Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD cắt nhau tại I.
a) Chứng minh 4 điểm C, D, I, H cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh 4 điểm A, B, H, D cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Tính bán kính đường tròn đi qua 4 điểm C, D, H, I nếu biết CH = 4cm và = 30°.
Giải bởi Vietjack
a) Xét tam giác DIC vuông tại D (BD ⊥ AC)
⇒ D, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC
Xét tam giác HIC vuông tại H (AH ⊥ BC)
⇒ H, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC
Vậy D, I, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính IC
b) Xét tam giác ABH vuông tại H (AH ⊥ BC)
⇒ A, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính AB
Xét tam giác ABD vuông tại D (BD ⊥ AC)
⇒ A, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB
Vậy A, B, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB
c) Gọi M là giao điểm của CI và AB
Xét tam giác BAC có: AH và BD là đường cao, AH ∩ BD ={I}
Nên I là trực tâm của tam giác BAC
Vậy AM là đường cao thứ 3 của tam giác ABC
Xét ∆ABH và ∆CBM có:
chung
⇒ ∆ABH ~ ∆CBM (g.g)
⇒ = 30°
Xét ∆HCI vuông tại H có: cos
Mà đường tròn đi qua D, I, C, H là đường tròn đường kính IC
Suy ra bán kính đường tròn là
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI song song với BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Vẽ CH vuông góc với AB, H ∈ AB và vẽ BK vuông góc với CD, K ∈ CD. Chứng minh CK² = HA.HB.
Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F
a) Tam giác DBF là tam giác gì?
b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.
a. So sánh AH và EF.
b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên đường tròn (M khác A; B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh .
b) Chứng minh AC.BD không đổi.
Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến. Chứng minh:
a. Tam giác ADE cân tại A.
b. ∆ABD = ∆ACE.
c. BCDE là hình thang cân.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ tia Ay nằm trong BAD. Kẻ DH vuông góc với Ay tại H, kẻ BI vuông góc với Ay tại I.
a) Chứng minh rằng DH = AI; AH = BI.
b) Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng Tam giácMDH = tam giác AMI.
c) Chứng minh rằng MHI là tam giác vuông.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(−1;1); B(3;1); C(2;4). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 3 (với m là tham số).
1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
2. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tích các giá trị của m để 2x1 + x2 = 1
Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng (n ∈ ℕ, n > 2). Số véctơ khác có cả điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho bằng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH biết BH = 3.6 cm; CH = 6.4 cm
a) Tính AH, AB và số đo góc .
b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh AM.AB = AN.AC và tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB.
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC).
1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo (góc làm tròn đến phút).
2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH2, từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC.
Cho a là số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân. Biết rằng khi làm tròn a đến hàng đơn vị thì được kết quả là 56. Tìm giá trị lớn nhất của a.
Tìm hai số có tổng là số bé nhất có 4 chữ số và hiệu là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số.
