Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng A = \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: \(\frac{a}{{b + c - a}};\frac{b}{{a + c - b}};\frac{c}{{a + b - c}} > 0\)
A = \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}}\)
⇔ \(A + \frac{3}{2} = \frac{a}{{b + c - a}} + \frac{1}{2} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{1}{2} + \frac{c}{{a + b - c}} + \frac{1}{2}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {b + c - a} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + c - b} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b - c} \right)}}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} + \frac{1}{{a + b - c}}} \right)\)
⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{{a + b + c}}{2}.\frac{9}{{b + c - a + a + c - b + a + b - c}}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{9}{2}\)
⇔ A ≥ 3 (đpcm).
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2.
b) A không chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.
Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?
Cho 2 đường thẳng d1: y = 4x + m – 1, d2: y = \(\frac{4}{3}\)x + 15 – 3m.
a) Tìm m để d1, d2 cắt nhau tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của d1, d2 với Ox.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.
a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.
b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.
Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng \(\frac{5}{6}\) số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{4}{7}\) số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
Tính các cạnh còn lại.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng: tam giác COB là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = OM2.
Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.