Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức: \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\frac{a}{b}\).
A. 19
B. 13
C. 14
D. 15.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\({\log _{\frac{a}{b}}}\left( {{a^2}} \right) = 2{\log _{\frac{a}{b}}}a = \frac{2}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}} = \frac{2}{{{{\log }_a}a - {{\log }_a}b}} = \frac{2}{{1 - {{\log }_a}b}}\)
\({\log _b}\frac{a}{b} = {\log _b}a - {\log _b}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1\)
Suy ra:
\(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\frac{a}{b} = {\left( {\frac{2}{{1 - {{\log }_a}b}}} \right)^2} + 3\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right) = \frac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\log }_a}b}} - 3\)
Đặt t = logab; t ∈ (0; 1)
Suy ra \(P = f\left( t \right) = \frac{4}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} + \frac{3}{t} - 3\)
\(f'\left( t \right) = \frac{8}{{{{\left( {1 - t} \right)}^3}}} - \frac{3}{{{t^2}}} = \frac{{3{t^3} - {t^2} + 9t - 3}}{{{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^3}}}\)
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^3} - {t^2} + 9t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3t - 1} \right)\left( {{t^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\end{array}\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 15\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Phương trình \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = {\log _2}128\) có bao nhiêu nghiệm?
Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x = m có nghiệm thực:
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn \({\log _2}\sqrt[6]{{360}} = \frac{1}{2} + a{\log _2}3 + b{\log _2}5\). Khi đó tổng a + b có giá trị là:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \). Điểm M di động trên BC sao cho \(\overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BC} \). Tìm x sao cho độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = ln(x3 – 3m2x + 72m) xác định trên (0; +∞).
Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h = 20 cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại. Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Tâm và Huy. Tính xác suất để hai bạn Tâm và Huy có phần thưởng giống nhau.
Cho hình nón có bán kính đáy là 5a, độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:
Tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = 2a, SC = 4a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là:
Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \), biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:
Cho x; y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
