Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (α) đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}}\) để (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\).
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Ta có (α) ∩ (SCD) = NM nên NM // CD
Do đó (α) là (ABMN)
Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là
\({V_{S.ABMN}} = {V_{ABCDNM}} \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}\) (1)
Ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{S \cdot ACD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S \cdot ABCD}}\)
Đặt \(\frac{{SN}}{{SD}} = x\) với \((0 < x < 1)\), khi đó theo Ta – let ta có \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = x\)
Mặt khác \(\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = x\)
Suy ra \({V_{S.ABM}} = \frac{x}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)
Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = {x^2}\)
Suy ra \({V_{S.AMN}} = \frac{{{x^2}}}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)
Ta có: \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.AMN}} = \left( {\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right){V_{S.ABC{\rm{D}}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Mà \((0 < x < 1)\) nên \(x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)
Hay \(\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)
Vậy ta chọn đáp án C.
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:
a) Bốn quả lấy ra cùng màu;
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a và \[{\rm{AA}}' = a\sqrt 2 \]. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là:
Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(1; 2), B(4; 1), C(5; 4). Tính \(\widehat {BAC}\).
Cho tam giác ABC và đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Cặp vectơ nào sau đây cùng phương:
Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?
Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) bằng:
Cho tanα = 2. Tính giá trị của biểu thức \(G = \frac{{2\sin \alpha + cos\alpha }}{{cos\alpha - 3\sin \alpha }}\).
Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.
Cho tam giác ABC có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C?
