Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a)   Biết 3AB = 2AC. Tính $sin\widehat{ACB} ,tan\widehat{ACB}$.

b) Vẽ đường phân giác CK của tam giác AHC. Biết AH = 2,4 cm; BH = 1,8 cm. Tính CH, AC, CK, $cos\widehat{HCK}$.

Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ Bx, Cy lần lượt vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại K.

1. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và H, M, K thẳng hàng

2. Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân

3. Gọi G là giao điểm của BK và HI, tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân.

Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 (m là tham số, m thuộc R).

a) Với m = - 5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Chứng minh rằng: Parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Đường trung tuyến AM = AB = c. Chứng minh rằng a² = 2(b² – c²)

Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.16. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng 20 cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết $\sqrt{300}\approx \mathrm{17,32}$

Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho.

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H.

b) Vẽ đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt cạnh AC tại E. Chứng minh: ∆OAE là tam giác cân.

c) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q. Vẽ hai tiếp tuyến QM, QN đến (O) (M, N là tiếp tuyến). Chứng minh: 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

Chứng minh rằng: Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 7 cũng là số nguyên tố thì 4p + 7 là một hợp số.

Cho a, b, c thuộc ℕ^*: a² + b² = c². Chứng minh abc chia hết cho 60.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là trung điểm của AD. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}+\widehat{C}=60°$; AB = 3; AC = 6. Tính độ dài đường phân giác AD?

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , BC = 10cm. Tính sinC, tan C, cos C, cotC, sinB, cosB, tanB, cotB

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x³ − 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Tam giác ABC có a = 7, b = 5, góc $\widehat{C}$ = 60°. Độ dài cạnh c bằng bao nhiêu?