Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 5; 7.
Giải bởi Vietjack
A = (2 + 22) + (23 + 24) +…. + (259 + 260)
A = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 259(1 + 2)
A = 2.3 + 23.3 + … + 259.3
A = 3.(2 + 23 + … + 259)
Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 23 + … + 259) chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho 3.
* Xét: A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) +…. + (257 + 258 + 259 + 260)
A = 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … + 257(1 + 2 + 22 + 23)
A = 2.15 + 25.15 + …. + 257.15
A = 15.(2 + 25 + … + 257)
Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 25 + … + 257) chia hết cho 5.
Vậy A chia hết cho 5.
* Lại có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +…. + (258 + 259 + 260)
A = 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + … + 258(1 + 2 + 22)
A = 2.7 + 24.7 + … + 258.7
A = 7(2 + 24 + ... + 258)
Vì 7 chia hết cho 3 nên 7.(2 + 24 + … + 258) chia hết cho 7.
Vậy A chia hết cho 7.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
