IMG-LOGO

Câu hỏi:

20/07/2024 42

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n \geqslant 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Vì dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...$ là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh $ \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Với $n = 1$ thì tam giác đều ${A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng 3 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_1}{B_1}{C_1}$${R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 $. Do đó ${S_1} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi $.

Với $n = 2$ thì tam giác đều ${A_2}{B_2}{C_2}$ có cạnh bằng $\frac{3}{2}$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_2}{B_2}{C_2}$${R_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Do đó ${S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi \cdot \frac{1}{4}$.

Với $n = 3$ thì tam giác đều ${A_3}{B_3}{C_3}$ có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_3}{B_3}{C_3}$${R_3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$. Do đó ${S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$.

Như vậy tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ có cạnh $3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_n}{B_n}{C_n}$\[{R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\]. Do đó ${S_n} = \pi {\left( {\sqrt 3 .{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$.

Khi đó $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$\[ = 3\pi + 3\pi \cdot \frac{1}{4} + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ... + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} + ...\] là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = 3\pi ;q = \frac{1}{4}$.

Vậy $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{3\pi }}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\pi $.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 12;\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$. Tìm ${u_9}$.

Xem đáp án » 18/04/2024 76

Câu 2:

Cho các mệnh đề sau:

1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.

2) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

4) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Xem đáp án » 18/04/2024 58

Câu 3:

Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{4096}}$. Hỏi số $\frac{1}{{4096}}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

Xem đáp án » 18/04/2024 56

Câu 4:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là hình vẽ dưới đây (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 18/04/2024 50

Câu 5:

Trên đường tròn lượng giác, gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha $. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

Xem đáp án » 18/04/2024 48

Câu 6:

Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $.

Xem đáp án » 18/04/2024 47

Câu 7:

Tìm nghiệm của phương trình $2\sin x - 3 = 0$.

Xem đáp án » 18/04/2024 44

Câu 8:

Xét tính bị chặn của dãy số sau: ${u_n} = 3n - 1$.

Xem đáp án » 18/04/2024 43

Câu 9:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó

Xem đáp án » 18/04/2024 43

Câu 10:

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$.

Xem đáp án » 18/04/2024 43

Câu 11:

Cho tam giác $ABC$ ở trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và phương $l$. Biết hình chiếu (theo phương $l$) của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 18/04/2024 43

Câu 12:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$${u_n} = 81$${u_{n + 1}} = 9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 18/04/2024 42

Câu 13:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Xem đáp án » 18/04/2024 42

Câu 14:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\Delta $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$$\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?

Xem đáp án » 18/04/2024 42

Câu 15:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$(tham khảo hình vẽ bên dưới)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ  (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án » 18/04/2024 42