Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?
A. 2021
B. 2019
C. 4038
D. 2020.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Điều kiện:\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{m + {{\log }_2}x \ge 0}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\)
\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 8{\log _2}x - 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} = 4m\)
\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 4{\log _2}x + 1 = 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 4\left( {m + {{\log }_2}x} \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\log _2}x - 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\\ - 2{\log _2}x + 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \\ - {\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \end{array} \right.\)
Xét phương trình \(lo{g_2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \) (1)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 1 - m - {\log _2}x = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 1 - m = 0\end{array}\)
Phương trình (1) có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4\left( {1 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 5 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 5}}{4}\end{array}\)
Xét phương trình \( - lo{g_2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \) (2)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - lo{g_2}x} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - m = 0\end{array}\)
Phương trình (2) có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)
ĐểPt (*) có nghiệm thì ít nhất một trong 2 phương trình (1) hoặc (2) phải có nghiệm
Từ đề bài ta suy ra \(\frac{{ - 5}}{4} \le m \le 2019\)
Suy ra có \(\frac{{2019 + 1}}{1} + 1 = 2021\) giátrịnguyên của m thỏa mãn bài toán
Vậy ta chọn đáp án A.
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:
a) Bốn quả lấy ra cùng màu;
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(1; 2), B(4; 1), C(5; 4). Tính \(\widehat {BAC}\).
Cho tam giác ABC và đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Cặp vectơ nào sau đây cùng phương:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a và \[{\rm{AA}}' = a\sqrt 2 \]. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là:
Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) bằng:
Cho tanα = 2. Tính giá trị của biểu thức \(G = \frac{{2\sin \alpha + cos\alpha }}{{cos\alpha - 3\sin \alpha }}\).
Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.
Cho tam giác ABC có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C?
Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (3; –4). Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?
