Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c \) và các điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,SC\). Các điểm \(P,\,Q\) nằm trên các đường thẳng \(SA,\,BN\) sao cho \(PQ\,{\rm{//}}\,CM\). Khi biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \), ta được: \(\overrightarrow {PQ} = - \frac{m}{n}\overrightarrow a - \frac{p}{q}\overrightarrow b + \frac{r}{z}\overrightarrow c \) (với \(\frac{m}{n},\,\frac{p}{q},\,\frac{r}{z}\) là các phân số tối giản và \(m,n,p,q,r,z \in \mathbb{Z}\)). Giá trị của biểu thức \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giải bởi Vietjack
Đặt \(\overrightarrow {PA} = x\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {BQ} = y\overrightarrow {BN} \).
Khi đó, \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BQ} = x\overrightarrow {SA} + \left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} } \right) + y\left( {\overrightarrow {SN} - \overrightarrow {SB} } \right)\)
\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB} + y\overrightarrow {SN} \)\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB} + \frac{y}{2}\overrightarrow {SC} \)
\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow a + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow b + \frac{y}{2}\overrightarrow c \).
Lại có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right) - \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c \).
Vì \(PQ\,{\rm{//}}\,CM\) nên tồn tại số thực \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {PQ} = k\overrightarrow {CM} \).
Suy ra \(\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{1 - y}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{y}{2}}}{{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
Khi đó, \(\overrightarrow {PQ} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarrow c \). Vậy \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,3\).
Đáp số: \(1,3\).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = x + 4 - \frac{{10}}{{x + 2}}\) là đường thẳng
Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích là 96 000 cm3, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100 000 đồng/m2. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là bao nhiêu nghìn đồng?
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AC'} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CC'} } \right)\).
d) \(\overrightarrow {B'C} \cdot \overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \widehat {A'CB'}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2024}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình dưới đây.
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid289-1727780211.png)
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\] trên đoạn \(\left[ {2;\,\,4} \right]\) bằng
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4;\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3;\,\,\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
