Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\).
A. \(\frac{{23}}{2}\)
B. 24
C. \(\frac{3}{2}\)
D. 3.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)
\( = \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)\( = \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}\left( {1 + \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right).\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{3{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{3\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right) = \frac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{4{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{4\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}}}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right) = \frac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:
a) Bốn quả lấy ra cùng màu;
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
Cho tam giác ABC và đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Cặp vectơ nào sau đây cùng phương:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a và \[{\rm{AA}}' = a\sqrt 2 \]. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là:
Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(1; 2), B(4; 1), C(5; 4). Tính \(\widehat {BAC}\).
Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?
Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) bằng:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x ∈ (–1; 1) khi và chỉ khi:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (3; –4). Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?
