Giải phương trình: \(\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\).
Giải bởi Vietjack
\(\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\;\left( 1 \right)\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\;\left( * \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{\sin x\,.\,\cos x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 4\sin x\,.\,\cos x\,.\,\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x - 4\sin x\,.\,\cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x - 2\sin 2x} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\\sin x - \sqrt 3 \cos x - 2\sin 2x = 0\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\]
+) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+) \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x\]
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ;\;\frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình
4sin2 2x − 1 = 0.
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0.
Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O'). AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O'), góc giữa AB và CD bằng 30°, AB = 6 và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
