Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy: Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\), do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng này.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm \[x = 0\] nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \[x = 0\], giá trị cực tiểu \({f_{CT}} = 2\).

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 1;\,3} \right]\) bằng \[3\], đạt được tại \(x = 3\).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị, ta thấy: Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng \(x = 0\) (trục hoành), đường tiệm cận ngang \(y = - 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{10}}{{x + 2}}} \right) = 0\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{10}}{{x + 2}}} \right) = 0\].

Do đó, đường thẳng \(y = x + 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Dựa vào đồ thị, ta thấy, giao điểm này có tọa độ là \(\left( {2;\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có: \(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

Vậy đáp án B sai.

Đáp án đúng là: C

Ÿ Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ÿ Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Khi đó, trên khoảng \(\left( {2;\,\,4} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 3\).

Ÿ \(y\left( 2 \right) = 7;\,\,y\left( 3 \right) = 6;\,\,y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;\,4} \right]} y = y\left( 3 \right) = 6\).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận ngang là \(y = 1\), do vậy ta loại hai đáp án là C và D.

Xét đáp án A có \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), do đó đồ thị hàm số này đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng này, vậy loại đáp án A và chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị cắt trục tung tại \({y_0} > 0\), suy ra \(d > 0\).

Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \), do đó hệ số \(a > 0\).

Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)) thỏa mãn:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow b < 0\);

\({x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0\).

Vậy \(a > 0,\,b < 0,\,c < 0,\,d > 0\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).

Suy ra \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{4^2} + {3^2} - {4^2}}}{2} = \frac{9}{2}\).

Do đó, \[\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{4 \cdot 3}} = \frac{3}{8}\], suy ra \(\alpha \approx 68^\circ \).

a) S,          b) Đ,           c) S,            d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1;\, + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\); đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Do đó, ý b) đúng.

– Ta có \( - 2 < f\left( x \right)\) nhưng không tồn tại giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) = - 2\) nên hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất, vậy ý c) sai.

– Vì \( - 2 < - \frac{3}{2} < - 1\) nên từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm. Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{3}{2}\) có duy nhất 1 nghiệm. Vậy ý d) đúng.

a) Đ,           b) S,            c) Đ,            d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x = - 3\) hoặc \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 6\); đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 3\). Do đó, ý c) đúng.

– Giả sử đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\left( C \right)\).

Điểm \(M\left( {x;\,y} \right) \in \left( C \right)\) có tọa độ nguyên khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\4\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\).

Vì Ư(4) = \[\left\{ { \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}\] nên ta có bảng sau:

\(x + 1\)	\( - 4\)	\( - 2\)	\( - 1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(x\)	\( - 5\) (tm)	\( - 3\) (tm)	\( - 2\) (tm)	\(0\) (tm)	\(1\) (tm)	\(3\) (tm)

 

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên nên ý d) đúng.

a) Đ,           b) Đ,           c) Đ,            d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \) nên \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \), do đó ý a) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AC'} \), do đó ý b) đúng.

– Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \), do đó:

\(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CC'} } \right)\).

Vậy ý c) đúng.

– Vì \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {B'A'} \) nên \(\left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {BA} } \right) = \left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {B'A'} } \right) = \widehat {A'B'C}\).

Khi đó, \(\overrightarrow {B'C} \cdot \overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {BA} } \right) = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \widehat {A'B'C}\). Vậy ý d) sai.

a) Đ,           b) S,            c) Đ,            d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo bài ra, ta có \(AB = BC = a\) nên \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {AB} } \right)\)

                   \( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Do đó, ý b) sai.

– Ta có \(\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 120^\circ \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABD\), ta có:

\(DB = \sqrt {A{D^2} + A{B^2} - 2AD \cdot AB \cdot \cos \widehat {DAB}} = a\sqrt 3 \).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {DB} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 3 \). Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

                   \( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2}\).

Vậy ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}\).

Ta có: \[y' = \frac{{2\,024 - m}}{{{{\left( {x + 2\,024} \right)}^2}}}\].

Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì đạo hàm \(y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}\), điều này xảy ra khi \(2\,024 - m > 0\), tức là \(m < 2\,024\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\), do đó \(m \in \left\{ {1;\,2;\,...;\,2\,023} \right\}\). Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp số: \(2\,023\).

Đặt \[t = \cos x \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\], khi đó \(y = f\left( t \right) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}\).

Xét hàm số \[f\left( t \right) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}\] với \(t \in \left[ { - 1;\,1} \right]\).

Ta có: \[f'\left( t \right) = 8{t^2} - 9t + 3 = 8{\left( {t - \frac{9}{{16}}} \right)^2} + \frac{{15}}{{32}} > 0\,\,\forall t\].

Do đó, hàm số \[f\left( t \right)\] đồng biến trên \(\left[ { - 1;\,1} \right]\).

Suy ra \(M = \max y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 1\); \(m = \min y = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right) = - 9\).

Vậy \(3M - 2m = 3 \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 9} \right) = 21\).

Đáp số: \(21\).

Gọi \(x\) (triệu đồng) là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\).

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \(31 - x - 27 = 4 - x\) (triệu đồng).

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là \(600 + 200x\) (chiếc).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:

\(L\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,400\) (triệu đồng).

Xét hàm số \(L\left( x \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,400\) trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\).

Ta có \(L'\left( x \right) = - 400x + 200\). Trên khoảng \(\left( {0;\,4} \right)\), \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

\(L\left( 0 \right) = \,2\,400;\,\,L\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\,450;\,\,L\left( 4 \right) = 0\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} L\left( x \right) = 2\,450\) tại \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy cần giảm giá mỗi chiếc xe \(\frac{1}{2} = 0,5\) triệu đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

Đáp số: \(30,5\).

Diện tích của đáy bể là: \(S = \frac{V}{h} = \frac{{96\,\,000}}{{60}} = 1\,600\) cm² \( = 0,16\) m².

Gọi chiều dài đáy của bể là \(x\) (m, \(x > 0\)).

Chiều rộng đáy của bể là \(\frac{{0,16}}{x}\) (m).

Chi phí để hoàn thành bể cá là:

\(F\left( x \right) = 0,16 \cdot 100\,000 + 2 \cdot 0,6 \cdot x \cdot 70\,000 + 2 \cdot 0,6 \cdot \frac{{0,16}}{x} \cdot 70\,000\)

          \( = 16\,000 + 84\,000x + \frac{{13\,440}}{x}\)(đồng).

Xét hàm số \(F\left( x \right) = 16\,000 + 84\,000x + \frac{{13\,440}}{x}\) với \(x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\).

Ta có: \(F'\left( x \right) = 84\,000 - \frac{{13\,440}}{{{x^2}}}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\).

Bảng biến thiên của hàm số \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} F\left( x \right) = F\left( {0,4} \right) = 83\,200\).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \(83\,200\) đồng = \(83,2\) nghìn đồng.

Đáp số: \(83,2\).

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm \(O\) như hình vẽ dưới đây.

Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC} \).

Độ lớn các lực: \({F_1} = OA = 15\,{\rm{N}}\), \({F_2} = OB = 12\,{\rm{N}}\), \({F_3} = OC = 9\,{\rm{N}}\).

Dựng hình bình hành \(OADB\). Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).

Suy ra \({\overrightarrow {OD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \).

Mà \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = OA \cdot OB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right)\), suy ra \(O{D^2} = O{A^2} + O{B^2} + 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ \).

Dựng hình bình hành \(ODEC\).

Tổng lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \).

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là \(F = OE\).

Vì \(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác \(ODE\) vuông tại \(D\).

Khi đó, \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ \)

                                      \( = {9^2} + {15^2} + {12^2} + 2 \cdot 15 \cdot 12 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 270\).

Vậy \(F = OE = \sqrt {270} \approx 16,4\) (N).

Đáp số: \(16,4\).