 lít xăng nặng số kg là:

8,22 – 1,25 = 6,97 (kg)

1 lít xăng nặng số kg là:

6,97 : 8,5 = 0,82 (kg)

28,3 lít xăng nặng số kg là:

28,3 × 0,82 = 23,206 (kg)

Một thùng xăng chứa 28,3 lít xăng nặng số kg là:

23,206 + 3,08 = 26,286 (kg)

Đáp số: 26,286 kg.

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

36 : 2 = 18 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

(18 – 2) : 2 = 8 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

8 + 2 = 10 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

10 × 8 = 80 (cm²)

Đáp số: 80 cm².

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

56 : 2 = 28 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

(28 + 12) : 2 = 20 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

28 – 20 = 8 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

20 × 8 = 160 (cm²)

Đáp án: 160 cm².

Đổi $20m^2=2000d{m}^2$

Chiều cao hình thang là:

2000 × 2 : (55 + 45) = 40 (dm)

Đáp số: 40 dm.

Gọi độ dài cạnh đáy tam giác là a, chiều cao là h.

Ta có diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}a.h$

Nếu đáy tam giác tăng lên 2 lần thì độ dài mới là: 2a

Chiều cao tăng lên 3 lần thì chiều cao mới là: 3h

Diện tích mới là: $\frac{1}{2}.2a.3h=3.a.h$

Vậy diện tích tam giác tăng lên:

$3:\frac{1}{2}=6$ (lần).

Chiều dài đám đất là:

16,5 × 3 = 49,5 (m)

Diện tích đám đất hình chữ nhật là:

49,5 × 16,5 = 816,75 (m²)

Người ta thu hoạch được:

816,75 × 6,8 = 5553,9 (kg) = 55, 539 tạ

Đáp số: 55,539 tạ cà chua.

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

MA + MC  AC

MB + MD  BD

Từ đó suy ra:

MA + MB + MC + MD  AC + BD

MA + MB + MC + MD nhỏ nhất khi MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.

Số gạo đã lấy ra là:

537,25 : 10 = 53,725 (tấn)

Số gạo còn lại trong kho là:

537,25 – 53,725 = 483,525 (tấn)

Đáp số: 483,525 (tấn)

Số thùng nước mắm và số lít nước mắm tỉ lệ thuận với nhau.

1 thùng đựng được: 96 : 3 = 32 (l)

 Vậy 5 thùng đựng được: 32 × 5 = 160 (l)

 Đáp số: 160 lít.

Trong 1 ngày 8 người sửa được:

64 : 2 = 32 (m)

Trong 5 ngày 8 người sửa được:

32 × 5 = 160 (m)

Trong 5 ngày 1 người sửa được:

160 : 8 = 20 (m)

Trong 5 ngày 9 người sửa được:

20 × 9 = 180 (m)

Đáp số: 180 m.

Nhân 3 vào hai vế ta được:

3A = 3. [1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ (n – 1).n]

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +…+ (n – 1).n.3

3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +…+ (n – 1).n.[(n + 1) – (n – 2)]

3A = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +…+ (n – 1).n.(n + 1) – (n – 2).(n – 1).n

3A = (n – 1).n.(n + 1)

Suy ra A = $\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}$ .

a, (–90 + 150) – (10 – 50)

= –90 + 150 – 10 + 50

= (–90 – 10) +(150 + 50)

= –100 + 200 = 100.

b, 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 + …+ 997 – 998 – 999 + 1000.

= (1 – 2 – 3 + 4) + (5 – 6 – 7 + 8) +…+ (997 – 998 – 999 + 1000)

=0 + 0 + …+ 0 = 0.

Đặt A = $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$

4A = $4a+4b+4c+\frac{12}{a}+\frac{36}{2b}+\frac{16}{c}$

= $a+2b+3c+3a+\frac{12}{a}+2b+\frac{36}{2b}+c+\frac{16}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

$\frac{12}{a}+3a\ge 2\sqrt{12.3}=12$

$2b+\frac{36}{2b}\ge 2\sqrt{36}=12$

$c+\frac{16}{c}\ge 2\sqrt{16}=8$

$\Rightarrow 4A\ge 20+12+12+8=52$

$\Rightarrow A\ge 13$

Dấu “=” xảy ra a = 2, b = 3, c = 4.

Sữa trong 50 chai nặng:

50 × 0,5 × 1,02 = 25,5 (kg)

50 vỏ chai nặng:

50 × 0,2 = 10 (kg)

Vậy 50 chai sữa đó cân nặng tất cả:

25,5 + 10 = 35,5 (kg)

Đáp số: 35,5 kg.

x + 32 = x + 1 + 31

x + 1 là ước của x + 32 (x + 32) ⁝ (x + 1) 31 ⁝ (x + 1)

x + 1 {1; –1; 31; –31}

x {0; – 2; 30; –32}.

Đặt A = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 +…+ n × (n + 1)

3A = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 +…+ n × (n + 1) × 3

3A = 1 × 2 × (3 – 0) + 2 × 3 × (4 – 1) + 3 × 4 × (5 – 2) +…+ n × (n + 1) × [(n + 2) – (n – 1)]

3A = 1 × 2 × 3 – 0 × 1 × 2 + 2 × 3 × 4 – 1 × 2 × 3 + 3 × 4 × 5 – 2 × 3 × 4 +…+ n × (n + 1) × (n + 2) – n × (n + 1) × (n – 1)

3A = n × (n + 1) × (n + 2)

Suy ra A = $\frac{n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)}{3}$  .

Gọi d = ƯCLN(14n + 3; 21n + 4)

Khi đó $\left\{\begin{array}{c}\left(14n+3\right)⋮d\\ \left(21n+4\right)⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}3.\left(14n+3\right)⋮d\\ 2.\left(21n+4\right)⋮d\end{array}\right.$

[3. (14n + 3) – 2. (21n + 4)] $⋮$ d

(42n + 9 – 42n – 8) $⋮$ d

1 $⋮$ d

Khi đó ta có d = 1.

Vậy ƯCLN(14n + 3; 21n + 4) = 1 hay $\frac{14n+3}{21n+4}$   là phân số tối giản (n là số tự nhiên).

  $A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)$ $=x^4{y}^4+1+x^4+y^4$

$\iff A={\left(x^2+y^2\right)}^2+{\left(x^2{y}^2-1\right)}^2$

$\iff A={\left[{\left(x+y\right)}^2-2xy\right]}^2+{\left(x^2{y}^2-1\right)}^2$

$\iff A={\left(10-2xy\right)}^2+{\left(x^2{y}^2-1\right)}^2$

Đặt t = xy $\Rightarrow A={\left(10-2t\right)}^2+{\left(t^2-1\right)}^2$

$\iff A=t^4+2t^2-40t+101$

Theo BĐT AM– GM: $xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}$  do đó $t\in \left(0;\frac{5}{2}\right]$

Thấy $A=t^4+2t^2-40t+101={\left(t^2-4\right)}^2+10{\left(t-2\right)}^2+45$

$\iff A={\left(t-2\right)}^2\left[{\left(t+2\right)}^2+10\right]+45\ge 45$

Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A min = 45 $\iff t=2\iff \left(x,y\right)=\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)$  .

a)

Vì G đối xứng với F qua A nên G, A, F thẳng hàng và GA = AF.

Ta có: AF // = CE (do ACEF là hình bình hành) nên AG // = CE.

Do đó tứ giác AGCE là hình bình hành có hai đường chéo là AC và GE.

Lại có ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AC và BD.

Vậy O là trung điểm của GE nên G, O, E thẳng hàng.

b) Xét tứ giác GBED có hai đường chéo GE và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên GBED là hình bình hành.

Do đó, GD // BE.

c) Ta có CE = AD (CE bằng cạnh hình thoi ABCD)

Mà CE = AG = AF nên AD = AG = AF. Suy ra $AD=\frac{1}{2}GF$

Do đó, tam giác GDF vuông tại D.

Suy ra GD ⊥ DF.

Mà GD // BE (do GBED là hình bình hành) nên DF ⊥ BE.

Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

Mà AC // EF (do ACEF là hình bình hành)

Nên EF ⊥ BD.

Xét tam giác BEF có DF ⊥ BE và EF ⊥ BD nên D là giao của hai đường cao của tam giác BEF, do đó D là giao của 3 đường cao của tam giác BEF. Vậy D là trực tâm của tam giác BEF.

Vì α là góc tù nên $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$

Do đó: 

$\sin \alpha =-\cos \alpha =\frac{4}{5}$

$\iff \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }-\cos \alpha =\frac{4}{5}$

$\iff \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{4}{5}+\cos \alpha \iff \left\{\begin{array}{c}1-{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{4}{5}+\cos \alpha \right)}^2\\ \cos \alpha \ge -\frac{4}{5}\end{array}\right.$

$\begin{array}{c}50{\cos }^2\alpha +40\cos \alpha -9=0\\ \cos \alpha \ge -\frac{4}{5}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\cos \alpha =\frac{-4+\sqrt{34}}{10}\\ \cos \alpha =\frac{-4-\sqrt{34}}{10}\end{array}\iff \cos \alpha =\frac{-4-\sqrt{34}}{10}\right.\\ \cos \alpha \ge -\frac{4}{5}\end{array}\right.$(do α tù)

M = sinα – 2cosα = (sinα – cosα) – cosα =  $\frac{4}{5}-\frac{-4-\sqrt{34}}{10}=\frac{12+\sqrt{34}}{10}$.

2x = 3y; 4y = 5z

$\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2};\frac{y}{5}=\frac{z}{4}$

$\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{8}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{8}=\frac{2x+3y-4z}{2.15+3.10-4.8}=\frac{56}{28}=2$

$\begin{array}{l}\frac{x}{15}=2\Rightarrow x=30\\ \frac{y}{10}=2\Rightarrow y=20\\ \frac{z}{8}=2\Rightarrow z=16\end{array}$

Vậy x, y, z lần lượt là 30, 20, 16.

2x = 5y = 3z $\Rightarrow \frac{2x}{30}=\frac{5y}{30}=\frac{3z}{30}\Rightarrow \frac{x}{15}=\frac{y}{6}=\frac{z}{10}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 $\frac{x}{15}=\frac{y}{6}=\frac{z}{10}=\frac{x+y-z}{15+6-10}=\frac{-44}{11}=-4$

$\frac{x}{15}=-4\Rightarrow x=-60$

$\frac{y}{6}=-4\Rightarrow y=-24$

$\frac{z}{10}=-4\Rightarrow z=-40$

Vậy x, y, z lần lượt là –60, –24, –40.

89 : 0,25 + 89 : 0,2 + 89

= 89 × 4 + 89 × 5 + 89

= 89 × (4 + 5 + 1)

=89 × 10

= 890.

Ta có ab = cd $\iff \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$

Đặt $\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k\in \mathbb{N}\right)$

Ta xét 2 TH sau:

Nếu k = 1 $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=c\\ b=d\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=a^n+b^n+c^n+d^n=2\left(a^n+b^n\right)$ chia hết cho 2 và lớn hơn 2.

A là hợp số.

Nếu k khác 1:

$\left\{\begin{array}{c}a=ck\\ d=bk\end{array}\left(k\in \mathbb{N}*\right)\right.$

$$\begin{gathered} A=a^n+b^n+c^n+d^n={\left(ck\right)}^n+b^n+c^n+{\left(bk\right)}^n \\ =c^n\left(k^n+1\right)+b^n\left(k^n+1\right) \end{gathered}$$

$=c^n\left(k^n+1\right)+b^n\left(k^n+1\right)$ là hợp số.

Vậy A =  $a^n+b^n+c^n+d^n$là hợp số với mọi số tự nhiên n.

Từ a + b = c + d suy ra d = a + b – c

Vì tích ab là số liền sau của tích cd nên ab = cd + 1 hay ab – cd = 1

ab – c . (a + b – c) = 1

ab – ac – bc +  = 1

a. (b – c) – c. (b – c) = 1

(b – c) . (a – c) = 1

Suy ra a – c = b – c (vì cùng bằng 1 hoặc –1) suy ra a = b (đpcm)

Hai số lẻ hơn kém nhau một khoảng là hai đơn vị.

Giữa hai số lẻ cần tìm cách nhau 2 số lẻ do đó chúng cách nhau 3 khoảng như vậy.

Hiệu hai số lẻ cần tìm là:

2 × 3 = 6 (đơn vị)

Số lẻ thứ nhất là:

(84 – 6) : 2 = 39

Số lẻ thứ hai là:

84 – 39 = 45

Đáp số: 39 và 45.

Bể thứ nhất nhiều hơn bể thứ hai số lít nước là :

 1800 – 1050 = 750 (l)

Mỗi phút bể thứ nhất rút được nhiều nước hơn bể thứ hai số lít nước là

  37,5 – 25 = 12,5 (l)

Để hai bể bằng nhau thì vòi bể thứ nhất chảy hơn bể thứ hai 750 lít nước

Để hai bể bằng nhau thì sau số giờ là:

  750 : 12,5 = 60 (phút) = 1 giờ

Đáp số: 1 giờ.

Từ x + 2y = 1  x = 1 – 2y

Ta có: P = xy = (1 – 2y). y = $-2y^2+y=-2\left(y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{8}$$=-2{\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{8}\le \frac{1}{8}$

Hay P ≤ $\frac{1}{8}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{4}$

Với x, y là các số dương ta có: $-{\left(x-y\right)}^2\le 0\Rightarrow -x^2+2xy-y^2\le 0$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le 2x^2+2y^2\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)$

 $\Rightarrow x^2+y^2\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}=\frac{36}{2}=18$(1)

$x^2+y^2\ge 2xy\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\ge 4xy$

 $\Rightarrow xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{36}{4}=9\Rightarrow \frac{33}{xy}\ge \frac{33}{9}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P=x^2+y^2+\frac{33}{xy}\ge 18+\frac{33}{9}=\frac{65}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}x=y\\ x+y=6\end{array}\iff x=y=3\right.$

Vậy $P_{\min }=\frac{65}{3}$ khi x = y = 3.

Với x, y là các số dương ta có: $-{\left(x-y\right)}^2\le 0\Rightarrow -x^2+2xy-y^2\le 0$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le 2x^2+2y^2\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)$

 $\Rightarrow x^2+y^2\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}=\frac{36}{2}=18$(1)

$x^2+y^2\ge 2xy\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\ge 4xy$

 $\Rightarrow xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{36}{4}=9\Rightarrow \frac{33}{xy}\ge \frac{33}{9}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P=x^2+y^2+\frac{33}{xy}\ge 18+\frac{33}{9}=\frac{65}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}x=y\\ x+y=6\end{array}\iff x=y=3\right.$

Vậy $P_{\min }=\frac{65}{3}$ khi x = y = 3.

Số hạng thứ 100 của dãy trên là:

(100 – 1) × 2 + 1 = 199

Đáp số: 199.

Số thứ 1: 1

Số  thứ 2: 1 + 2 = 3

Số thứ 3: 1 + 2 + 3 = 6

Số thứ 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Số thứ 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...............

Số thứ 100: 1 + 2 + 3 + 4 +....+ 99 +100

Số các số hạng là: (100 – 1) : 1 + 1 = 100 ( số hạng)

Số cặp là: 100 : 2 = 50 (cặp)

Số thứ 100 là: (100 + 1) × 50 = 5050.

a)

Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMD}=180°$  (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{BMA}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, $\widehat{AMD}=90°$  .

Lại có $\widehat{ACD}=90°$

$\widehat{AMD}=\widehat{ACD}=90°$   (do Cx vuông góc với AB tại C).

Tứ giác ACMD có  nên ACMD là tứ giác nội tiếp.

Vậy 4 điểm A, C, M, D thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: $\widehat{KMN}=\widehat{MBA}$  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây dung và góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1).

Tứ giác BMKC có $\widehat{BMK}=\widehat{BCK}=90°$  nên nó là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat{MKN}=\widehat{MBA}$  (do cùng phụ với góc MKC). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{KMN}=\widehat{MKN}$ .

Vậy tam giác MNK cân tại N.

c) AB là đường kính của (O) và AB = 2R nên OA = OB = R.

C là trung điểm của OA nên AC = $\frac{1}{2}OA=\frac{R}{2}$ .

Ta có: AC + BC = AB, suy ra BC = AB – AC = 2R – $\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}$  .

Tam giác AIB vuông tại I có IC là đường cao nên IC² = AC . BC

Suy ra IC = $\sqrt{AC.BC}=\sqrt{\frac{R}{2}.\frac{3R}{2}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ .

Vì K là trung điểm của IC nên $KC=\frac{1}{2}IC=\frac{R\sqrt{3}}{4}$  .

Xét hai tam giác ACK và DCB có:

$\widehat{KAC}=\widehat{BDC}$(do ACMD là tứ giác nội tiếp)

 $\widehat{ACK}=\widehat{BCD}=90°$

Do đó $\Delta ACK\backsim \Delta DCB\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{AC}{DC}=\frac{KC}{CB}$ .

$\Rightarrow DC=\frac{AC.BC}{KC}=\frac{\frac{R}{2}.\frac{3R}{2}}{\frac{R\sqrt{3}}{4}}=R\sqrt{3}$

Do đó, diện tích tam giác ABD là $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.DC=\frac{1}{2}.2R.R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}$  (đvdt).

Do AB < 2R nên AB không đi qua O.

Xét tam giác OAB: OA = OB = R và I là trung điểm của AB.

OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của  cân tại O

Áp dụng định lí Pytago trong  vuông tại I:

$O{I}^2+I{B}^2=O{B}^2$

$\Rightarrow O{I}^2=O{B}^2-I{B}^2={13}^2-{\left(\frac{24}{2}\right)}^2=25$

$\Rightarrow OI=5cm$

b, ta có CB và CA là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C

AC = CB C thuộc đường trung trực của AB.

Lại có: OA = OB = R  O thuộc đường trung trực của AB.

Mà I là trung điểm của AB

$\Rightarrow I\in OC$ (đpcm)

Áp dụng hệ thức lượng trong  vuông tại B có đường cao BI:

$O{B}^2=OI.OC\Rightarrow OC=\frac{O{B}^2}{OI}=\frac{{13}^2}{5}=\frac{169}{5}=33,8$ (cm)

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow OH\perp AB$

$HA=HB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12cm$

Xét tam giác AOH vuông tại H có:

 $H{A}^2+O{H}^2=O{A}^2$(định lý Pytago)

${12}^2+O{H}^2={15}^2\Rightarrow O{H}^2=81\Rightarrow OH=9cm$

Vậy khoảng cách từ (O) đến dây AB là 9 cm.

Đẳng thức xảy ra khi $x=1;y=\frac{1}{2}$ .

Xếp 4 bạn nam (trừ A1) và 2 bạn nữ (trừ B1) thành 1 dãy ta có 6! cách xếp.

Sau đó xếp A1 và B1 vào giữa các bạn đã xếp do A1 và B1 không ngồi cạnh nhau nên ta có 2 trường hợp sau:

TH1: A1 xếp ở đầu nên do khi các bạn ngồi thành bàn tròn thì suy ra B1 không được xếp ở cuối như vậy B1 có 5 cách chọn ⇒ Tương tự với B1 ở đầu ⇒ 6! . 5 . 2 = 7200 cách xếp

TH2: A1, B1 đều không xếp ở đầu hàng ⇒  cách chọn vị trí cho 2 bạn

 cách xếp

Suy ra có tất cả 21600 cách xếp.

1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 +… + 997 – 998 – 999 + 1000

= (1 – 2 – 3 + 4) + (5 – 6 – 7 + 8) +…+ (997 – 998 – 999 + 1000)

= 0 + 0 +…+ 0

= 0.

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

150 : 2 = 75 (m)

Nửa chu vi hình chữ nhật sau khi giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng 5m là:

75 – 10 + 5 = 70 (m)

Tổng số phần bằng nhau là:

4 + 1 = 5 (phần)

Chiều dài hình chữ nhật sau khi giảm là:

70 : 5 × 4 = 56 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật sau khi tăng là:

70 – 56 = 14 (m)

Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là:

56 + 10 = 66 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là:

14 – 5 = 9 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

66 × 9 = 594 (m²)

Đáp số: 594 m².

Hiệu của hai số tự nhiên đó là:

5 × 2 + 1 = 11

Số tự nhiên bé cần tìm là:

(2009 – 11 ) : 2 = 999

Số tự nhiên lớn cần tìm là:

999 + 11 = 1020

Đáp số: 1020.