Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng \[\frac{a}{6}\]Thể tích khối lăng trụ bằng
Mệnh đề nào đúng?
A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)
B. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}.\)
C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{28}}.\)
D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A’M.
Ta có :
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right\}\) ⇒ BC ⊥ (AA’M) ⇒ BC ⊥ AH (1).
Mà AH ⊥ A’M (2).
Từ (1) và (2) ⇒ d(A, (A’BC)) = AH.
Ta có: \(\frac{{d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{MO}}{{MA}} = \frac{1}{3}\) (do tính chất trọng tâm).
\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác vuông A'AM :
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{4}{{{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)
Suy ra thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
\(V = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}.\)
Cho hình bình hành ABCD, I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho phương trình \({\rm{cot}}x = \sqrt 3 .\) Các nghiệm của phương trình là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y ‒ 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, \[\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d: 2x ‒ y + 1 = 0 ). Để phép quay tâm I góc quay (2017π) biến d thành chính nó thì tọa độ của I là:
Biết \[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \]. Hỏi giá trị của sin4a + cos4a bằng bao nhiêu ?
Xét phép vị tự V(I,3) biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hỏi chu vi tam giác A'B'C' gấp mấy lần chu vi tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác định: \(4\overrightarrow {BM} - 3\overrightarrow {BC} = \vec 0\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ \[\overrightarrow {OC} \] có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,5% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi khoảng bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2:
