Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O'). AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O'), góc giữa AB và CD bằng 30°, AB = 6 và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
Giải bởi Vietjack
Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường tròn (O).
C', D' lần lượt là hình chiếu của C, D lên đường tròn (O').
Suy ra AC'BD' là hình bình hành, lại có AB = CD = C'D' nên AC'BD' là hình chữ nhật.
Khi đó AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật.
Ta có: VAC'BD'.A'CB'D = VA.BCD + VA.A'CD + VB.B'CD + VC.C'AB + VD.D'AB
\({V_{A.A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,{S_{A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,\frac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)
Chứng minh tương tự ta có: \({V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)
\[ \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4\,.\,\frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\]
\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30\]
Þ VAC'BD'.A'CB'D = 90.
Theo bài ra ta có: \(\left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = 30^\circ \Rightarrow \left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = 30^\circ \).
Giả sử \(\left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = \widehat {AOC'} = 30^\circ \).
Lại có: \[OA = OC' = \frac{1}{2}AB = 3\]
\( \Rightarrow {S_{OAC'}} = \frac{1}{2}OA\,.\,OC'\,.\,\sin \widehat {AOC'} = \frac{1}{2}\,.\,3\,.\,3\,.\,\sin 30^\circ = \frac{9}{4}\)
Þ SAC'BD' = 4SOAC' = 9.
Ta có: VAC'BD'.A'CB'D = AA'.SAC'BD'
Þ 90 = AA'.9 Û AA' = 10.
Vậy thể tích khối trụ là:
V = pr2h = p.OA2.AA' = p.32.10 = 90p.
Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình
4sin2 2x − 1 = 0.
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0.
Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.
Cho khối trụ có chiều cao h = 8, bán kính đường tròn đáy bằng 6, cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 4. Tính diện tích thiết diện tạo thành.
