Cho các số thực dương \[x,\,\,y\] thoả mãn \({2023^{4{x^2} - \,y\, + \,7x\, + \,10}} - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = y - 11x\) là
Giải bởi Vietjack
Ta có \({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0.\)
\( \Leftrightarrow {2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} > 0 \Rightarrow y - 3x - 9 > 0\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}}\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right) - \left( {y - 3x - 9} \right) = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{2023}}t - t\) với \(t > 0\), có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t \cdot \ln 2023}} - 1 < 0\,;\,\,\forall t > 0.\)
Do đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).
Suy ra \(f\left( {y - 3x - 9} \right) = f\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) \Leftrightarrow y - 3x - 9 = 4{x^2} + 4x + 1\)
\( \Leftrightarrow y = 4{x^2} + 7x + 10 \Rightarrow M = y - 11x = 4{x^2} - 4x + 10 = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 9 \ge 9.\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\,;\,\,y = \frac{{29}}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là 9. Đáp án: 9.
Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa 60 hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được \(m\) hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là \({\left( {30 - \frac{{5m}}{2}} \right)^2}\) đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = 2m\) có nghiệm?
Đồ thị nào dưới đây biểu diễn đúng sự biến đổi nồng độ các chất theo thời gian của phản ứng A + 2B → C?
Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) trên khoảng \[\left( {0\,;\,\,3\pi } \right)\] là
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} - m \cdot {3^{f\left( x \right)}}\) có đúng 7 điểm cực trị?
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho hình bình hành \[ABCD\] có phương trình đường thẳng \[AB\] là \(2x + y + 7 = 0\), phương trình đường thẳng \[AD\] là \(x - 4y - 1 = 0\) và giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] là \[I\left( {1\,;\,\,2} \right).\] Phương trình của đường thẳng \[BC\] là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m\) có 6 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,2} \right]?\)
Trong một hộp có 100 tấm thẻ được đánh số từ 101 đến 200 (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ trong hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ đó là một số chia hết cho 3 là
Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và có thể tích băng 1. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là các điểm trên các cạnh \[SB,\,\,SD\] sao cho \(MS = MB\,,\,\,ND = 2NS.\) Mặt phẳng \(\left( {CMN} \right)\) chia khối chóp đã cho thành hai phần, thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn bằng
Tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = - m{x^3} + {x^2} - 3x + m - 2\) nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\] là
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\Delta :x - 2y + m = 0\) cắt elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) tại hai điểm phân biệt là
