Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2 có nghiệm?
Ta có:
asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2
\( \Leftrightarrow a\,.\,\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\,\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\)
Û a(1 − cos 2x) + 4sin 2x + 3a(1 + cos 2x) = 4
Û a − acos 2x + 4sin 2x + 3a + 3acos 2x = 4
Û 2sin 2x + acos 2x = 2 − 2a (*)
Phương trình (*) có nghiệm
Û 4 + a2 ≥ (2 − 2a)2
Û 4 + a2 ≥ 4 − 8a + 4a2
Û 3a2 − 8a ≤ 0
\( \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}\)
Vậy \({a_{\max }} = \frac{8}{3}\).
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình
4sin2 2x − 1 = 0.
Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c (a, b, c Î ℝ). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 là:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0.
Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?